运筹学_多目标决策

1
最小，
其次是(d
+ 2
+
d -2)，…。
– 这里的pi区别于权数，主要有两种考虑：
a：将目标划分成若干级，上一级目标优先考虑；
b：不需要考虑各目标的单位是否统一。
另外，在同一优先级内，可能有多个目标，而这些目标也有 个相对重要性的问题，此时引入权系数W 以示它们的相对
重要性。
3 目标规划数学模型
P1：取得利润33； P2：把污染限制在36单位；
P3：产 产品 品II的I的销销售售量量满满足足51件2件 – 问工厂应如何制定生产计划。
权系数w31 2 权系数w32 1
解：设x1，x2为品Ⅰ，Ⅱ的生产量(决策变量) – 则各目标函数可表示为：
Z1(X) = x1 + 3x2
(利润)
Z2(X) = 3x1 + 2x2 (污染量)
缺乏必要的数据资料的情况，AHP法尤为实用。
一、AHP法原理与步骤
（1）建立问题的递阶层次结构模型（建模）； （2）构造两两比较矩阵； （3）进行层次单排序，并进行一致性检验； （4）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验。
（一）建立问题的递阶层次结构模型 • 模型的一般形式如下：
决策目标
目标层
倒数（1/3） 意义相反
（三）进行层次单排序，并进行一致性检验
（方根法、特征向量法）
——方根法
（1）计算判断矩阵每行元素的乘积，即：
n
M i aij
i 1,, n
j 1
（2）计算： Wi n M i
（3）归一化：
W i
Wi
n
Wi
j 1
• W=（W1，W2，…，Wn）T即为判断矩阵的特征向量的近似值，
C11
P1
P2
P3
B1
C11
C12
C13
P1
1
P1/P2
P1/P3
P2
P2/P1
1
P2/P3
P3
P3/P1
P3/P2
1
C11
1
C11/C12
C11/C13
C12
C12/C11
1
C12/C13
C13
C13/C11
C13/C12
1
C33
P1
P2
P3
A
B1
B2
B3
P1 P2 P3
等等
1 P2/P1 P3/P1
–minZ
=
p1
d
+ 1
+
p2
d2-
+
p2
d3-
+ p3( d4-
+
2d5-)
2P 3N
d1
d1
680
2P 3N
d
2
d
2
600
250P
125 N
d
3
d3
70000目标约束
P
d
4
d
4
200
N
d
5
d
5
120
P，N，d
i，d
i
0，i
1，2，3，4
计算机求解
第三节 层次分析法
T3
X D 绝对约束
目标约束(每个目标对应一个约束条件)
③优先因子
– 在上述问题的目标函数minZ = p1 d-1 + p2 (d+2 + d-2 ) + p3 d3+ 中，
– p1，p2，p3——优先因子，且认为 p1>>p2>>p3，
– 更一般地有
p1>>p2>>p3…>>pm。
–
因此，要实现上述目标函数极小化，必须首先满足d
minZ=p1
d
1
+
p2
(d
+ 2
+
d
2
)
+
p3
d3+
– 若没有任何限制条件当然，d1-，d2+，d2-，d3+= 0， 但作为规划问题一定要有约束条件：
①绝对约束——系统中必须严格满足的约束条件；
②目标约束
Z1 ( X ) T1
–
对于上述给定的问题有：
Z 来自百度文库 ( X ) T2 Z3 ( X ) T3
X D 绝对约束
– 若上述所有条件都能满足，则d1-，d2+，d2-，d3+=0，但很可能 不存在X同时满足所有条件，这样就允许各目标在尽量满足其 靶值时，发生正的或负的偏差，故上述目标规划的约束条件 于表示为：
Z1( X ) d1
Z
2
(
X
)
d
2
d1
d
2
T1 T2
Z
3
(
X
)
d3
d
3
多目标决策
----Multi-criteria Decision Analysis
第一节 多目标决策问题
一、 管理决策中的多目标特性
– 在许多决策问题中，都会遇到多个决策目标和对目 标的度量不一致的情况。
例1 毕业生选择工作问题
地区 目标专 工业 作发 性展 质机会
经济待遇
这些目标可能是相互矛盾的。
– 某厂拟生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，有关资料如下。 单位产品财会表
产品 项目
原材料需求 机器时间 装配时间 直接材料成本 直接人工成本 销售价格 单位产品利 润
产品1
1.0 5 2 0.25 2.75 4.0 1
产品2 资源限量
5.0
72
2.5
80
2
40
0.75
——
1.25
——
5
——
3
——
– 另外，产品造成的污染为：单位产品Ⅰ为3个单位， 单位产品Ⅱ为2个单位。现工厂的主管部门考虑如 下目标：
Z3(X) = x1 ，Z4(X) = x2 (销量)
– 约束条件为：
5x1 + 2.5x2 ≤8 2x1 + 2x2 ≤4
x1 + 5x2 ≤ 72 – 现要求：
Z1(X) ≥33 Z2(X) ≤36 Z3(X) ≥5 Z4(X) ≥12
– 故该问题的目标规划数量模型为：
– minZ = p1 d-1 + p2 d+2 + p3(2 d3- + d-4)
25x1+50x2 ≤80000 – 这里 700 和 9000只是决策者的理想值或者目标值,
一旦确定，决策者当然希望能达到所有目标. 但由 于上述两各目标是相互矛盾的, 满足一个可能满足 不了另外一个, 这时我们可以说这个没有被满足的 目标发生了偏差.
– 对于多目标决策问题，每个目标都应有个理想值或
决策者对每个目标都有一个期望值，即目标值；对
决策者来说，每个目标应尽可能的达到其目标值，
但由于目标之间的矛盾性，这些目标值很难都得到
满足。但决策者希望它们能得到最大限度地满足，
即
p
min
X D
|
i 1
Z i ( X ) Ti
|
式中 Ti 为第 i个目标 Zi(X) 的目的值或“靶值”。 | Zi (X ) Ti | 实际上表示 Zi(X) 偏离靶值Ti的大小， 移之为偏差。
准则1
子准则1
方案1
准则2 子准则2 方案2
准则3 子准则3 方案3
准则层 子准则层 方案层
• 例如：对某学校发展计划（方案）进行评价 • （以下模型为一假设）
B1
加强师资队伍建设
增强学校综合实力 B2
提高教学质量
B3 提高科研水平
目标层A 准则层B
C11
C12 C13
C21 C22
C23 C31
例2 排水系统规划设计
排水效果好(排水量最大) 目标投资小
占用土地面积小
这些目标既相互矛盾，又不可公度 例3 投资方案的选择
净现值最大
目标投投资资回最收小期最短
还贷年限最短
经营成本最小
既相互矛盾又不可公度
– 由此总结出多目标决策问题的三个特点 (1)决策问题有多个目标 (2)目标之间相互矛盾 (3)目标的度量可能不一致
– 根据以上分析可将目标规划数学模描述如下：
p
m
min Z
pi
(wij
d
ij
wij
d
ij
)
i1 j1
Zij ( X )
dij
d
ij
Tij
X D
dij，dij 0
i 1，，p; j 1,, m
– 式中 wij——第i优先级中第j个目标的权数。
二、 目标规划应用举例（生产计划问题）
C32
C33
教师稳 课教 教 纵 横科 师资定 程材 学 向 向研 进结师 建建 获 课 课获 修构资 设设 奖 题 题奖
子 准 则 层
C
P1 方案1
方案2 P2 方案3 P3
方案层
（二）构造两两比较矩阵
– 比较矩阵是下层指标对上层指标的相对重要性的比 较，或各方案对某指标的效用矩阵。
– 以上例为例，具体形式为：
(2)目标函数(达成函数)
– 决策者将目标值或靶值确定以后，当然希望目标函数
尽量满足目标值，即要求正的或负的偏差越小越好。
故目标函数的形式一般为：
minZ= f (d+，d -)
– 一般有下列形式：
①当要求某目标超过某值时：minZ= f(d -)
②当要求某目标小于某值时：minZ= f(d+)
③当要求某目标等于某值时：minZ= f(d+ + d -)
价格(美元/股) 年收益(美元/股) 风险指数/股
25
3
0.5
50
5
0.25
现在客户要求: (1) 风险指数不大于700; (2) 年收益不小于9000美元.
– 问题的数学描述如下: 设x1=购买美国石油的股票数; x2=购买Hub Properties的股票数; 则问题的目标为:
(1) Z1(X)=0.5x1+0.25x2 ≤700 (2) Z2(X)=3x1+5x2 ≥ 9000 约束条件为:
– 目标之间若相互一致，则不成为多目标决策问题。
第二节 目标规划(目的规划) ------Goal Programming
一、 目标规划问题及其基本概念
1 目标规划问题
– 举例(P512) Nicolo投资咨询公司面临的投资问题是: 一个客户有80000美元用于投资, 计划投资于两种股票:
股票 美国石油 Hub Properties
2 基本概念
(1)正、负偏差
– 令 d+ = Zi(X) -Ti 值的部分。
Zi (X) >Ti 正偏差，即超过靶
d- = Ti －Zi (X) Zi (X) <Ti 负偏差，即未达到 靶值的部分。
– 例如
– 若要求利润指标为Ti=100万元
– 当Zi (X) =110万元， 则 d+ = 10， 同时 d－= 0 – 若Zi(X) =90万元 ， 则 d－ =10 ，同时d＋ =0
x1
3x2
d1
3x1 2x2 d
x1
d1
2
d
d3
33
2
d
3365目标约束
x2
d
4
d
4
12
5x1 2 x1
2.5x2 2x2
4
8 绝对约束
x1
5x2
72
x1，x2，di，di
0，i
1，2，3，4
三、目标规划的解法
1. 图解法
2. 计算机求解
3.
显然，目标规划是一类特殊形式的线性规划，
目标1：销售时间不超过680h；目标1：销售时间不小于600h；
第二级目标P2： 目标3：产生的销售额不少于70000美元 ；
第三级目标P2： 目标4：老客户不少于200人；目标5：新客户不少于120人 ；
（4）建立问题的目标规划模型 设接洽的老客户数为P，新顾客的人数为N，则问 题的目标规划数学模型为：
P1/P2 1
P3/P2
P1/P3 P2/P3
1
B1
1
B2
B2/B1
B3
B3/B1
B1/B2 1
B3/B2
B1/B3 B2/B3
1
为量化比较矩阵，Saaty给出了如下标度：
标度
含义
Bi/Bj=1 Bi/Bj=3 Bi/Bj=5 Bi/Bj=7 Bi/Bj=9 2、4、6、8
i元素与j元素相同重要 i元素比j元素略重要 i元素比j元素较重要 i元素比j元素非常重要 i元素比j元素绝对重要 以上相邻判断之间的中间状态对 应标度
因此可用线性规划方法求解，但目标规划的计算机
求解要先确定优先级Pi；
4.
上述案例的计算机求解；（考虑绝对约束不满足）
3. 阳光海岸办公用品问题
（1）问题描述P518 （2）基本数据：
计划联系的客户：老：200人；新：120人 单位接洽所用时间：老：2h；新：3h 每位客户接洽后利润：老：$250; 新:$125 可用接洽时间: 4 ×160=640h; 另加班时间:40h. （3）公司目标 第一级目标P1：
④要求某目标超过某目标值时，超过值不限：
minZ= f (d - - d+)
⑤当要求某目标函数小于某值时，小于值不限，
minZ= f( d+ - d -)
(3)约束条件与优先级(优先因子)
– 现设有三个目标，第一个目标Z1要求大于T1，第二 个目标要求正好等于T2，第三个目标要求小于T3， 则目标规划的目标函数为：
– 层次分析法（The Analytic Hierarchy Process， AHP）是美国人T . L . Saaty于20世纪70年代中期创 立的一种评价（多目标决策）方法
– 基本思想——使分析决策条理化、层次化，利用人 的经验判断对决策方案排序。
– 特点——实用、简洁，定性分析于定量分析相结合。 – 应用范围——社会、经济、技术相系统，特别是对
N3
4
5
6
7
8
9
RI 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
• 所谓一致性：
• 当λmax=n时，这时矩阵称为一致性矩阵。然而， 人们在进行两两比较时，不可能做到完全一致， 从而存在着估计误差。如I与j比：标度为3，j与 k比：标度为5，若I与k比，标度为6，则不太一 致。因此要进行一致性检验。上面指标中，CR 越大，一致性越差，相反则越好。n=2时，则完 全一致。
也是各元素的相对权重值（下层准则（或目标）对上层准则的 相对重要性）
（4）计算判断矩阵的最大特征根
max
n i 1
( AW )i nWi
AW——判断矩阵A与向量W的乘积； （AW）i——向量AW的第i个元素；
（5）一致性检验
CI max n
n 1 CR CI
RI
• 当CR≤0.1时，判断矩阵A的一致性是可以接受的。其中， RI按下表取值：