立体几何及空间想象能力2017新题赏析

第17讲 立体几何及空间想象能力2017新题赏析

新题赏析

题一：如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .

求证：（1）EF ∥平面ABC ；

（2）AD ⊥AC.

题二：如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．

（1）求证：PA BD ⊥；

（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

（3）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -

的体积．

题三：由四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .

（1）证明：1A O 平面B 1CD 1；

（2）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.

题四：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M

在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD =4AB =．

（1）求证：M 为PB 的中点；

（2）求二面角B PD A --的大小；

（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

第1讲 立体几何及空间想象能力2017新题赏析

新题赏析

题一：证明：（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则A B E F ∥.∵AB ?平面ABC ，EF ?平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .

（2）∵BC ⊥BD ，平面ABD 平面BCD =BD ，

平面ABD ⊥平面BCD ，BC ?平面BCD ，

∴BC ⊥平面ABD . 又∵AD ?平面ABD ,

∴BC ⊥AD . 又∵AB ⊥AD ，,BC AB ?平面ABC ，BC

AB B =，∴AD ⊥平面ABC ， 又AC ?平面ABC ，∴AD ⊥AC.

题二：（1）证明：因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC B =所以PA ⊥平面ABC ．

又因为BD ?平面ABC ，所以PA BD ⊥．

（2） 证明：因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．

由（1）知，PA BD ⊥，PA AC A =所以BD ⊥平面PAC ．又因为BD ?平面BDE ，所以

平面BDE ⊥平面PAC ．（3） 13

题三：（1） 证明：取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，

由于ABCD-A 1B 1C 1D 1是四棱柱，所以11

11,AO OC AO OC =，因此四边形11AOCO 为平行

四边形，所以11A O CO ，又1CO ?平面11B CD ，1

AO ?平面11B CD ，所以 1A O 平面B 1CD 1；

（2）因为AC ⊥BD ，E ,M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM ⊥BD ，又1A E ⊥平面ABCD ， BD ?平面ABCD ，所以1A E BD ⊥，因为11

B D BD ，所以11EM B D ⊥，111A E B D ⊥，

又1A E 、EM ?平面1A EM ，1A E EM E =，所以11B D ⊥平面1A EM ，又11B D ?平面

11B CD ，所以平面1A EM ⊥平面11B CD .

题四：（1）证明：设,AC BD 交点为E ，连接ME ．因为//PD 平面MAC ，

平面MAC 平面PDB ME =，所以//PD ME ．因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中

点．所以M 为PB 的中点．（2）

π3；（3）9