第8章 空间实体单元

v
（8-27）
式中，[k]是一个12×12的矩阵。由于[B]、[D]都是常数矩 阵，所以[k]也是一个常量矩阵。并且
[k ] [ B]T [ D][B]V
写成分块矩阵的形式，有
[kij ] [kim ] [kin ] [kii ] [k ] [k ] [k ] [k ] ji jj jm jn [k ] [kmi ] [kmj ] [kmm ] [kmn ] [ k ] [ k ] [ k ] [ k ] ni nj nm nn
（8-28）
（8-29）
式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵
[krs ] [Br ]T [D][Bs ]V
A1br cs A2cr bs A1br d s A2d r d s br bs A2 (cr cs d r d s ) A3 A1cr bs A2br cs cr cs A2 (d r d s br bs ) A1cr d s A2d r cs 36V A1d r cs A2cr d s d r d s A2 (br bs cr cs ) A1d r bs A2br d s (r , s i, j, m, n) （8-30）
u j a1 a 2 x j a3 y j a 4 z j u m a1 a 2 x m a3 y m a 4 z m u n a1 a 2 x n a3 y n a 4 z n
（8-4）
由此可解出a1～a4，再代回到式（8-3）的第1式，与式（219）的第1式类似，有
T
（8-19）
称 1 2 2(1 )
1
对 1 0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0

1 0 0 0
1 2 2(1 ) 0
（8-20）
将式（8-15）代入式（8-17），得
{ } [S ]{ }e
u a1 a 2 x a3 y a 4 z v a 5 a 6 x a 7 y a8 z w a9 a10 x a11 y a12 z
（8-3）
将式（8-3）的第1式应用于4个结点，则
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u i a1 a 2 xi a3 y i a 4 z i
[S ] [Si S j Sm Sn ]
（8-23）
式中
bi Ab 1 i A3 A1bi [ S i ] [ D][Bi ] 6V A2 ci 0 A2 d i A1ci ci A1ci A2 bi A2 d i 0 A1 d i A1 d i di (i, j , m, n) （8-24） 0 A2 ci A2 d i
（8-21） （8-22）
应力矩阵[S]为
[ S ] [ D][B]
由于 [D] 、 [B] 都是常数矩阵，因此应力矩阵 [S] 也是常 数矩阵。也就是说，单元中的应力分量也是常数。
将式（ 8-20）所表示的 [D]和式（8-15）、（8-16）所表 示的[B]代入式（8-22），并将[S]定成分块矩阵的形式，有
8• 15• 5• 17 •
•
•7 •14
•12
•20 • 4
x
• 1
= -1
• 16
•6 10 ••18
2
•19
•3
= 1
•13
•
9
•
实际单元
= -1
基本单元
图 8-3 1、位移模式、形函数和坐标变换式
位移模式和坐标变换式可写为如下形式：
u N i ui v N i vi w N i wi
{ } [ x y z xy yz zx ]T
（8-18）
{ } [ x y z xy yz zx ]
1 1 1 E (1 ) [ D] (1 )(1 2 ) 0 0 0
第8章
8.1 概述
空间实体单元
许多工程实际问题属于空间问题。用有限元法分析空间
问题和分析平面问题在原理、思路和解题方法完全相同，
基本未知量仍然是节点位移。不同的是单元具有三维特点
节点位移在x、y、z三个坐标轴方向都有分量： u、v、w。
它的基本方程比平面问题要多，有3个平衡方程，6个几何
方程，6个物理方程。分析方法仍然是先进行单元分析，再 进行系统分析，最后求解系统的节点平衡方程，解算内力 或应力。
对于简单情形，也可采用静力等效原则简化计算。
进一步的整体平衡方程的建立（即结构刚度矩阵、结
构等价节点力列阵的组集）、位移约束条件的引入、线性
方程组的求解等，和平面问题有限元法一样，不再赘述。
8.3 二十结点六面体等参数单元 由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选 用了八节点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中, 常选用二十节点六面体等参数单元。
e e
（8-15）
式中
bi 0 1 0 [ Bi ] 6V ci 0 d i
0 ci 0 bi di 0
0 0 di (i, j , m, n) 0 ci bi
（8-16）
上式（8-15）、（8-16）与平面问题式（2-24）～（2-26） 类似。与平面问题三节点三角形单元相同，在四节点四面 体单元中，[B]的元素都是常量，因此是常应变单元。 2、应力矩阵 三维问题的应力应变关系也可写为式（2-8）的矩阵 形式 { } [ D]{ } （8-17） 与平面问题不同，这里和分别由6个分量组成， 弹性矩阵[D]是一个6×6的矩阵：
i 1 i 1 i 1 20 20 20
（8-33） （8-34）
x N i xi y N i y i z N i z i
i 1 i 1 i 1
20
20
20
形函数的表达式如下：
N i (1 0 )(1 0 )(1 0 )( 0 0 0 2) / 8 N i (1 2 )(1 0 )(1 0 ) / 4 N i (1 2 )(1 0 )(1 0 ) / 4 N i (1 2 )(1 0 )(1 0 ) / 4 (i 1,2,8) (i 9,10,11,12) (i 13,14,15,16) (i 17,18,19,20)
4、等价节点力向量
式（8-26）中的单元等价节点力也包括体积力、表面力、
集中力几部分。体积力与表面力的计算公式与平面三角形
单元公式（2-36）、（2-37）类似：
{FV }e [ N ]T { pV }dV
V
（8-31）
{FS }e [ N ]T { pS }dS
S
（8-32）
u Ni ui N j u j N mum N n un
（8-5）
式中形函数具有与式（2-18）类似的形式： 1 Ni ( ai bi x ci y d i z ) (i, j, m, n ) 6V 其中
（8-6）
xj ai x m xn xj ci xm xn
{i } [ui vi wi ]T (i, j, m, n)
（8-1）
z
n m
单元节点位移向量为
i
j
T T T { }e [ iT T j m n ]
y
x
图 8-2
[u i vi wi u j v j w j u m vm wm u n vn wn ]T （8-2）
与平面问题式（2-12）类似，假定单元内一点的位移 分量为坐标的线性函数
在式（8-8）中， V为四面体的体积。为使其计算值不为负， 单元的节点（i,j,m,n）编号次序应遵循右手法则。(p4) 采用同样的方法，可得
v Ni vi N j v j N m vm N n vn
w Ni wi N j w j N m wm N n wn
（8-9）
（8-10）
将式（8-5）、（8-9）（8-10）统一用矩阵式表示，可得与
平面问题式（2-20）类似的公式
u { f } v [ N ]{ }e w
（8-11）
式中 [N] 为单元形函数矩阵，其维数为 3×12 。进一步可写 为与平面问题式（2-21）、（2-22）类似的子块形式
yj ym yn 1 1 1 zj zm zn
zj zm zn
1 bi 1 1 xj d i xm xn
yj ym yn yj ym yn
zj zm zn 1 1 1
(i, j, m, n)
（8-7）
1
xi
yi yj ym yn
zi zj zm zn
（8-8）
1 xj V 1 xm 1 xn
[ N ] [ Ni N j Nm Nn ]
其中，子矩阵
Ni Ni 0 0 0 Ni 0
（8-12）
0 0 N i I (i, j, m, n ) （8-13） Ni
式中，I为3阶单位矩阵。 2、应变矩阵
在空间问题中，每点有6个应变分量。几何方程为：
（8-35）
式中
0 i , 0 i, 0 i
2、应变矩阵 根据几何方程，单元中的应变为
{} [B]{ }e [B1 B2 B20 ]{ }e
（8-36）
其中
{ }e [u1 v1 w1 u2 v2 w2 u20 v20 w20 ]T
（8-37）
空间离散化后的单元模型主要有：四面体单元、长方 体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元，如图 8-1所示。
(a)
(b)
(c)
(d)
？
图8-1 空间实体单元模型
(a) 图为4节点四面体单元，是空间问题最简单的单元，也 是常应变、常应力单元。类似平面问题三节点三角形单元 进行分析。
(b)图w为长方体单元，可以类似平面四节点矩形单元进行 分析。 (c)图为任意八节点六面体单元，可以类似平面四节点任意 四边形等参元进行分析。 (d)图为20节点曲边六面体单元，可以类似平面八节点曲边 四边形等参元进行分析 。 8.2 4节点四面体常应变单元 1、位移模式 如图8-2所示，取四面体的4个顶点 i,j,m,n 为节点。每 一个节点有3个位移分量，即
应变矩阵的子矩阵[Bi]为：
N i x 0 0 [ Bi ] N i y 0 N i z
0 N i y 0 N i x N i z 0
其中
A1

1
1 2 A2 2(1 )
E (1 ) A3 (1 )(1 2 )
（8-25）
3、单元刚度矩阵 仿照平面问题中的推导，可得单元平衡方程
[k ]{ } {F}
e
e
（8-26）
单元刚度矩阵具有与式（2-33）类似的形式
[k ] [ B]T [ D][ B]dV
{ } [ x y z xy yz zx ]T u v w u v v w w u T [ ] （8-14） x y z y x z y x z
将式（8-11）～（8-13）和（8-6）代入上式，得
{ } [B]{ } [Bi Bj Bm Bn ]{ }
如图8-3所示，在整体坐标系的二十节点六面体的实际单元与中
心在局部坐标的原点、边长为2的立方体基本单元相对应。
= 1 = 1 11
z
15
8
• • • 6 • •19 5• 12 • 17 • 16 •4 10 •18 • 3 •13 • y • • • 9 2 1
20
•
•
•
11 14
•7
= -1