2011_2012学年第一学期末数值分析考试试题A

2011/2012学年第一学期末考试试题（A 卷）

数值分析

使用班级： 2011级研

一、填空题(每空2分，共30

分) 1. 1.414

≈，用公式

)

6

1、99-

、

(3

1

3

+)

6

1

的近似值分别有 、 、 、 位有效数字；

2. 设有矩阵()

332,346-⎛⎫

== ⎪- ⎪

⎝⎭A x ，则1=A ，∞=A ；

3. 对线性方程组{

121235

34

x x x x +=+=，若迭代公式

()()()()(1)()()112(1)()()

2

2115/3

,0,1,2,14/3k k k k k k x x x k x x x ω

ωωω++⎧=-+-⎪=⎨=-+-⎪⎩

对任意的初始向量()T

(0)

(0)(0)

12,x x =x

都收敛，则松弛因子ω的取值范围为 ；

4. 设(0)0,(1)1,(2)1,f f f ===则[0,1]f = ，[0,1,2]f = ；()f x 的二次

Newton 插值多项式为 ；又若(1)1f '=，则(

)f x 的三次Hermite 插值多项式为 ；

5. 用公式()358509

99G f f f ⎛=

++ ⎝近似计算11()d f x x -⎰具有 次代数精度； 6. 非线性方程解方程e x

x -=的一个具有3位有效数字的近似根为 ；

7. 求解初值问题00()(,),()y t f t y y t y '==的改进Euler 公式为

，它是 阶方法。

二、解答下列各题(每小题12分，共24分)

1.用LU分解法求解线性方程组

1

2

3

4

33319 9109432 64921 310211

x

x

x

x

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

=

⎪

⎪ ⎪

--

⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

；

2.用Romberg方法计算积分

2

1

ln d

I x x x

=⎰的近似值。要求计算到第一个Romberg值(3)0T，

说明共计算了多少个求积节点处的函数值，并将计算结果与准确值

3

2ln2

4

I=-进行比

较，说明计算的精度。

分，共40分)

1．用列主元Gauss消去法解线性方程组

123

123

123

2320

28 249

x x x

x x x

x x x

-+=-

⎧

⎪

-++=-

⎨

⎪++=

⎩

；

2．在某低温过程中，变量y 依赖于温度o

C x 的试验数据如下表

试用最小二乘法确定经验公式()y g x ax bx ≈=+，并估计变量y 在 2.5x =处的值。

2．写出用Newton 迭代法求解非线性方程组2222

20

2210

x y x xy y ⎧+-=⎨-+-=⎩的步骤，并取初值00(,)(1.01,0.99)x y =计算近似解11(,)x y (只进行一次迭代)。

.3．设A=31⎛⎫

⎪⎝⎭

，写出用幂法求A 的按模最大的特征值及对应的一个特征向量的计算过程，并取初始特征向量(0)0.8161.000x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

进行1次迭代计算。

试确定求解初值问题

()

()0

00

,

y f t y t t T

y t y

'=≤≤

⎧

⎨=

⎩

的三步显示Adams公式

()

3122110

n n n n n

y y h f f f

βββ

++++

=+++

中的系数，使它的阶尽可能的高，并求它的局部截断误差和阶数。