《数列的概念》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】

《数列的概念》教学设计
【知识与能力目标】
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与n
a
的关系
【过程与方法目标】
经历数列知识的感受及理解运用的过程。

【情感态度价值观目标】
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点】
根据数列的递推公式写出数列的前几项
【教学难点】
理解递推公式与通项公式的关系
Ⅰ.课题导入
数列的概念
问题： 1.国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；
2.古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；
3.童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿；两只青蛙，两张嘴，四只眼睛，八条腿；三只青蛙，三张嘴，六只眼睛，十二条腿；
4.中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数。

教师：以上四个问题中的数蕴涵着四列数。

◆教学目标
◆教学重难点
◆教学过程
学生：
1：1、2、22、23 (263)
2一列数：
3：
4：15，5，16，16，28，32
如上几列数的共同特点是什么？
教师：引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
3. 数列的一般形式：
n a a a ,,,21 ，表示法{}n a
4.数列的表示方法
（1）通项公式法
如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列的通项公式为；
的通项公式为；
的通项公式为；
（2）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n为横坐标，相应的项a n为纵坐标，即以（n，a n）为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（3）递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3
若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
1(3
+
=n
a
n
a n=n+3（1≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即
4
1
=
a；1
1
4
5
1
2
+
=
+
=
=a
a；1
1
5
6
2
3
+
=
+
=
=a
a
依此类推：
1
1
+
=
-
n
n
a
a
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：
递推公式：如果已知数列{}
n
a
的第1项（或前几项），且任一项n
a
与它的前一项1-n
a
（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
)8
3(
,5
,3
2
1
2
1
≤
≤
+
=
=
=
-
-
n
a
a
a
a
a
n
n
n
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用a1表示第一项，用 a2表示第一项，……，用a n表示第n项，依次写出成为{a n}
4、列表法
．简记为．
[范例讲解]
例3 设数列{}
n
a
满足
1
1
1
1
1(1).
n
n
a
a n
a
-
=
⎧
⎪
⎨=+>
⎪
⎩写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出
{}
n
a
的第1项即
1
1
=
a，递推公式：
1
1
1
-
+
=
n
n a
a
解：据题意可知：
3
2
1
1
,2
1
1
,1
2
3
1
2
1
=
+
=
=
+
=
=
a
a
a
a
a
，
5
8
,
3
5
1
1
5
3
4
=
=
+
=a
a
a
[补充例题]
例4已知
2
1
=
a，n
n
a
a2
1
=
+写出前5项，并猜想n
a
．
法一：
2
1
=
a2
2
2
2
2=
⨯
=
a3
2
3
2
2
2=
⨯
=
a
，观察可得
n
n
a2
=法二：由n
n
a
a2
1
=
+∴1
2
-
=
n
n
a
a
即
2
1
=
-
n
n
a
a
∴
1
1
2
3
2
2
1
1
2-
-
-
-
-
-
=
⨯
⨯
⨯
⨯n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
∴
n
n
n
a
a2
21
1
=
⋅
=-
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
3． an的定义及与n 之间的关系
◆教学反思。