非线性微分方程和稳定性

。
因此，在相平面上，以原点为圆心，以 为半径作圆，则在此圆以外的邻近区域内，轨线沿顺时针方向向外走。
同理令
，得 ，
于是，当 时， 恒成立。
又此时 恒成立。
因此，在相平面上，以原点为圆心，以 为半径作圆，则在此圆以外的邻近区域内，轨线沿顺时针方向向圆内走。
又在环形域 内，没有方程组的奇点，故由a）和b）知原方程组在环形域 内一定存在不稳定的极限环。
6-4研究下列方程（组）零解的稳定性。
1） （1）
2） ， 为常数。
解1）令 ，
则方程（1）可化为为
（2）
则
，
因为
所以由霍维兹定理得，特征根均具有负实部，因而（2）的零解即（1）的零解渐近稳定。
2） ，
，
所以，当 时，特征根均具有负实部，方程组的零解是渐近稳定的；
当 时，有正实部的特征根，方程组的零解是不稳定的；
当 时，没有正实部的特征根，且具有零实部的根的初级因子的次数等于1，故方程组的零解是稳定的（但非渐近稳定）。
评注：高阶方程零解的稳定性可化为与之等价的一阶线性微分方程组零解的稳定性问题来研究，而常系数一阶线性微分方程组零解的稳定性可归结为它的特征根的问题。注意霍维兹定理的应用。
6-5某自激振动系统以数学形式表示如下（范得坡方程）
在区域 ， ，任意解 递增，在 时，以 为渐近线。
在区域 ， ，任意解 递减，在 时，以 为渐近线。
在区域 ， ，任意解 递增，在 时， 远离 ，
又 ，故 有铅直渐近线。积分曲线的分布如图6-6所示。
图6-6
从图6-6看出：当 时， ；当 时， ，当 时，
驻定解 稳定； 不稳定。
令 ，代入原方程，得
1） 2）
解1）先求出奇点。
解方程组
得
，
所以方程组1）有奇点为 和 。
再研究驻定解的稳定性态。
零解的稳定性态。
奇点 的一次近似方程组为
其特征根 ，有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知原系统的零解不稳定。
驻定解 的稳定性态。
令
将1）中方程组化为
。
一次近似方程组为
，
有正实部的特征根 ，由定理6.3和定理6.5可知驻定解 不稳定。
1） 2）
3） 4） （ 为参数）
解1）取定正函数 ， ，则
定负，所以由定理6.6知方程组的零解是渐近稳定的。
2）取变号函数 ，则
定正，故 在原点的邻域内定正。
由于 是变号函数，故在原点 的任意小邻域内都至少存在某点 使 ，故方程组的零解是不稳定的。
3）取正定函数
，
则有
方程组的零解是稳定的。
4）取定正函数
驻定解 的稳定性态
令
将1）中方程组化为
一次近似方程组为
其特征根 ，由定理6.3和定理6.5可知驻定解 渐近稳定。
2）先求出奇点。
解方程组
得
，
故系统2）有奇点为 和 。
再研究驻定解的稳定性态。
一般地，对于系统 ，它在驻定解 的一次近似方程组为
，
其中方程组的系数矩阵称为函数 关于 的雅可比矩阵。
在此题中，驻定解 的一次近似方程组为
解因为
，
所以由定理6.9可知，方程组在 的区域内不存在极限环。
下面讨论包括 在内的区域上极限环的存在性。
取极坐标 ，则原方程组可化为
（1）
由于 ，所以 的最小值为 ，最大值为 。由此，若 取 时， ，则 恒成立；若 取 时 ，则 恒成立。
令
，
则因为 ，故 ，即有 。
于是当 时，恒成立
，
又此时当 时，
，
则
定负，故原方程组的零解是渐近稳定的。
如果变动高次项，使
仍取定正函数
，
则有
定正。
则新方程组的零解为不稳定的。
评注：当一次近似系统有初级因子的次数不等于1的零根或具零实部的根（即临界情形）时，非线性系统零解的稳定性态是不能由线性近似方程组来决定的。此题说明在临界情形下改变高次项既可使得系统稳定也可使其不稳定。
原方程组有周期解： ；
闭轨线 是孤立的，因而它是一个极限环；
此极限环的内外两侧的轨线顺时针趋近于它，因而是稳定的。
评注：研究系统极限环时，常用极坐标变换，注意在极坐标下奇点和闭轨线的表达式。研究极限环的稳定性时，需考虑闭轨邻域内轨线的走向。注意区分周期解、闭轨和极限环。
6-11判别方程组
有无极限环存在
下面判断此闭轨线是极限环。
在相平面上，任作以原点为圆心，以 为半径的圆，考察方程组通过此圆上任一点 的轨线的走向：
当 时，由（2）有
， 是 的递增函数，
，表示轨线沿顺时针方向运动，
当 时，由（1）有
， 是 的递减函数，
，顺时针方向。
所以，当 时， 轨线均趋于圆 ，
因此圆 是原系统的一稳定的极限环。
综上所述得如下结论：
6-2试讨论线性方程组
的奇点类型，其中 为实数且 。
解因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件
，故线性方程组有唯一的奇点，即原点 。
又由 ，
得 。
所以由定理6.1知，方程组的奇点 可以分为以下类型：
评注：讨论含参数系统的稳定性时，要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。
6-3试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。
综上所述得如下结论：
原方程组有周期解： ；
闭轨线 是孤立的，因而它是一个极限环；
此极限环的外侧轨线正向趋近于它，而内侧轨线负向趋近于它，因而是半稳定的。
2）取极坐标 ，则原方程组可化为
（2）
方程组（2）有两个特解
为任意角，
，
其中第一个特解是零解，在相平面上为原点，是一奇点。第二个特解表示以 为周期的周期解，即半径为1的等距螺旋线，在相平面上是以原点为圆心、半径为1的圆，这个圆就是闭轨线，由方程组（2）的第二式知，轨线是沿着顺时针方向旋转的。
，
则
，
当 时， 常负，方程组的零解是稳定的；
当 时，方程组的线性近似方程组具有正实部的特征根： ，
因而方程组的零解是不稳定的。
评注：利用李雅普诺夫第二方法研究系统的稳定性，关键寻找适当的V函数。特别注意寻找的V函数只要在零解的某一个邻域内满足条件即可。
6-7给定微分方程组
，
其中 有一阶连续偏导数。试证明在原点邻域内如当 ，则零解是渐近稳定的，当 则零解是不稳定的。
在相平面上，以原点为圆心，任作一个半径为 的圆，考察方程组通过这个圆上任一点 的轨线的走向：
当 时，由（1）有
， 是 的递减函数，
， 是 的递增函数，
故随着 的增大，轨线按逆时针方向从圆 上走进圆内；
当 时，由（1）有
， 是 的递减函数，
， 是 的递增函数，表示轨线沿逆时针方向运动，
故随着 的增大，轨线按逆时针方向从圆 上走进圆内。
试讨论系统的平衡状态的稳定性态。
解令 ，则原方程化为
，
一次近似方程组为
，
由 ，得
，
具有正实部的根，由定理6.3和定理6.5得方程组的零解不稳定，因而，所讨论系统的平衡状态是不稳定的。
评注：先将高阶方程化为与之等价的一阶线性微分方程组，再研究方程组的一次近似系统，应用定理6.5得到原系统的稳定性。
6-6研究下列方程组零解的稳定性：
（1）
由式（1）和方程右端的表达式，得出
当 时， ， 递增，
又 时， ，
即 时， 。
当 ，有
所以解（1）的图像如图6-5所示。
图6-5
从解的图像可以看出：
解 不稳定；解 稳定。
利用变换 ，可将原方程化为
所以原方程的驻定解 对应于方程
的零解 。
2）由 ，求得常数解为
。
因为 在全平面上连续可微，故对任意初始点 ，解唯一存在，当 时有
令 ，代入原方程，得
所以原方程的驻定解 和 对应于新方程的零解 。
评注：驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。如果方程的通解能够解出，直接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。从题目中我们还可以知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解，这也是为什么在稳定性理论的研究中只考虑零解稳定性的缘故。方程 是著名的罗杰斯蒂克（Logistic）微分方程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。
6-10试确定下列方程组的周期解、极限环，并讨论极限环的稳定性。
1）
2） 当
，当
解1）取极坐标 ，则有
，
因而方程组可化为：
（1）
由（1）知，当 和 时， 而 ，即有两个特解：
，
，
第一个特解是零解，在相平面上为原点，是一奇点。第二个特解表示以 为周期的周期解，即半径为1的等距螺旋线，在相平面上是以原点为圆心、半径为1的圆，这个圆就是闭轨线，由方程组（1）的第二式知，轨线是沿着逆时针方向旋转的。下面判断此闭轨线是极限环。
第六章非线性微分方程和稳定性
6-1对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。
1）
2）
解1）方程可化为 ，则其常数特解为
，即为驻定解。
由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当 时，分离变量得
方程的通解为
利用初始条件 ，得 ，故得原方程满足初始条件的解为
，
所以系统2）零解的一次近似方程组为
，
有正实部的特征根 ，由定理6.3和定理6.5可知零解 不稳定。
系统2）在 的一次近似方程组为
特征根为 ，显然有正实部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知驻定解 不稳定。
评注：系统的常数解即为驻定解，对应到相平面上就是奇点。本题1）的解法是先将驻定解平移至零解，然后利用它的一次近似系统的零解稳定性来研究非线性系统零解的稳定。本题2）给出得到一次近似系统的另一种方法，是将系统在奇点处按泰勒公式展开取线性主部即可。
解令 ，则 ，原方程化为
，
取函数
，
由于 ，且当 时， ，所以
是定正函数，则有
，
方程组的零解为稳定的。
评注：给出了一种V函数的构造方法。
6-9方程组 能否由线性近似方程决定其稳定性问题？试寻求李雅普诺夫函数以解决这方程组的零解的稳定性问题。同时变动高次项使新方程的零解为不稳定的。
解由
，
得 ，属于临界情形，因此原方程的零解的稳定性态是不能由线性近似方程组来决定的。为此，取定正函数
证显然原方程组的由初始条件所确定的解，在原点的某个邻域内存在且唯一。 是方程组的特解。
取定正函数 ，则其通过方程组的全导数为：
。
因此，在原点邻域内
当 ，则 定负，零解为渐近稳定的；
当 ，则 定正，零解为不稳定的。
评注：正确选择V函数。
6-8给定方程 ，其中 ，而当 时 。
试将其化为一阶方程组，并用形如 的李雅普诺夫函数讨论方程组零解的稳定性。
所以由定理6.10方程（2）从而原方程组（1）存在唯一的稳定极限环。
2）因为方程满足定理6.10的条件，即有
和 对一切 连续， 对一切 满足利普希兹条件；
是偶函数，当 时， ， 是奇函数，当 时， ；
当 时， ， 有唯一的正零点 ，且对 ， 是单调增加的，
所以方程存在唯一稳定的极限环。
评注：定理6.10给出了林纳得方程存在唯一稳定极限环的方法。
没有极限环存在，其中 为常数，且 。
证假设 内存在周期为 的周期解
，
根据格林公式，则对于由 所围成的区域 有
，
所以
，
这与已知 在 的任一子域内不恒等于零相矛盾，故原方程组在 内不存在任何周期解。
令 ，则可将方程 化为方程组
取 ，则
所以方程不存在任何周期解，当然更没有极限环存在。
评注：本题给出了极限环不存在的判别方法，称为杜拉克（Dulac）准则，关键寻找杜拉克函数 。
6-13证明下列方程（组）存在唯一的稳定极限环
1） （1）
2） ，（ 为正常数， 为正整数）。
证1）方程组（1）可化为与其等价的方程：
即
（2）
因为（2）满足条件：Leabharlann Baidu
和 对一切 连续， 对一切 满足利普希茨条件；
是偶函数，当 时， ； 是奇函数，当 时 ；
当 时， ， 有唯一的正零点 ，且对 ， 是单调增加的。
评注：班狄克生环域定理（定理6.8）是判断极限环存在的有效方法，注意环域的构造。定理6.9是寻找极限环不存在的区域的简捷方法。
6-12考虑方程组
其中函数 在单连通区域 内有连续偏导数，假设存在函数 ，其一阶偏导数于域 内连续， 在 内不变号且在 内的任一子域内不恒等于零。试证明上述方程组于域 内不存在任何周期解。应用此结论证明方程