高中立体几何计算方法总结
高中立体几何知识点总结
一、空间点、线、面的位置关系1.1 点与点•点的定义：空间中的任意一点。
•点的坐标表示：a⃗=(a x,a y,a z)。
1.2 直线与直线•直线的定义：无限延伸的平面内的所有点。
•直线的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
1.3 直线与平面•直线的平面方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
•直线与平面的交点表示：设直线上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+ By0+Cz0+D=0。
1.4 平面与平面•平面的定义：无限延伸的平面内的所有点。
•平面的方程表示：r⃗=(x,y,z)，其中Ax+By+Cz+D=0。
1.5 平面与空间体•平面与空间体的交线表示：设空间体上的点为P(x0,y0,z0)，则有Ax0+By0+Cz0+D=0。
二、空间几何体2.1 柱体•柱体的定义：底面为圆形或矩形，顶面与底面平行的空间几何体。
•柱体的体积公式：V=底面积×高。
2.2 锥体•锥体的定义：底面为圆形或三角形，顶点在底面内的空间几何体。
•锥体的体积公式：V=1底面积×高。
32.3 球体•球体的定义：所有点与球心等距的空间几何体。
•球体的体积公式：V=4πR3。
32.4 空间四边形•空间四边形的定义：四个顶点在空间中的四边形。
•空间四边形的面积公式：S=12|a⃗×b⃗⃗|，其中a⃗和b⃗⃗为四边形的两条对角线。
三、空间角的计算3.1 线线角•线线角的定义：两条直线之间的夹角。
•线线角的计算公式：θ=arccos(|a⃗⃗⋅b⃗⃗||a⃗⃗||b⃗⃗|)，其中a⃗和b⃗⃗为两条直线的方向向量。
3.2 线面角•线面角的定义：直线与平面之间的夹角。
•线面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗⋅a⃗⃗||n⃗⃗||a⃗⃗|)，其中n⃗⃗为平面的法向量，a⃗为直线的方向向量。
3.3 面面角•面面角的定义：两个平面之间的夹角。
•面面角的计算公式：θ=arccos(|n⃗⃗1⋅n⃗⃗2||n⃗⃗1||n⃗⃗2|)，其中n⃗⃗1和n⃗⃗2为两个平面的法向量。
高中最全立体几何公式
109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线. 118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅. 127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ= =21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则 2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则 222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积 13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.基本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]）斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行。
8.（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
高中数学立体几何公式大全
立体几何公式大全向量式cos a b a b θ⋅=⋅ a b ⊥0a b ⋅=//a b （0b ≠）a b λ=（0,λ>方向相同0,λ<方向相反）模a2a a =夹角θ（0a ≠，0b ≠）cos a b a bθ⋅=⋅二、求角和距离公式： 求异面直线a 与b ： 12222111cos a b x x y a bx y z θ⋅+==⋅++与平面αa n a n⋅⋅（n 表示平面为平面α的法向量1n 与平面2n 的夹角：则12112cos n n n n θ⋅=⋅：求二面角步骤：一、瞄：瞄一下看二面角θ是锐角还是钝角；二、的法向量1n 与平面的法向2n ，而后用12112cos n n n n θ⋅=⋅ 求出1n 与2n 的夹角1θ；三、定：同锐相等：若θ是锐角，也是锐角，；同钝相等：若θ是锐角，θ也是锐角，则1θ=；锐钝互补：若θJP69/KP127/AP n n⋅A 为平面α上的任意n 为平面α的法向量三、求法向量步骤：（1） 设法向量(,,)n x y z =，利用法向量n 与平面上的两相交直线方向向量垂直数量积为0建立两个方程；（2） 求出x 等于多少z, y 等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量n ；或者求出x 等于多少y, z 等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量n ； 或者求出y 等于多少x, z 等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量n ；（3） 把所求的法向量n 代入方程组检验！ 四、法向量n 的在证明题中用处:(1) 线面平行：l l n α⊄⊥平面且⇔//l α平面：参见JP65/例2 （证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可） (2) 面面平行：12//n n ⇔//αβ平面平面：参见JP65/例2（证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可） (3) 线面垂直：//l n l α⇔⊥平面：（证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可） (4) 面面垂直：12n n ⊥⇔αβ⊥平面平面：参见JP65/例3 （证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可）。
高中数学知识复习与总结(立体几何)
知识复习与总结（立体几何）1、三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
这是判断直线在平面内的常用方法。
（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。
这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。
（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理3和三个推论是确定平面的依据。
3、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。
（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。
（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。
[题目4] 空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系_____；[题目5]给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α；③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
其中正确的命题是_________________[题目1] 在空间四点中，三点共线是四点共面的__________条件；[题目2] 给出命题：①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则 l α；②若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；③若l α ，A ∈l ，则A ∉α ④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合。
上述命题中，真命题是__________；*[题目3]长方体中ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=6，在线段BD ，A 1C 1上各有一点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=MQ ，则M 点的轨迹图形的面积为______________；4、异面直线的判定：反证法。
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结立体几何是高中数学中的一个重要的部分，它主要研究各种几何体的性质和计算相关的参数，如体积和表面积等。
在归纳立体几何的学习过程中，了解和掌握常见的体积和表面积公式是非常关键的。
本文将总结和归纳高中数学中常见的立体几何体的体积和表面积公式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、三角柱和三棱柱：三角柱和三棱柱是最简单的几何体之一，它们的体积和表面积计算公式如下：三角柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三角柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和三棱柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三棱柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和其中，底面积可以根据给定的形状进行计算，高是指底面到上底的垂直距离。
二、长方体和正方体：长方体和正方体是具有六个面的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：长方体的体积公式为：V = 长 ×宽 ×高长方体的表面积公式为：S = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)正方体的体积公式为：V = 边长^3 (边长的三次方)正方体的表面积公式为：S = 6 ×边长^2 (边长的二次方)其中，长、宽、高、边长分别表示长方体和正方体的相关参数。
三、圆柱体和圆锥体：圆柱体和圆锥体是由圆形底面和侧面组成的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：圆柱体的体积公式为：V = 圆底面积 ×高圆柱体的表面积公式为：S = 2 ×圆底面积 + 侧面积圆锥体的体积公式为：V = 1/3 ×圆底面积 ×高圆锥体的表面积公式为：S = 圆底面积 + 侧面积其中，圆底面积可以根据给定的半径计算，高是指底面到上底的垂直距离，侧面积是指侧面的曲面积分。
四、球体：球体是由曲面构成的立体体，它的体积和表面积计算公式如下：球体的体积公式为：V = 4/3 × π × 半径^3 (半径的三次方)球体的表面积公式为：S = 4π × 半径^2 (半径的二次方)其中，π是一个常数，约等于3.14159，半径是指从球心到球面上的任意一点的距离。
高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答 精选范文
高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
4、反证法。
三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。
2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
5、垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
(完整版)高中数学必修二立体几何知识点总结
第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 lR r S π)(+=圆台侧面积 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈αB ∈α（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理（3公理 L A · α C · B · A · α2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高中数学立体几何公式大全
高中数学立体几何公式大全高中数学立体几何公式整理如下：1. 正方体：a-边长，S=6a²，V=a³2. 长方体：a-长，b-宽，c-高，S=2(ab+ac+bc)，V=abc3. 圆柱：r-底半径，h-高，C=2πr，S底=πr²，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr²h4. 空心圆柱：R-外圆半径，r-内圆半径，h-高，V=πh(R²-r²)5. 直圆锥：r-底半径，h-高，V=πr²h/36. 圆台：r-上底半径，R-下底半径，h-高，V=πh(R²+Rr+r²)/37. 棱柱：S-底面积，h-高，V=Sh8. 棱锥：S-底面积，h-高，V=Sh/39. 棱台：S1和S2-上、下底面积，h-高，V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310. 拟柱体：S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高，V=h(S1+S2+4S0)/611. 球：r-半径，d-直径，V=4/3πr³=πd²/612. 球缺：h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径，V=πh(3a²+h²)/6=πh²(3r-h)/3a²=h(2r-h)13. 球台：r1和r2-球台上、下底半径，h-高，V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/614. 圆环体：R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径，V=2π²Rr²=π²Dd²/415. 桶状体：D-桶腹直径，d-桶底直径，h-桶高，V=πh(2D²+d²)/12以上公式涵盖了几何体各个方面的内容。
高中数学立体几何知识点总结
立体几何一、平面的基本性质公理１如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.根据上面的公理,可得以下推论.推论１经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面．二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点（1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点（3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点）平行—没有公共点三、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.四、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行．②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α,则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=ｂ,则a∥ｂ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=ｂ,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定１.定义：若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若ｂ∥c,a⊥b,则a⊥c3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,ｂ α，a⊥ｂ.4.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α，则a⊥b.5．三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=ａ,β∩γ=ｂ，γ∩α=ｃ，则a⊥b，b⊥c，c⊥ａ.(３)直线与平面平行的判定①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行．即若a⊄α,b⊂α,a∥b,则ａ∥α.③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,l⊂α，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β,l⊄α,则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α,Ｂ∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距,则ＡB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α,则α∥β．⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥ａ,则b∥α．⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面（或在这个平面内）,即若a∥ｂ,a∥α,b∥α（或ｂ⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面．即若m⊂α，n⊂α，ｍ∩n=B，ｌ⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a，a⊥α,则l⊥α．④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α⊥β,ａ∩β=α,l⊂β,l⊥a,则l⊥α．⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且ａ∩β＝α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义:如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若ａ，ｂ⊂α,a∩b=P，a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a，则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行．即若α∥β，β∥γ,则α∥γ．⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,则这两个平面平行,即若ａ,b⊂α,c,ｄ⊂β,ａ∩b=P,a∥ｃ,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义:两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α－a－β＝９0°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ,则β⊥γ.五、直线在平面内的判定(1)利用公理１：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内．(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,Ａ∈α,ＡB⊥β，则AB⊂α.(3）过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A ∈a，a⊥b,Ａ∈α,b⊥α，则ａ⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α,P ∈β，β∥α,P∈a，a∥α，则ａ⊂β.(5)如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α，A∈α，A∈ｂ,ｂ∥ａ,则ｂ⊂α．六、存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(３)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;(４)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;(５)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;(6）过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;(7）过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.七、射影及有关性质（1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.（２)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.（3）图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时,射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时,射影仍是一个图形．(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(ｉ)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;（ｉi)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.八、空间中的各种角1、等角定理及其推论定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等．推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角）相等.2、异面直线所成的角(1）定义:a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线ａ′∥a,b′∥b,则a′和ｂ′所成的锐角（或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤９0°.(3)求解方法①根据定义,通过平移，找到异面直线所成的角θ;②解含有θ的三角形,求出角θ的大小.3、直线和平面所成的角(１)定义和平面所成的角有三种：(ｉ)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii）垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角．(iii)一条直线和平面平行，或在平面内,则它们所成的角是0°的角.(２)取值范围0°≤θ≤90°（３)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ．②解含θ的三角形,求出其大小.4、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.（2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.5、若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°<θ≤180°（３）二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②二面角的平面角具有下列性质:(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面P ＣD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上．(ｉｉi ）二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面P ＣD ⊥α，平面ＰＣD ⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.（i)定义法（ii)垂面法(４)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ,再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S ′＝S ·cos α其中S 为二面角一个面内平面图形的面积,S ′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小．空间的各种距离点到平面的距离（1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（2）求点面距离常用的方法：1）直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段;②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.２)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.３)体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出ｈ即为所求．这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为（平行）直线与平面的距离来求．直线和平面的距离(１)定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.(2）求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之．②将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离.空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图:从前往后 侧视图：从左往右 俯视图:从上往下 ２ 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法（角度等于４5或者135）4斜二测画法的步骤：(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）．平行于y 轴的线长度变半，平行于x 轴的线长度不变;（３).画法要写好。
高中立体几何公式
高中立体几何公式长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab三角形a,b,c－三边长、h－a边上的高、s－周长的一半、A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长、h－a边的高、α－两边夹角S＝ah ＝absinα菱形a－边长、α－夹角、D－长对角线长、d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα梯形a和b－上、下底长、h－高、m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh圆r－半径、d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2 ＝πd2/4扇形r—扇形半径、a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长、b－弦长、h－矢高、r－半径、α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径、r－内圆半径、D－外圆直径、d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴、d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长、b－宽、c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积、h－高V＝Sh棱锥S－底面积、h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径、h－高、C—底面周长、S底—底面积、S侧—侧面积、S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h ＝πr2h空心圆柱R－外圆半径、r－内圆半径、h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径、h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径、R－下底半径、h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径、d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高、r－球半径、a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径、h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径、D－环体直径、r－环体截面半径、d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径、d－桶底直径、h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
高中数学中的立体几何体积与表面积计算技巧
高中数学中的立体几何体积与表面积计算技巧立体几何是中学数学中的重要内容，其中计算立体几何体积与表面积是关键的技巧。
本文将介绍高中数学中立体几何体积与表面积的计算技巧，希望能够帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、体积计算技巧1.1 直接计算公式在体积计算中，有一些几何体具有直接计算公式，我们可以直接利用这些公式进行计算。
下面是一些常见的几何体的体积计算公式：- 立方体：V = 边长³- 正方体：V = 边长³- 长方体：V = 长 ×宽 ×高- 圆柱体：V = π × 半径² ×高- 圆锥体：V = 1/3 × π × 半径² ×高- 球体：V = 4/3 × π × 半径³利用这些公式，我们可以轻松地计算出各种几何体的体积。
1.2 分割相加法有些情况下，几何体的体积无法直接利用公式计算，但我们可以通过分割相加的方法来计算。
比如，一个不规则的立方体，我们可以将其分割成多个规则的长方体，然后计算各个长方体的体积，最后相加得到整个立方体的体积。
这种方法需要我们灵活掌握几何体的分割技巧和计算公式，可以通过将几何体分割成更简单的子几何体，再计算子几何体的体积，最后相加得到总体积。
1.3 代入计算法对于一些特殊形状的立体几何体，我们可以通过代入计算法来计算其体积。
比如，一个棱锥形的几何体，我们可以将其当作一个三角形的面积乘以高来计算。
为了能够应用这种方法，我们需要将立体几何体转化为更简单的几何形状，然后利用已知的计算公式进行计算。
二、表面积计算技巧2.1 直接计算公式与体积计算类似，有些几何体的表面积也有直接计算公式。
下面是常见几何体的表面积计算公式：- 立方体：A = 6 ×边长²- 正方体：A = 6 ×边长²- 长方体：A = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)- 圆柱体：A = 2 × π × 半径² + 2 × π × 半径 ×高- 圆锥体：A = π × 半径 ×斜高+ π × 半径²- 球体：A = 4 × π × 半径²利用这些公式，我们可以快速计算出各几何体的表面积。
高中数学立体几何知识点总结
立体几何一、平面的根本性质公理1 假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.公理2 假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同始终线上的三个点，有且只有一个平面.依据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线及直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有多数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面及平面相交—有一条公共直线(多数个公共点)平行—没有公共点三、异面直线的断定证明两条直线是异面直线通常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点及平面外一点的连线，及平面内不经过该点的直线是异面直线〞.四、线面平行及垂直的断定(1)两直线平行的断定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即假设a∥αβ，α∩β,那么a∥b.③平行于同始终线的两直线平行，即假设a∥∥c,那么a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b⑤两平行平面及同一个平面相交，那么两条交线平行，即假设α∥β,α∩γ,β∩γ,那么a∥b⑥假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线及这两个平面的交线平行，即假设α∩β∥α∥β，那么a∥b.(2)两直线垂直的断定1.定义：假设两直线成90°角，那么这两直线相互垂直.∥⊥b,那么a⊥c⊥α⊂α，a⊥b.∥α⊥α,那么a⊥b.5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即假设α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β,β∩γ,γ∩α，那么a⊥⊥⊥a.(3)直线及平面平行的断定①定义：假设一条直线和平面没有公共点，那么这直线及这个平面平行.②⊄α⊂α，a∥b,那么a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即假设α∥β⊂α，那么l∥β.④α⊥β⊥β，l⊄α，那么l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，假如它们及这个平面的间隔相等，那么过这两个点的直线及这个平面平行，即假设A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，那么∥α.⑥两个平行平面外的一条直线及其中一个平面平行，也及另一个平面平行，即假设α∥β⊄α，a⊄β，a∥α，那么α∥β.⑦假如一条直线及一个平面垂直，那么平面外及这条直线垂直的直线及该平面平行，即假设a⊥αα，b⊥a，那么b∥α.⑧假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即假设a∥∥α∥α(或b⊂α)(4)直线及平面垂直的断定①定义：假设一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直.②⊂α，n⊂α，m∩⊥⊥n,那么l⊥α.③∥⊥α,那么l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即假设α∥β⊥β，那么l⊥α.⑤假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即假设α⊥β∩β=α，l⊂β，l⊥a,那么l⊥α.⑥假如两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，即假设α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,那么a⊥γ.(5)两平面平行的断定①定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即假设⊂α，a∩∥β∥β,那么α∥β.③α⊥a,β⊥a,那么α∥β.④α∥β,β∥γ,那么α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，即假设⊂α⊂β∩∥∥d,那么α∥β.(6)两平面垂直的断定①定义：两个平面相交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即假设l⊥β⊂α，那么α⊥β.③α∥β，α⊥γ，那么β⊥γ.五、直线在平面内的断定(1)利用公理1：始终线上不重合的两点在平面内，那么这条直线在平面内.(2)假设两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即假设α⊥β∈α，⊥β，那么⊂α.(3)过一点和一条直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于直线的平面内，即假设A∈⊥b，A∈α⊥α，那么a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而及该平面平行的平面内，即假设P∉α，P∈β，β∥α，P∈∥α，那么a⊂β.(5)假如一条直线及一个平面平行，那么过这个平面内一点及这条直线平行的直线必在这个平面内，即假设a∥α∈α，A∈∥a,那么b⊂α.六、存在性和唯一性定理(1)过直线外一点及这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点及平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点及这个平面平行的平面有且只有一个；(4)及两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点及直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且及该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而及另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而及另一条垂直的平面有且只有一个.七、射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不及射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面及射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不及射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；()相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；()垂线段比任何一条斜线段都短.八、空间中的各种角1、等角定理及其推论定理：假设一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向一样，那么这两个角相等.推论：假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.2、异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间随意一点O，分别引直线a′∥′∥b,那么a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①依据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.3、直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.()垂线及平面所成的角直线垂直于平面，那么它们所成的角是直角.()一条直线和平面平行，或在平面内，那么它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线及平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.4、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.5、假设两个平面相交，那么以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②二面角的平面角具有以下性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即⊥平面.()从二面角的平面角的一边上随意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.()二面角的平面角所在的平面及二面角的两个面都垂直，即平面⊥α，平面⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法()垂面法(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′·α其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的间隔公式求二面角的大小.空间的各种间隔点到平面的间隔(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的间隔叫做这个点到这个平面的间隔 .(2)求点面间隔常用的方法：1)干脆利用定义求①找到(或作出)表示间隔的线段；②抓住线段(所求间隔 )所在三角形解之.2)利用两平面相互垂直的性质.即假如点在平面的垂面上，那么点到两平面交线的间隔就是所求的点面间隔 .3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和点构成三棱锥；②求出1·h，求出h即为所此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由3求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面间隔 .难点在于如何构造相宜的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的间隔转化为(平行)直线及平面的间隔来求.直线和平面的间隔(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的间隔，叫做这条直线和平面的间隔 .(2)求线面间隔常用的方法①干脆利用定义求证(或连或作)某线段为间隔，然后通过解三角形计算之.②将线面间隔 转化为点面间隔 ，然后运用解三角形或体积法求解之. ③作协助垂直平面，把求线面间隔 转化为求点线间隔 .空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原那么： 长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法〔角度等于45或者135〕4斜二测画法的步骤：〔1〕.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；〔2〕.平行于y 轴的线长度变半，平行于x 轴的线长度不变；〔3〕.画法要写好。
高中数学立体几何旋转体积计算技巧
高中数学立体几何旋转体积计算技巧立体几何是高中数学中的一大难点，而其中的旋转体积计算更是让许多学生头疼的问题。
本文将介绍一些高中数学立体几何旋转体积计算的技巧，帮助学生们更好地应对这一难题。
一、圆柱的旋转体积计算圆柱是最常见的旋转体，计算其体积可以使用公式V=πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
举个例子来说明，假设有一个半径为5cm，高度为10cm的圆柱，我们可以直接代入公式计算得到V=π×5²×10=250π cm³。
二、圆锥的旋转体积计算圆锥的旋转体积计算相对复杂一些，但我们可以利用类似的方法进行推导。
首先，我们需要找到旋转体的底面半径和高度。
假设有一个底面半径为4cm，高度为6cm的圆锥，我们可以计算出其底面圆的面积为A=π×4²=16π cm²。
接下来，我们需要确定旋转体的生成曲线。
对于圆锥来说，生成曲线就是从顶点到底面圆上的一条斜线，也就是圆锥的母线。
我们可以利用勾股定理计算出圆锥的母线长度L=√(h²+r²)=√(6²+4²)=√52 cm。
最后，我们可以将圆锥分解成一系列圆柱，每个圆柱的底面半径都是对应高度上圆锥底面半径的比例。
这样，我们就可以计算出每个圆柱的体积，然后将它们相加得到整个圆锥的体积。
举个例子来说明，假设我们要计算一个底面半径为4cm，高度为6cm的圆锥的体积。
我们可以将圆锥分解成一系列高度为1cm的圆柱，每个圆柱的底面半径都是对应高度上圆锥底面半径的比例。
那么，第一个圆柱的底面半径为4cm，高度为1cm，体积为V₁=π×4²×1=16π cm³。
第二个圆柱的底面半径为(4×5/6)cm≈3.33cm，高度为1cm，体积为V₂=π×(4×5/6)²×1≈11.11π cm³。
高中数学立体几何体积的求解方法
高中数学立体几何体积的求解方法立体几何体积的求解方法在求解立体几何体积时，需要注意一个原则：找到易于求解的底面和高。
其中，椎体是最易考到的题型，尤其是高的求解。
下面介绍四种求解椎体体积的方法：1.直接法：通过点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。
2.转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。
3.分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。
4.向量法：利用空间向量的方法（理科）。
下面列举几个典型例题：1.直接法例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3.求四棱锥B-A1A1C1D的体积。
例2：已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积。
变式1：在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且FC=1.求三棱锥E-BCF的体积。
变式2：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。
求三棱锥P-ABC的体积。
2.转移法例3：已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积。
例4：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE。
求三棱锥P-XXX的体积。
变式3：在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD。
若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-XXX的体积。
变式4：在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面XXX。
高中立体几何表面积体积公式
高中立体几何表面积体积公式
高中立体几何涉及到多种多面体的表面积和体积计算，以下是一些常见的立体图形的面积和体积计算公式:
1. 正方体：表面积 S = 6a^2，体积 V = a^3。
2. 长方体：表面积 S = (ab + bc + cd) × 2，体积 V = ab ×bc × cd。
3. 圆柱：表面积 S = 2πrl，体积 V = πr^2h。
其中，r 是圆柱的底面半径，l 是圆柱的底面周长，h 是圆柱的高。
4. 圆锥：表面积 S = 2πrl，体积 V = πr^2h/3。
其中，r 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的底面周长，h 是圆锥的高。
5. 球：表面积 S = 4πr^2，体积 V = πr^3。
其中，r 是球的半径。
6. 棱锥：表面积 S = (1/2) ×π× (rs + th)^2，体积 V = (1/3) ×π× (rs + th)^3。
其中，rs 是棱锥的底面半径，th 是棱锥的高。
7. 棱柱：表面积 S = 2 ×π× (rs + th),体积 V = π×(rs + th)^2。
其中，rs 是棱柱的底面半径，th 是棱柱的高。
这些公式是高中立体几何中非常重要的基础知识，对于解决立体几何问题有着重要的作用。
高中立体几何知识总结
高中立体几何知识总结立体几何知识总结简单几何体的侧面积及体积：柱锥台的侧面积：其中（掌握侧面展开图）柱锥台的体积：其中球的表面积、体积：，。
（球中的勾股定理：）空间位置关系：1、，，面面2、空间平行关系的判定：（1）两直线平行的判定：①平行于同一直线的两直线平行；②线面平行，经过此线的平面与原平面的交线与此线平行；③两平面平行，被第三平面截得的两交线互相平行；④垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线面平行的判定：①平面外的一直线与平面内的一直线平行，则它与此平面平行；②两平面平行，一平面内任一直线都平行于另一平面。
（3）面面平行的判定：①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则此二平面平行；②垂直于同一直线的两平面平行。
3、空间垂直关系的判定：（1）两直线垂直的判定：①夹角是直角的两直线垂直；②线面垂直，则此线垂直于此面内任一直线；③三垂线定理、逆定理。
（2）线面垂直的判定：①一直线若垂直于平面内的两条相交直线，则垂直于此平面；②两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一直线也垂直于此平面；③一直线垂直于两平行平面中的一个，则垂直于另一个；④两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。
（3）面面垂直的判定：①相交成直二面角的两平面垂直；②一平面经过另一平面的一条垂线，则此二平面垂直。
1、过平面外的两点，且与此平面垂直的平面有（）(A)一个；(B)无数个()不存在；(D)一个或无数个。
2、已知直线（）(A) (B)()(D)3、满足以下哪个条的几何体是长方体（）(A)侧面都是矩形的直棱柱；(B)侧面都是长方形的四棱柱；()底面是矩形的直棱柱；(D)对角面（过不相邻两侧棱）是矩形的四棱柱。
4、在三棱锥P-AB的四个面中，最多有几个直角三角形（）(A)1个(B)2个()3个(D)4个、球面上有三个点A,B,，且AB=3，B=4，A=，球心到平面AB的距离为球半径的一半，那么此球的半径是（）(A) (B) () (D)6、长方体共顶点的三个面面积分别为，则它的外接球的表面积和体积分别为________、________。
高中数学立体几何知识点总结4篇
高中数学立体几何知识点总结4篇高中数学立体几何知识点总结4篇社会心理学是一种以社会群体和人际关系为研究对象的学科，涉及社会认知、群体动态和人际关系等基本领域。
统计学是一种以数据收集、分析和解释为基础，为决策和研究提供有力支持的学科。
下面就让小编给大家带来高中数学立体几何知识点总结，希望大家喜欢!高中数学立体几何知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x ，y+y )。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
高中立体几何常用公式及结论
一、线线平行的判断：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线和交线平行图②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
交线平行图③垂直于同一平面的两条直线平行。
直线平行图二、线线垂直的判断：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
线线垂直图③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
三、线面平行的判断：①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
四、面面平行的判断：①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。
②垂直于同一条直线的两个平面平行。
五、线面垂直的判断：①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
六、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
七、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）①异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围：0° < α ≤ 90°；注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。
有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。
②线面所成的角：斜线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。
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高中立体几何计算方法总结
高中立体几何计算方法总结
1．位置关系：
（1）两条异面直线相互垂直
证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；①证明线面垂直，得到线线垂直；①证明两条异面直线的方向量相互垂直。
（2）直线和平面相互平行
证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；①证明这
条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；①证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
（3）直线和平面垂直
证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，①证明直线的
方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；①证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（4）平面和平面相互垂直
证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；①证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；①证明两个平面的法向量相互垂直。
2．求距离：
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一
个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离
求法：利用公式法。
（2）点到平面的距离
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
①等体积法。
①向量法。
3．求角
（1）两条异面直线所成的角
求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；①通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
①向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。
（3）平面与平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。
①向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。