2.1.2等式性质与不等式性质

ab ②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ③对于正数 a，b，m，若 a<b，则a<a＋m.其中真命题的序号是________．
b b＋m
①③
一、利用不等式的性质比较大小
例3 已知 a > b >0, c <0, 求证: c
c
＞
.
证明：因为a > b >0,
a 所以 ab >0,
1b
>0.
性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那 么a>b.
abba
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性．
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.（传递性）
a b，b c a c
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性．
于是 a 1 b 1 ,
ab
ab ab
即
1 1.
ba
思考？
由 c<0 , 得
c b
c a
,
能否用 作差法
即
c c. ab
证明 ？
二、利用不等式的性质求范围
例3
已知12<a<60,15<b<36.求a－b和
b a
的取值
范围．
解 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15，
又 1 <1< 1 36 b 15
∴12－36<a－b<60－15， ∴12<a<60
即－24<a－b<45.
36 bt;a－b<45，1<a<4. 3b
小结
1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确 理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的 关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等 式组来表示.
2.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小 关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同 时也是发掘不等式性质的理论依据.
3.用“作差法”比较两个实数的大小，一般分三 步进行：作差→变形→判断符号. 其中变形的目的 在于判断差式的符号，常用的变形技巧有因式分解、 配方等.
性质3：如果a>b，则a+c>b+c.
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b. 结论：不等式中的任何一项都可以改变 符号后移到不等式另一边（移项法则）
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc.
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向.
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.
性质7：如果a b 0, 那么an bn , (n N, n 2) 性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式 两边同时乘方所 得的不等式和原不等式同向.
性质8：如果a b 0, 那么n a n b, (n N , n 2)
性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等 式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.
以上这些关于不等式的事实和性质是解决不 等式问题的基本依据
一、利用不等式的性质比较大小
例 1 (1)给出下列命题： ①若 ab>0，a>b，则1<1；