线段和的最小值问题

《利用轴对称求线段和的最小值问题》导学案一、学习目标：能利用轴对称解决简单的线段和的最小值问题，体会图形的转化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归思想. 二、学习重、难点：1.学习重点：利用轴对称将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2.学习难点：如何利用轴对称计算线段和的最小问题. 三、学习过程 （一）、故事导入，提出课题问题1 如图1，有一位将军从A 地出发到小溪边饮马，然后再到B 地军营视察，问走什么样的路线最短呢？问题2 如图2，有一位将军从A 地出发到小溪边饮马，然后再到B 地军营视察，问走什么样的路线最短呢？（二）、解决问题，形成技巧 1、发现规律（1）问题3 下列各图中，点E 为各图形中的定点，点P 运动到何处时，所求两条线段的长度和最小？ ①图3中，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是顶角平分线AD 上的动点，点E 是AB 上的定点，请问当点P 运动到何处时，PB+PE 和最小？②图4中, 点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的动点，点E 是AB 上的定点，请问当点P 运动到何处时，PB+PE 和最小？③图5中，点P 是正方形对角线BD 上的动点，点E 是边CD 上的定点，请问当点P 运动到何处时，PC+PE 和最小？④图6中，点B 、E 分别是圆O 上的五等分点，点P 是圆O 的直径DC 上的动点，请问当点P 运动到何处时，PB+PE 和最小？DCABEPBCDAP EBCAD EPl （小溪）图1l （小溪）图2图3图4图5图6B（2）在画图的过程中，如何寻找对称轴？ 2、挑战1．如图7，直线3-=x y 与坐标轴相交于点 A 、B ，点C 的坐标是C(2，0)，点P 在直线AB 上 运动，当△OCP 的周长最小，点P 的坐标为__________. 2．如图8，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使得△AMN 周长最小．xyy = x 3–112345–1–2–3–412ABCOP3、挖掘本质，归纳方法这些题目都是求线段之和的最小值问题，方法都是画对称点，但是我们知道，画对称点并不能改变线段的长短，为什么我们这样一画就能求得线段之和的最小值呢? 4、链接中考1.（2012兰州） 如图9，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ） A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°5、继续挑战1．如图11所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象经过点A （－1，0），B （3，0）和点C （－2，5），点P 抛物线的对称轴上运动，当△PA C 的周长最小时，求点P 的坐标.图7图9 图8xy–1–2–312345–1–2–3–4123456CB A OP2．变式：如图12所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 图象经过点A （－1，0），B （3，0）和点C （－2，5），点P 、Q 抛物线的对称轴上运动，且PQ=2，当四边形 ACPQ 周长取最小值时，求点P 的坐标?(三)、梳理小结，升华思想（1）本节课你学了哪些知识？还有哪些疑惑的问题？(四)、布置作业1.等腰RT △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 .2.正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为 .3.已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是弧AD 的中点，在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值。

1. 变式：在问题2中，如果点E 为各图形中的动点，点P 运动到何处时，两条粗线段的长度和最小？ 图3中 在△ABC 中，AB=AC ，点P 是顶角平分线AD 上 的动点，点E 是AB 上的动点； 图4中 点P 是菱形ABCD 对角线上的动点，点E 是AB 上的动点；DCABEPBCDAP E2. 继续挑战1中第1小题 变式：如图11，已知点P 在二次函数y =x 2－2x －3的对称轴上运动，当PA PC 取最大值时，求点P 的坐标?xy–1–2–312345–1–2–3–4123456CB A OP3.已知点A （3，4），点B 为直线x=-1上的动点，设B （－1，y ）．（1）如图1，若点C （x ，0）且－1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B 的坐标为（－1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF=1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．图3 图44.（2013泉州，26）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A(- 6，0)，C(0，6)，过点E(-2.0)作EF∥AB，交BO于F.(1)求EF的长；(2)过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G.①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明OH EO BG AE=；②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆(包括直径两端点)，使它与GD有公共点P，如图2所示，当直线l绕着点F旋转时，点P也随之运动.证明：12OPBG=，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围(不必说理)；(3)在(2)中，若点M(2，3)，探求：2PO+PM的最小值.(第4题图 1) (第4题图2) 【答案】 (1)解法一：在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA=12∠COA = 45°∵EF∥AB∴∠FEO =∠BAO =90°∴∠EFO = ∠FOE=45°又E(-2，0)∴EF = EO = 2解法二：∵A(-6，0)，C(0，6)，E(-2，0) ∴OA =AB=6,EO =2∵EF∥AB∴EF OE AB OA=∴EF =266⨯= 2(2)①解：画图，如图 1 所示证明：∵四边形OABC是正方形∴OH∥BC∴△OFH∽△BFG∴OH OFBG BF=(第26题图1)又由(1)EF∥AB，得OF OEFB EA=∴OH OE BG EA=②证明：∵半圆与GD交于点P ∴OP=OH由①得,OP OH OE BG BG EA==又AE =AO-EO =4∴12 OP OE BG EA==通过操作、观察可得，4≤BG≤12.(3)解：由(2)可得12 OP BG=∴2OP + PM = BG + PM如图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形(第26题图2)∴NK =BG∴2PO + PM = BG + PM =NK + PM ≥NK + KM 当点P 与K 重合，即P 在直线MN 上时，等号成立 又∵ NK +KM ≥MN = 8当点K 在线段MN 上，等号成立∴当点P 在线段MN 上时，2PO + PM 的值最小.最小值为 8.二、讲授新课模型一 两条线段的最小值例1 如图所示，已知A （1，2），B （2，1），在x 轴上找一点P ，使PA+PB 最小，则P 点坐标是（ ）A.(错误！未找到引用源。

)B. (错误！未找到引用源。

)C. (错误！未找到引用源。

)D. (错误！未找到引用源。

) 解：作B 点关于x 轴的对称点B ’， 连结AB ’与 x 轴的交点就为P 点。

则 点B ’为(2，-1)，因此，直线AB ’的解 析式为53+-=x y ，当y=0时，35=x ,所以P 点坐标为（35，0），故选答案A 。

链接中考：（2014莆田市）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =120°，点E 是AB的中点，点F 是AC 上的动点，则EF +BF 的最小值是________．2、(2012扬州)已知抛物线y ＝a x 2＋b x ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数表达式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PA C 的周长最小时，求点P 的坐标.F E DCBA模型二三条线段的最小值1.“一个定点”+“两个动点”例2.有一个养鱼专业户，在如图所示的两个池塘里养鱼，他住的地方在P 点，每天早上必须去两个池塘边投放鱼食，试问：他怎样走才能以最短距离回到住地？解：如图，作P点关于AB的对称点P’,关于AC的对称点P”，连接P’P”交AB于点D、交AC于点E，则线段P’P”最短，即PD+DE+PE就是他走的最短距离路线。

链接中考：1、（2012兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°考点：轴对称-最短路线问题。

分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠H AA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM ＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案．解答：解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°，故选：B．点评：此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．2.“两个定点”+“两个动点”例3 （2011•福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理。