2011_2012学年第一学期末数值分析考试试题A

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2011-2012第一学期期末考试试卷及答案

p1q1 kp
p0 q1 ）
（2）计算农产品收购量总指数，以及由于收购量的变化给农民货币收入带来的影响；收购量总指数=102.9%,收入带来的影响=69.2
（3）计算报告期收购额与基期收购额的发展速度（即收购额指数），及其变动差额。收购额指数=118.2%, 变动差额=436
三（20 分）、试用符号与成对资料的秩和，检验两组鼠肝中维生素 A 含量（国际单位/克）
2(1 − θ), 0 < θ < 1 π(θ) =
0, 其他
试在平方损失函数下求的 Bayes 估计,并求其后验方差。
π(θ|x)~Beta(4,7) E(θ|x) = 0.364, Var(θ|x) = 0.019
五（20 分）、EM 算法。
设某实验可能有四个结果，其出现的概率分别为
111
1
1-9 1-10 1-11
X 112 122
133 143 NA 165 176 112345 300 205 216
求 1 删除异常数据, 2 填补 2009-1-5 的数据。采用肖维勒准则 112345-mean(x)-1.96*sd(x)=31429.32>0, 删除 112345，
300- mean(x[-7])-1.96*sd(x[-7])=12〉0 删除 300 其他不能删除。数据填充均值 159 回归 153.7 （用其他方法也算对）二（20 分）、某基层供销社向农民收购农产品的有关资料如下：
采用滑动平局，四个季节因子约为 7.91，-30.74，-22.57，45.41
有无显著差异，并与 t 检验的结果作比较。
不同饲料组鼠肝维生素 A 含量
大鼠配偶组
肝中维生素 A 含量

三峡大学硕士研究生数值分析11年-12年秋考试试卷Word版

阅卷负责人签名：.（5分）设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的. （15分）二、（15分）设n n ij R a A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵,试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组.：⎩⎨⎧=+=+221669632121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T=,则b Ly =.计算步骤(1) 将A 直接分解T LDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （5分）现有⎢⎣⎡63 ⎥⎦⎤166⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,221=l ,31=d .42=d由b Ly =可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=229 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒4921y y 由y D x L T1-=得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （15分）三、（15分）已知下列线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-14514103131021310321x x x 之精确解Tx )1,1,1(=.用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列问题: (1) 写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代两种迭代格式的分量迭代形式；(2) 求Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数,并指出Jacobi 迭代法的收敛性. 解： (1) Jacobi 迭代法的分量形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--=+++10/)314()10/()325(10/)314()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ),1,0( =kGauss-Seidel 迭代法的分量形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--=++++++10/)314()10/()325(10/)314()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ),1,0( =k (10分)(2) Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数分别为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=-010/310/110/3010/210/110/301A D I B J15.010/310/2||||<=+=∞J B Jacobi 迭代收敛. (15分)四、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解 +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q ⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）五、(10分) 设23)()(a x x f -=.(1) 写出0)(=x f 解的Newton 迭代格式; (2) 证明此迭代格式是线性收敛的.解 (1) 因23)()(a x x f -=,故)(6)(32a x x x f -='.由Newton 迭代公式: ,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k 得 ,1,0,665)(6)(232231=+=---=+k x ax a x x a x x x kk k k k k k .（5分）（2）迭代函数,665)(2x a x x +=ϕ而,365)(3--='x ax ϕ 又3*a x =, 则 =-='-333)(3165)(a a ϕ.0213165≠=-故此迭代格式是线性收敛的. （10分）六、(15分) 取节点21,010==x x ,12=x ，求函数xe x y -=)(在区间]1,0[上的二次插值多项式),(2x L 并估计插值误差.解由Lagrange 插值公式得()()()2112142122112----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=e x x e x x x x x L . （10分）())1)(5.0)(0(!3)()()(22---'''=-=x x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)5.0(max 6110--≤≤≤x x x x 令 ),1)(5.0()(--=x x x x h 由0)(='x h ，求得两个驻点得)311(211+=x ， )311(212-=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 3121)}1(),(),(),0({max 2110=≤≤h x h x h h x所以，有())()(22x L x y x R -=)(max 6110x h x ≤≤≤008019.03721≈=（15分）七、(10分)已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表（单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合梯形公式和复合Simpson 公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.解：用复合梯形公式，小区间数,10=n 步长.21020=-=h]4.1)8.10.28.20.35.28.20.38.15.1(20.1[22)(1020++++++++++=≈⎰T dx x f)(8.442m = （5分）用复合Simpson 公式. 小区间数5=n , 步长4)020(51=-⨯=h ]4.1)0.20.38.28.1(2)8.18.25.20.35.1(40.1[64)(520++++++++++=≈⎰S dx x f)(33.45)(313622m m ≈=（10分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤-='0)0(10),1(10y x y x y ,(1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(),(01==-+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)]1()1([21)1(01111=⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n 9,,1,0 =n （10分）。

2011---2012学年第一学期期末考试试题评分标准及参考答案

2011---2012 学年第一学期期末考试试题评分标准及参考答案
七年级数学
一、选择题（每小题 3 分，共 27 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
C
D
C
B
B

D
D
A
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
10、6.60 × 106
11
x
、
y
公里 / 时
12、40°43′ 12″
3
三、解答题（共 55 分）
16、解：原式 =8+6-15
=14-15
………… 2 分
=-1
………… 5 分
13、> 14 、75° 15 、100x+10y+8
4
4
17、解：原式 = － 27－＋27 ………… 4 分
3
3
=0
………… 5 分
1
3
2
2
18、解：原式 =﹙－ 1＋ ﹚÷ [ ×﹙－ ﹚×﹙－ ﹚ ]
3
4
3
3
………… 2 分
24、解：第一条边长： x cm
第二条边长：﹙ 2x＋ 3﹚ cm
………… 1 分
第三条边长：﹙ 3x＋ 3﹚ cm
………… 2 分
第四条边长： 48－﹙ 6x＋ 6﹚ =﹙ 42－ 6x﹚ cm
………… 5 分
当 x=5 时，第四条边长 42－ 6x=42－ 6×5=12cm ………… 6 分
25、解：设经营户这天批发西红柿 x 千克，则批发豆角（ 1.2x ＋ 1.6 ﹙ 40－x﹚ =60 1.2x ＋ 64－ 1.6x=60 1.2x － 1.6x= － 64＋ 60 － 0.4x= － 4 x=10 所以，批发西红柿 10 千克，批发豆角 30 千克。当天经营户卖完这些西红柿和豆角赚 10× 0.6 ＋ 30× 0.9=6 ＋ 27=33 元。

《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

浙江大学2011-2012数学分析1-试卷及答案baidu

浙江大学20 11 -20 12 学年秋冬学期《数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 1 月 11 日，考试时间： 120 分钟. 考生姓名：学号：所属院系： _一、6分）0002()()00013214()().lim ()..0min{1}00251251322.lim 3.111x x x f x U x A x x x x x x x x f x A f x x x x A f x x x A εδδεδεεδε→→∀>∃><-<<<<+<∀>∃=><-<----=<-<=+++-<=设在内有定义，如果存在常数，对，，当时，不妨令，则：对，，，当，有；则称在处有极限，记作：：因此二、计算下列极限：（每题6分，共18分）1. ()21211cos 12cos 101lim cos lim 1(cos 1).x ux u u u x u u e x =--⋅-→∞→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭令2.222303330003322200limlim limarcsin [()]()662arctan 26lim 6lim 4.33x x x x x x x x x x x x xx x o x xo x x x x xx +++++→→→→→==⋅-++-+===⎰⎰⎰ 3. tan 0.x x n x e e x n αα→-设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值tan tan 3330000(1)tan 1lim lim lim lim 1313.3x x x x x n n n n x x x x e e e e x x x x x x x x x n ααααα-→→→→---==⋅====，因此，，三、导数及应用：（每题7分，共21分） 1.21211(1)11111..242x y x x x y x y x π='=⋅=-+-'===+-则：故，在处的切线方程为2.342242444cos 42(1)2.(2).2cos 2cos cos dy dy dy t t d y t dt dt t dx dx dx t t dx t t t dt dt'======3.(2012)2(2012)12(2011)22(2010)2012201220122201120102(2012)0(2)()(2)()(2)()(1)(2)(1)2012(22)(1)20122011(2)2012(22)20122011.=20122x x x x x x xxxx y x x e C x x e C x x e x x e x e e x x e x ee y ---------='''=-+-+-=--+--+-⨯=---+⨯⨯因此，013=4050156.四、计算下列积分：（每题7分，共28分） 1.ln(1)x x dx +⎰222222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111ln(1)(1)ln(1).242x x x dx x dx x x dx x x x x dxx x x x x C +=+=+-+⎛⎫=+--+ ⎪+⎝⎭=+---++⎰⎰⎰⎰2.66333(2(2(3)63(27.2x x x u u π--+=+-==+==⎰⎰⎰⎰令3.22222tan 1422220002124220002(1).1(1)2=2sin 1(1)3132.4228(2)sin 2sin cos .3sin tan 2sin cos 2sin .8u t u uu x dx du u u u u u du tdtu u x u dx u udu u u u udu udu ππππππ=+∞===++⋅⋅=++=⋅⋅⋅====⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则：，则：令：，则：则：4. 211()().xt f x e dt f x dx -=⎰⎰设，计算：()22111111001()()().22xxe ef x dx xf x xf x dx xedx ----'=-=-==⎰⎰⎰五、(1)(2)2.D D x =计算：的面积；绕直线旋转一周所得立体的体积（9分）322221111222001(1)(21).211(2)21.23144(3)212(22(1).335444(2)(1).335l y x A D S V x x dx V x dy y dy ππππππππππ==⋅⋅-=⎫=⋅⋅--=--=⎪⎭=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰切线的方程为，切点，的面积或：证明题：（每题6分，共18分）1.21121111311(1)()()0.().41(41)11111(2).1()().22222(3){}.2()().3{}{}.(4n n n n n n n n n n n n n x f x f x f x x x x x x x f x f x x x x x x f x f x x x x +-+--'==>-->=>>=>==<<=<=【方法一】：令，则：则：单调递增下面证明：显然；假设，则：下面证明：单调递减，假设，则：由此可得，单调递减且有下界，因此，数列收敛11121113111)lim .lim .41221(1){}.21113112110.2224122(41)11.{}.222(2){}.3n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x n N x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞+++-+-==⇒==-∀∈>--•=>>-=-=>-->=<<设，则：故，【方法二】：数列有下界：对，；假设，则：因此，即：数列有下界数列单调递减，假设，则：111131310.{}.4141(41)(41)(3)(1)(2){}{}.3111lim .lim .4122n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→+∞→+∞----=-=>-----==⇒==-因此，单调递减由、可得，数列单调递减有下界，因此，收敛令：，则：故，().()[)()f x I f x a g x +∞叙述函数在区间上一致连续的定义设在，上一致连续，[)lim[()()]0.()[).x a f x g x g x a →+∞+∞-=+∞在，上连续，且证明：在，上一致连续(1)00()()().li (2)()[)00()().300.m [()()]0()(300)x x x I x x f f x a x f x f x I f x g x f x g x x x f x f x G x G x x εδδεεδδεεδεε→+∞'''+∞'''''''''∀>∃>∈-<-<∀>∃>-<'''-<∀>∃->><'''=∀>->∃由于在，内一致连续，则对，，当时，由于对，，当时，则：对，对，，当、，且时，，当，则称在区间上一致连续，、()()()[1)()()()()()()()()()()()()()().()[1).()[1]()[).G x x g x g x g x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x g x g x G g x a G g x a δε'''∈++∞-<''''''''''''-=-+-+-'''''''''≤-+-+-<++∞++∞，，且时，因此，在，内一致连续而，在，上一致连续，因此，在，内一致连续2. 2240()[02](02)()2(2).x f x e f x dx f -=⎰设在，上连续，在，内可导，且 (02)()2().f f ξξξξ'∃∈=证明：，，使得()2222242(1)()()()()2().(2)(02)2()2(2)()(2).()(2).(3)()[2](2)(2)(02)()0.()2().x xF x e f x F x e f x xf x e f f e f e f F F F x Rolle F f f ηηηηηηηηξηξξξξ-----''==-∃∈=⇒==∃∈⊂''==令：，则：根据积分中值定理，，使得，即：又在，上连续，在，内可导，根据定理，，，使得即：友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

数值分析期末考试试卷

数值分析期末考试试卷一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组的近似解？A. 插值法B. 高斯消元法C. 傅里叶级数D. 泰勒级数2. 以下哪个算法用于数值积分？A. 牛顿迭代法B. 梯形法则C. 欧拉方法D. 辛普森法则3. 对于非线性方程的求解，牛顿法的收敛速度通常为：A. 线性收敛B. 二次收敛C. 线性收敛或二次收敛D. 指数收敛4. 在最小二乘法中，下列哪个选项描述了法方程？A. 矩阵方程 Ax = bB. 矩阵方程Ax = λxC. 矩阵方程 A^TAx = A^TyD. 矩阵方程 A^Tb = Ax5. 以下哪个数值方法是用于求解微分方程的？A. 欧拉方法B. 辛普森法则C. 高斯消元法D. 梯形法则6. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要缺点是：A. 计算复杂B. 计算量小C. 稳定性好D. 稳定性差7. 在数值分析中，条件数是用来衡量什么的？A. 算法的稳定性B. 算法的复杂度C. 算法的收敛性D. 算法的准确性8. 以下哪个方法不是用于求解线性方程组的迭代方法？A. 雅可比迭代法B. 高斯-塞德尔迭代法C. 牛顿迭代法D. 逐次超松弛法9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 幂迭代法B. 高斯消元法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则10. 对于线性方程组 Ax = b，若 A 是奇异矩阵，则该方程组：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）11. 在数值分析中，条件数的计算公式为 ________。

12. 高斯消元法中，主元选取的目的是为了避免 ________。

13. 牛顿法的迭代公式为 x_{n+1} = x_n - ________。

14. 辛普森法则用于数值积分时，其误差与 ________ 成正比。

15. 拉格朗日插值多项式中，插值点的数量为 n 时，多项式的阶数为________。

数值分析学期期末考试题与答案(A)

期末考试试卷(A 卷)2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业、判断题(每小题分，共分)100011.用计算机求z —100■时，应按照n 从小到大的顺序相加。

n 3n3 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

()4 .采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

()5 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

()二、填空题(每空 2分，共36分)1 .已知数a 的有效数为0.01 ,则它的绝对误差限为 ,相对误差限为 .10 -11 一0]2 .设 A= 0-2 1 ,x= -5，则| A 1 =, ||^|2 =Ax L =.-1 3 0J3 .已知 f (x) =2x 5 +4x 3—5x,则 f[—1,1,0] =, f[-3,-2,-1,1,2,3] =.13 34 .为使求积公式 f f (x)dx 定A f (———)+ A 2 f (0) + A 3 f (」一)的代数精度尽量局，应使t 3 3A =, A =, A =,此时公式具有次的代数精度。

5 . n 阶方阵A 的谱半径P (A)与它的任意一种范数| A 的关系是.6 .用迭代法解线性方程组以=8时，使迭代公式 X(k41)=MX (k) + N (k=0,1,2,|||)产生的向量序列｛X(k)｝收敛的充分必要条件是 .7 .使用消元法解线性方程组 AX =8时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵 L 和上三角矩2. 为了减少误差，应将表达式 J2001 - J1999改写为22001 ,1999进行计算。

4 -2阵U的乘积，即A = LU .若米用图斯消兀法解AX = B，其中A= 1 ，则一1 2 3 4 1 L = , U = ；若使用克劳特消元法解AX = B ,则u11 =;若使用平方根方法解AX = B，则111与u11的大小关系为 (选填：>, <,=,不一'定)。

长安大学2011-2012学年第一学期研究生《数值分析原理》试题(A)卷及答案

解得： x1 x2
3 h ，——4 分 5
1 A1 A2 h3 。——4 分 3
2
五．（本题满分 12 分）给定方程组
x1 2 x2 2 x3 5 x1 x2 x3 1 2x 2x x 3 2 3 1
1）（本小题满分 6 分）用三角分解法解此方程组； 2）（本小题满分 6 分）写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量 x0 (0,0,0) ，当 xk 1 xk 10 时，求其解。
长安大学 2011-2012 学年第一学期研究生《数值分析原理》试题（A）卷
说明：1．试题共 9 道大题、共 2 页。 2．考试时间两个小时，可带计算器。 3．所有答案都写在答题纸（试卷）上，否则无效。
一．（本题满分 8 分）给定方程 x x 2 0 ， x [0,2] ，采用迭代公式
(0 , 0 ) 1/ 2 ， (0 , 1 ) 1/ 3 ， (0 , 2 ) 1/ 4 ， (1 , 1 ) 1/ 4 ， (1 , 2 ) 1/ 5 ， (2 , 2 ) 1/ 6 ， 1 1 1 (0 , f ) ln 2 ， (1 , f ) 1 ， (2 , f ) ln 2 ； 2 4 2 2
二．（本题满分 8 分）对于定积分 I

1 0
f ( x)dx ，当 M 2 1/8 及 M 4 1/ 32 ，用 11 点的
复化辛普森（Simpson）求积公式求 I 的截断误差为 RS [ f ] ，用 n 个节点的复化梯形求积公式求 I 的截断误差为 RT [ f ] ，要使 RT [ f ] RS [ f ] ， n 至少是多少？（ M 2 max f ( x) ， M 4 max f 解： n1 10 ， h1

中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案

f (4)(x)
1 2880
1 n
4
6
1 2
104
,
仅要 n 4 1 101 2.54 ,取 n 3 即对将[1,2] 作 6 等分,则有 240
(8 分)
2
1 ln xdx
1 [0 4(ln 7 ln 3 ln 11) 2(ln 4 ln 5) ln 2] 0.38628716327880 .
0.000040074
（ 4 分）
七、（10 分）(1)牛顿迭代格式
x(k 1)
x(k)
f f
(x(k ) ) '(x(k) )
x(k)
x(k) 1 (2
(x(k) )2 )(x(k) )1
1
(1 (2
)(
x( )(
)k ) 2 x(k ) )1
(2)
x(k 1)
lim
k
x(k)
1 1
fgdx
，取( x) ax bx3 ， f ( x) sin x ，则法方程为
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1) (1 , 1 )
a b
( (
f f
,0 ,1
) )
（ 4 分）
其中 0,0
1
x xdx
1
2， 3
0 ,1
(1 )(x(k) )2
lim
k
1
(2
)(x(k ) )1
c0
2
c 1
(5 分) (5 分)
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)

数值分析考试及答案

数值分析考试及答案作者:日期:班级• • •• • •• • •• • • o • • •学号• • •• • •姓名密• • •• • •o• • •• • •东北大学研究生院考试试卷2011 —2012 学年第一学期课程名称：数值分析（共3页）一、解答下列各题：（每题5分，共30分）1.设近似值x具有5位有效数字，则x的相对误差限为多少? 解：记x* 0.吋2…10m，则x的相对误差为：0.5 10m 50.a1a2... 10m0.5 10 50.10.5 10即，相对误差限为:0.5 102.问a, b满足什么条件时，矩阵Ao • • •• • •• • •线总分一——二三四五4 2 02 5a有分解式A GG T，并求a b 2时0 b 54 2 0 2 1 0解：由于A 2 5 a 1 2 a/2 （A对称正定时）0 b 5 0 b/2 5 ab/4所以，当2 .5 a b 2 5时有分解式 A GG T，a b 2 时有:4 2 0 2 0 0 2 1 0A 2 5 2 1 2 0 0 2 10 2 5 0 1 2 0 0 23.解线性方程组X1 2x2 2 的Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？2x19x2 3的分解式（其中G是对角线元素大于零的下三角形矩阵）解：Jacobi迭代矩阵为：B2/92,所以,(B) 2/3 1所以，Jacobi迭代法是否收敛.4.对方程f (x) (x3 a)20建立敛？若收敛，收敛阶是多少?解：Newton迭代格式为：X k 1 X kf(xk)f (X k)由于迭代函数为：（x）?X ka6x2所以，此迭代格式收敛，收敛阶是Newton迭代格式，并说明此迭代格式是否收3X k a2~ ，x k6X k，方程根为:1.56k 6：k2, k 012-3 a，所以,5.设f (x) 4x3 3x 5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f [1,2,3,4,5]。

数值分析试题及答案

数值分析考试试题纸（A卷）课程名称数值分析专业年纪•计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分）•已知函数表•求f(x)的三次Lagrange型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）.•求f(x)的Newton插值多项式（要求化成最简形式）.2. 已知A=，求，A的LU分解.3. 叙述m阶代数精度的定义，写出求的Simpson公式，并验证Simpson公式的代数精度为3阶.4. 设矩阵A=，求当为何值时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛.5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.参考答案•计算题•解：（1）(2) 均差表如下：2、解：由所以3. 解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

的Simpson公式：验证代数精度：当时，左边积分=,右边左边当时，左边积分右边左边当时，左边积分右边左边当时，左边积分右边左边当时，左边积分右边左边故Simpson公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，而对四次多项式不成立，所以Simpson公式具有三次代数精度。

4. 解; Ax=b其Gauss-Seidel迭代格式为迭代矩阵该迭代发收敛的充要条件是矩阵B的谱半径, 特征根当时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛。

5. 答：在函数的最佳平方逼近中，如果只在一组离散点集上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合，这里,要求一个函数与所给数据拟合，若记,是上线性无关函数族，在中找一函数，使误差平方和这里这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就成为曲线拟合的最小二乘法。

举例说明：测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近i(℃)故取n=1，拟合函数为列表如下6解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。

2011-2012学年度第一学期期末考试七年级数学试题

2011-2012学年度七年级上学期期末数学试卷一、选择题1．（3分）的倒数是（）A．B．C．﹣1D．2．（3分）用科学记数法表示1387000000，应记为（）A．13.87×108B．1.387×108C．1.387×109D．1387×106 3．（3分）单项式的系数与次数分别为（）A．，3B．﹣5，3C．，2D．，34．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣3a﹣3a=0B．x4﹣x3=x C．x2+x2=x4D．6x3﹣2x3=4x3 5．（3分）钟表上的时间为9时30分，则时针与分针的夹角度数为（）A．105°B．90°C．120°D．150°6．（3分）我们从不同的方向观察同一物体，可以看到不同的平面图形，如图，从图的上面看这个几何体的平面图形是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，a、b、c为数轴上的三点表示的有理数，在a+b，c﹣b，abc中，负数的个数有（）A．3B．2C．1D．08．（3分）下列图形中，不是正方体展开图形的是（）No.:000000000000002609．（3分）如图所示图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律排列而成，依此规律，第n个图中小正方形的个数为2011个，则n的值为（）A．600B．700C．670D．67110．（3分）甲厂有某种原料198吨，每天用去12吨，乙厂有同样的原料121吨，每天运进7吨，问多少天后甲厂原料是乙厂原料的，设x天后甲厂原料是乙厂原料的，则下列正确的方程是（）A．B ．C．D．11．（3分）如图，线段AB=9cm，C、D、E分别为线段AB（端点A，B除外）上顺次的三个不同的动点，图中所有线段的和等于40cm，则下列结论一定成立的是（）A．C D=1cm B．C E=2cm C．C E=3cm D．D E=2cm12．（3分）如图平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB﹣∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（）A．3B．2C．1D．4二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）计算﹣24的值=_________．14．（3分）一项工程甲单独做要15小时完成，乙单独做要6小时完成，现在先由甲单独做8小时，然后乙加入合做x小时完成整个工程，则所列方程为_________．，则这个锐角的度数为_________．16．（3分）浓度分别为m、n的甲、乙两种糖水，（0＜m＜1，0＜n＜1，m≠n），甲种糖水重20千克，乙种糖水重30千克，现从这两种糖水中各倒出x千克，再将每种糖水所倒出的x千克与另一种糖水余下的部分混合，若混合后的两种糖水的浓度相同，则x为_________千克．（糖水浓度=糖的重量÷糖水的重量）三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）计算：（1）（﹣5）÷6﹣（﹣2）（2）．18．（6分）先化简，再求值．3x﹣5（x﹣2xy2）+8（x﹣3xy2），其中．19．（6分）解方程：．20．（7分）画图，说理题如图，已知四个点A、B、C、D；（1）画射线AD；（2）连接BC；（3）画∠ACD；（4）画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小；并说明理由．21．（7分）一架飞机在两城市之间飞行，顺风需4小时20分，逆风需要4小时40分，已知风速是每小时30千米，求此飞机本身的飞行速度．22．（8分）已知m、n满足|m﹣12|+（n﹣m+10）2=0．（1）求m、n的值；（2）已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好是AP=nPB，点Q为BP的中点，求线段AQ的长．23．（10分）一种商品售价2.2元/件，如果买100件以上，超过100件部分的售价为2元/件．（1）若买100件花_________元，买140件花_________元；（2）若小明买了这种商品花了n元，解决下列问题；①小明买了这种商品多少件；（用n的式子表示）②如果小明买这种商品的件数恰好是0.48n件，求n的值．24．（10分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件售价60元，利润率为50%．（1）每件甲种商品利润率为_________，乙种商品每件进价为_________元；（2）该商场准备用2580元钱购进甲、乙两种商品，为使销售后的利润最大，则最大利润为_________元；（3）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？（4）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过380元不优惠超过380元，但不超过500元售价打九折超过500元售价打八折按上述优惠条件，若小聪第一天只购买甲种商品，实际付款360元，第二天只购买乙种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？25．（12分）已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE=_________；若∠COF=n°，则∠BOE=_________，∠BOE 与∠COF的数量关系为_________；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．2011-2012学年七年级期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）的倒数是（）A．B．C．﹣1D．考点：倒数。

数值分析2012考试卷

研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年第一学期课程名称：数值分析课程编号：000304 任课教师：陈欣曲绍波考试形式：闭卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解方程f (x )=0的根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且。

2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。

3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为，其收敛阶为、求110（取x 0=10）的第一个近似值为。

4. 幂法用来计算实矩阵A 的特征值及对应的，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了。

5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换，使用该公式计算≈⎰311dx x。

二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。

说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。

2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。

三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。

五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。

数值分析(2011年12月)A卷

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：数值分析（A 卷）专业年级： 2011级各专业考试形式：闭卷（可用计算器）考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、填空题(每空3分，共30分)（1）利用4位浮点数计算，31.97+（2.457+0135。

2）=（）。

(2) 设1||<<x ，为了使计算更准确，应将计算公式xx y 21111---=等价转化为（）。

（3）用二分法求1)(3-+=x x x f 在区间[0,1]内的唯一根，迭代二步后根所在的区间为（）。

（4）求1)(23--=x x x f 在区间（1,2）内的根，用迭代格式111-=+k k x x ，该迭代格式是收敛还是发散？（）。

（5）用高斯消元法求解n 阶线性方程组，乘除的运算量为（）。

（6）T x )0,1,2,8(-=，则向量x 的1-范数2||||x =（）。

（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8100212322A ，则矩阵A 的无穷范数1||||A =（）。

（8）设x 为n 维列向量，G 为n 阶矩阵，则迭代格式f Gx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件为（）。

（9）已知2)1(1)(x x f +=在 1.2 1.1, ,0.1 三点的函数值分别为0.2066 0.2268, ,25.0，利用三点数值微分公式近似计算f(x) 在1.1处的导数值)1.1('f ≈（）。

（10）设5228)(257+++=x x x x f ，则差商=]2,,,2,2[821 f （）。

二、(10分) 当2,1,0,1-=x时，函数值分别为17,4,3,2)(=x f 求f(x)的三次插值多项式。

三、((10分) 求函数x x f ln )(=在区间[1, 3]的最佳平方逼近一次多项式。

研究生数值分析期末考试试卷参考答案

研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。

数值分析(2011)试题A卷参考答案

装订线年级学号姓名专业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1359 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一二三四五六七八九十总分年级2011级研究生份数拟题人王吉波审核人装订线年级学号姓名专业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

2012数值分析a考题

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八、（9分）设是互不相同的插值节点，是拉格朗日插值基函数。证明
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九、(5分)设有线性方程组，其中是阶对的迭代序列收敛于方程组的唯一解.
共8页第8页
五、（8分）求函数在区间上的最优平方逼近一次式。
八、（8分）设是实对称正定矩阵，
其中
三、（8分）对线性代数方程组：
（1）请写出雅可比(Jacobi)迭代法的迭代格式，并证明迭代格式收敛还是发散；
（2）请写出高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法的迭代格式，并证明迭代格式收敛还是发散.
共8页第2页
四、（8分）已知函数的函数值、导数值如下：
0
1
(x)
1
0
(x)
0
1
(x)
2
求满足条件的Hermite插值多项式及截断误差表示式.
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五、（8分）已知一组实验数据
X(i)
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y(i)
4
2
3
0
-1
-2
-5
求最小二乘拟合二次多项式。
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六、（8分）求函数在区间上的最优一致逼近一次式。
共8页第5页
七、（10分）构造在区间[-1，1]上关于权函数的最高次项系数为1的正交多项式；确定求积公式中的系数与节点，使其具有最高代数精度；用广义皮亚诺定理确定其误差项。
6.给定，用共轭梯度法求解线性方程组
，可得，
；
7.若f(0.0)=1.0, f(1.0)=2.0,用梯形公式计算积分求得的近似值为；又f(0.5)=3.0,用Simpson求积公式求得的近似值为。用三点数值微分公式计算求得的近似值为。

数值分析A卷(2011年秋)

试题__2011___年~__2012___年第一学期课程名称：数值分析专业年级： 2011级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型： A卷√ B卷□ 考试方式: 开卷√ 闭卷□………………………………………………………………………………………………………注意：本试卷共八道大题，共100分。

一、单选题(4*5=20分)1、设矩阵A=, 则Cond(A)为（）。

(A)、1； (B)、2； (C)、3； (D)、。

2、已知求方程在区间上的根的不动点迭代为，对于其产生的数列，下列说法正确的是（）。

(A)、若数列收敛，则迭代函数唯一；(B)、若对于，，则收敛；(C)、若对于，，则收敛；(D)、若对于，，则收敛。

3、对矩阵A采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（）。

(A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值；(B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值；(C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值；(D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。

4、设是个互异节点的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（）。

（A）、；（B）、；（C）、；（D）、。

5、若求积公式为高斯型求积公式，下列说法正确的是（）。

(A)、不能确定该求积公式的稳定性; (B)、;(C)、该求积公式的代数精度为11; (D)、它不是插值型求积公式。

二、填空题(4*5=20分)1、求解常微分方程初值问题的改进的欧拉法是阶方法。

2、解非线性方程的单根的牛顿法格式为，其收敛阶为。

3、设矩阵，，则，。

4、设，则＝。

5、若用高斯－赛德尔方法解方程组，其中为实数，则该方法收敛的充要条件是应满足。

三、（10分）设在上有5阶连续导数，且，（1）试作一个次数不高于4次的多项式，满足条件（2）写出的表达式。

四、（10分）求在上的二次最佳平方逼近，权为1。

五、（10分）用的高斯－勒让德公式计算积分六、（10分）已知，请用Doolittle三角分解法求解线性方程组。

数值分析试题(A)参考答案2012.6

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：数值分析（A 卷）参考答案专业年级： 11级各专业考试形式：闭卷（可用计算器）考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、简答题(20分)1、避免误差危害的主要原则有哪些？答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。

（2分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。

（3分）（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。

（4分）（4）采用稳定的算法。

（5分）2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：（1）若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。

（3分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。

（4分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。

（5分）3．求解非线性方程的Newton 迭代法的收敛性如何？答：（1） Newton 迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。

（2分）（2）用Newton 迭代法求方程0)(=x f 的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。

（5分）4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？答：（1）Newton-Cotes 积分公式当7≤n 时，Cotes 系数都为小于1的正数，因此是稳定的。

（3分）（2）当8>n 时，出现了绝对值大于1的Cotes 系数，因此是不稳定。

（5分）二、(10分) 证明函数)(x f 关于点k x x x ,...,,10的k 阶差商],...,,[10k x x x f 可以写成对应函数值k y y y ,...,,10的线性组合，即∑==k j jjk x w y x x x f 010)('],...,,[ 其中节点))...()(()(10k x x x x x x x w ---=。

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2011/2012学年第一学期末考试试题（A 卷）
数值分析
使用班级： 2011级研
一、填空题(每空2分，共30
分) 1. 1.414
≈，用公式
)
6
1、99-
、
(3
1
3
+)
6
1
的近似值分别有、、、位有效数字；
2. 设有矩阵()
332,346-⎛⎫
== ⎪- ⎪
⎝⎭A x ，则1=A ，∞=A ；
3. 对线性方程组{
121235
34
x x x x +=+=，若迭代公式
()()()()(1)()()112(1)()()
2
2115/3
,0,1,2,14/3k k k k k k x x x k x x x ω
ωωω++⎧=-+-⎪=⎨=-+-⎪⎩
对任意的初始向量()T
(0)
(0)(0)
12,x x =x
都收敛，则松弛因子ω的取值范围为；
4. 设(0)0,(1)1,(2)1,f f f ===则[0,1]f = ，[0,1,2]f = ；()f x 的二次
Newton 插值多项式为；又若(1)1f '=，则(
)f x 的三次Hermite 插值多项式为；
5. 用公式()358509
99G f f f ⎛=
++ ⎝近似计算11()d f x x -⎰具有次代数精度； 6. 非线性方程解方程e x
x -=的一个具有3位有效数字的近似根为；
7. 求解初值问题00()(,),()y t f t y y t y '==的改进Euler 公式为
，它是阶方法。

二、解答下列各题(每小题12分，共24分)
1.用LU分解法求解线性方程组
1
2
3
4
33319 9109432 64921 310211
x
x
x
x
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
=
⎪
⎪ ⎪
--
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
；
2.用Romberg方法计算积分
2
1
ln d
I x x x
=⎰的近似值。

要求计算到第一个Romberg值(3)0T，
说明共计算了多少个求积节点处的函数值，并将计算结果与准确值
3
2ln2
4
I=-进行比
较，说明计算的精度。

分，共40分)
1．用列主元Gauss消去法解线性方程组
123
123
123
2320
28 249
x x x
x x x
x x x
-+=-
⎧
⎪
-++=-
⎨
⎪++=
⎩
；
2．在某低温过程中，变量y 依赖于温度o
C x 的试验数据如下表
试用最小二乘法确定经验公式()y g x ax bx ≈=+，并估计变量y 在 2.5x =处的值。

2．写出用Newton 迭代法求解非线性方程组2222
20
2210
x y x xy y ⎧+-=⎨-+-=⎩的步骤，并取初值00(,)(1.01,0.99)x y =计算近似解11(,)x y (只进行一次迭代)。

.3．设A=31⎛⎫
⎪⎝⎭
，写出用幂法求A 的按模最大的特征值及对应的一个特征向量的计算过程，并取初始特征向量(0)0.8161.000x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
进行1次迭代计算。

试确定求解初值问题
()
()0
00
,
y f t y t t T
y t y
'=≤≤
⎧
⎨=
⎩
的三步显示Adams公式
()
3122110
n n n n n
y y h f f f
βββ
++++
=+++
中的系数，使它的阶尽可能的高，并求它的局部截断误差和阶数。