《常微分方程》东师大第二版习题答案

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题 1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdx ydy =解：积分，得1222121c x y +=即cy x =−22(2)y y dxdyln =解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y xx c ，即xcee y =(3)y x e dxdy−=解：变形得dx e dy e xy=积分，得c e e xy =−(4)0cot tan =−xdy ydx 解：变形得x y dx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx xxdy y y cos sin sin cos =.积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+−=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=y y y dxdy解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =−−111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−c ce e e yy c x yy x x c 将1)0(=y 代入，得0=c ，即1=y 为所求的解。

(2)1)0(,02)1(22==+′−y xy y x 解：0,1222=−−=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222−−=，积分，得c x y+−−=−1ln 12将1)0(=y 代入，得1−=c ，即11ln 12+−=x y 为所求的解。

(3)0)2(,332==′y y y 解：0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy =323，积分，得331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得2−=c ，即3)2(−=x y 和0=y 均为所求的解。

(4)1)1(,0)()(2222−==+−+y dy yx x dx xy y 解：0,0==y x 为特解，当0,0≠≠y x 时，01122=+−+dy yydx x x ，积分，得0,,ln 1ln 1111111≠=±==−++−−−c ce e e yx c y yx x y x y x c 将1)1(−=y 代入，得2−−=e c ，即yx e e yx 112−−−=为所求的解。

4．求解方程01122=−+−dy x y dx y x 解：)11(1),11(1≤≤−±=≤≤−±=x y y x 为特解，当1,1±≠±≠y x 时，1122=−+−dy yy dx xx 积分，得)0(1122>=−+−c c y x 6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x 轴可围成一个等腰三角形(以x 轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为)(x y y =对其上任一点),(y x 的切线方程：)('x X y y Y −=−于x 轴上的截距为'y y x a −=由题意建立方程：0'−=−−x x y yx 即2)1(,'=−=y xy y 求得方程的通解为0,≠=c e xy c再由ce=2得c =ln2,得所求曲线为为2=xy 7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时时的细菌数为得410个，在5小时时的细菌数为得4104×个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t 时刻的细菌数为q (t),由题意建立微分方程0>=k kq dtdq求解方程得ktceq =再设t =0时，细菌数为0q ,求得方程的解为kteq q 0=（1）由02)4(q q =即0402q e q k=得42ln =k 042ln 1201208)12(q eq eq q k===（2）由条件450430104)5(,10)3(×====k k e q q e q q 比较两式得24ln =k ，再由4024ln 3030108)3(====q eq e q q k得301025.1×=q 习题 1.31解下列方程：(2)0)2(22=+−dy x dx xy y 解：方程改写为2)()(2x y x y dx dy −=令x y u =，有22u u dxdux u −=+整理为)1,0()111(≠=−−u xdxdu u u 积分，得x c u u1ln 1ln=−即111−=x c x c u 代回变量，得通解0,)(==−y cy x y x 也是方程的解(4)x y x y y x tan=−′解：方程改写为x yx y dx dy tan=−令x y u =，有uuu dx du x cos sin tan ==即)0(sin cot ≠=u xdx udu 积分，得cxu =sin 代回变量，得通解cxxy=sin(5)x y x y x y y x ++=−′ln)(解：方程改写为x yx x y x y dx dy ++=−ln)1(令x y u =，有)1ln()1(u u dxdux ++=当1,0−≠≠u u 时xdxu u du =++)1ln()1(积分，得cx u =+)1ln(代回变量，得通解cx xy=+1ln((6)yy x y x +−=′22解：方程改写为xy x y dx dy +−=2)(1令x y u =，有21u dxdu x −=分离变量)11(12<<−=−u xdx udu 积分，得cx u ln arcsin =代回变量，得通解xy cx xy±==,ln arcsin 也是方程的解2解下列方程：(1)0)3()642(=−+++−dy y x dx y x 解：方程改写为3624−+−−=y x x y dx dy 令⎩⎨⎧=−+=+−03042βαβα，解得2,1==βα作变换2,1+=+=ηζy x 有ζηζηζη+−=24d d 再令ζη=u 上方程可化为u u d du u +−=+124ζζ整理为)2,1()2)(1(1≠−=−−+u d du u u u ζζ积分，得c u u u =−−−ζ2)12)(2(代回变量，得通解1,)1()2(23+=−−=−x y x y c x y 也是方程的解(2)0)324()12(=−+−++dy y x dx y x 解：方程改写为32412−+++=y x y x dx dy 令y x u +=2，有3255−−=u u dx du 分离变量)1(5132≠=−−u dx du u u 积分，得151ln 2c x u u +=−−代回变量，得通解x y ce y x −=−+212(4)212(2−+−=′y x y y 解：令2,1−=+=y v x u 则原方程变为2)(2vu v du dv +=再令u v z =，则方程化为2)1(2zz du dz u z +=+分离变量)0()1()1(22≠−=++z u dudz z z z 积分，得c z zu ln arctan 2ln +−=代回变量，得通解12arctan22+−−=−x y cey 3解方程0)823()732(2222=−+−−+ydy y x xdx y x 解：方程改写为823732222222−+−+=y x y x xdx ydy 即823732222222−+−+=y x y x dx dy 令v y u x ==22,则823732−+−+=v u v u du dv 再令⎩⎨⎧=−+=−+08230732βαβα解得1,2==βα作变换1,2+=+=ηξv u ，则方程化为ηξηξξη2332++=d d 再作变换ξηω=，则方程化为)1()1(2232±≠=−+ωξξωωωd d积分，得45)1(1ξωωc =−+代回原变量，得原方程的通解为)3()1(22522−+=−−y x c y x 习题 1.1.441解下列方程.(1)24dyxy x dx+=解：原方程对应的齐次方程20dyxy dx+=的通解为2x yCe −=̃.由常数变易法得原方程的一个特解为2y =.则原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+2$.(2)21'2(2)2y y x x −=−−解：原方程对应的齐次方程1'02y y x −=−的通解为(2)yC x =−̃.由常数变易法得原方程的一个特解为3(2)y x =−.则原方程的通解为2(2)(4)y x x x C =−−+.(3)32d d ρρθ+=解：原方程对应的齐次方程30d d ρρθ+=的通解为3Ce θρ−=̃.由常数变易法得原方程的一个特解为23ρ=.则原方程的通解为323Ce θρ−=+,或者332Ce θρ−=+.2求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：设所求曲线为()y y x =,则它在曲线上任一点的斜率'k y =.过点(,)x y 的方程为'()Y y y Z x −=−.依题意得'y xy x −=,即'1y y x=−.它对应的齐次方程'yy x=的通解为yCx =̃.它的一个特解为ln ||y x x =.因此,所求曲线为ln ||y x x Cx =+.3解下列伯努利方程(2)4'20y xy xy ++=解：原方程可化为43'2y y xyx −−+=−.令$z=y^{-3}$,则有63dzxz x dx−=.它对应的齐次线性方程为6dzxz dx=.当0z =时,有30y −=,得0y =;当0z ≠时,有6dz xdx z=,得23x z Ce =.令23()x z C x e =为方程63dz xz x dx−=的一个解,则有23'()3x C x xe −=.两边积分得2311()2x C x e C −=+,带回得原方程的通解为2312x z Ce =−,即23312x y Ce −=−.(4)2(cos sin )dy y y x x dx+=−解：方程两边同乘以2y −−得21sin cos dy y y x x dx−−−−=−.令1z y −=,则2dz dy y dx dx −=.于是sin cos dz z x x dx−=−.该方程对应的齐次方程0dzz dx−=的通解为x zCe =̃.由常数变易法得一个特解为sin z x =−.则它的通解为sin xz Ce x =−.于是原方程的通解为1sin x yCe x −=−.另外，0y =也是原方程的解.6.设()y x 在[0,)+∞上连续可微,且lim ['()()]0x y x y x →+∞+=,证明lim ()0x y x →+∞=.证明：设'()()()y x y x f x +=,则lim ()0x f x →+∞=,()()xs x xC f s e dsy x e +=∫0ε∀>,对充分大的1x ,当1x x >时,有|()|f x ε<.故11x xx x x|||()|()||+|()| e (x +)xs x xs s C f s e dsy x e C f s e ds e dsεε+≤≤→→∞∫∫∫＋由ε的任意性有lim ()0x y x →+∞=.习题 1.1.551(1)222()0xydx x y dy +−=解：因为2M Nx y x∂∂==∂∂,所以方程是全微分方程.于是方程的通解为233x y y C −=.(2)(2)0yye dx y xe dy −−−+=解：y M Ne y x−∂∂=−=∂∂,所以方程是全微分方程.于是方程的通解为2y xe y C −−=.2.求下列方程的积分因子和积分.(1)22()0x y x dx xydy +++=解：由于2M y y ∂=∂,Ny x∂=∂,所以方程不是全微分方程.而11()M N N y x x∂∂−=∂∂只与x 有关,故可得积分因子为()x x µ=.以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：3222()0x xy x dx x ydy +++=.则原方程的的通解为4223364x x y x C ++=.(2)432422(22)(3)0yyxy e xy y dx x y e x y x dy +++−−=解：由于3428261y y M xy e xy e xy y ∂=+++∂,42223y Nxy e xy x ∂=−−∂,所以方程不是全微分方程.而14()M N M y x y ∂∂−=−−∂∂只与y 有关,故可得积分因子为41()y yµ=.以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：22324213(2)(0yyx x x xe dx x e dy y y y y+++−−=.则原方程的的通解为223yx xx e C y y++=.(3)443()0x y dx xy dy +−=解：因为34M y y ∂=∂,3N y x ∂=−∂,所以方程不是全微分方程.而15(M N N y x x∂∂−=−∂∂只与x 有关,用积分因子5x −乘以原方程两端，得全微分方程：15443()0x x y dx x y dy −−−+−=.于是原方程的通解为444ln .x x y C −−=(4)3222432(2422)2()0x y x y xy xy y dx y x y x dy +++++−+=解：由于32344442M x y x xy xy y ∂=++++∂,42N xy x∂=+∂,所以方程不是全微分方程.而1()2M N x N y x∂∂−=∂∂只与x 有关,故积分因子为2()x x e µ=.用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：223222432(2422)2()0x x x y x y xy xy y e dx y x y x e dy +++++−+=.于是原方程的通解为2224(24)x x y xy y e C ++=.习题 1.1.661.求解下列方程.(1)22'0y y −=解：因为(')(')0y y y y +−=,所以'y y =−或'y y =.由'y y =−得xy Ce −=;由'y y =得x y Ce =.因此原方程的通解为x y Ce ±=.(2)38'27y y=解：令'p y =,可得3827p y =.此式关于x 求导数整理得2427dppdx=.于是22712p x C =+.从而原方程的通解为23()y x C =+.另外,0y =也是原方程的解.(3)22('1)1y y +=解：首先,1y =±是方程的解.令y t =,则'y =.于是dx dy dt ==,从而x C C =+=.由此可得原方程的通解为x C y t ⎧⎪+=⎨=⎪⎩即22()1x C y ++=.（4）22''(')x yy y xy =−解：方程关于,',''y y y 是齐次的,作代换zdxy e ∫=可把方程降一阶，其中z 是x 的新的未知函数.故2',''(')zdx zdxy ze y z z e ∫∫==+.把,',''y y y 的表达式代入方程并消去2zdxy e ∫=,得222(')(1)x z z xz +=−,或2'21x z xz +=，这是线性方程,它的左边可以写成2()'1x z =,由此得21x z x C =+，或121C z x x=+，11221()ln ln C C zdx dx x C x x x=+=−+∫∫.原方程的通解是12ln /ln zdxx C x C y e e −+∫==或1/2C x y C xe −=．此外,方程还有解0y =.习题 2.11.试绘出下列各方程的积分曲线图:(1)a y =′(a 为常数);(2);2x y =′(3)y y =′;(4);12xdx dy −=(5).x dxdy=解：(1)由于a y x f =),(,不依赖于x 和y ,所以线素场的线素均平行,其斜率为a .从而可以根据线素场线素的趋势,大体描出积分曲线.如图(1)所示.(2)由于2),(x y x f =,不依赖于y ,因而,在直线k x =±上线素场的线素都平行,其斜率右端函数),(y x f 横坐标的平方.于是,横坐标的绝对越大,线素场的方向越陡.从而,可以根据线素场素的趋势,大体上描出积分曲线.如图(2)所示.(3)由于y y x f =),(,不依赖于x ,因而在直k y =(k 为常数)上,线素场的线素都平行,斜率标的绝对值,故当y >0时,其积分曲线如图(3)y <0时,其积分曲线如图(4)所示.(4)由于21),(xy x f −=,不依赖于y 可知在直线kx 12−=上线素场的线素都平行,其斜率为右端函横坐标平方的倒数的相反数.于是,横线素场的方向越平缓.从而,可以根据图(2)图(3)图(4)图(5)图(1)的趋势,大体上描出积分曲线.如图(5)所示.(5)由于x y x f =),(,不依赖于y ,因而在直线k x =(k 为常数)上,线素场的线素都平行,故当x >0时,其积分曲线如图(6)所示;当x <0时,其积分曲线如图(7)所示.2.试画出方程2x dxdy−=在xoy 平面上的积分曲线的大致图像.解：这个方程是不可积的,但易于画出它的线素场.在同一以原点为对称中心的双线素场的线素都平行.其斜率等于双曲线实平方.于是,实半轴越长,线素场的方向越根据线素场线素的趋势,大体上可以描出积如图(8)所示.3.试用欧拉折线法,取步长1.0=h ,求初值问⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(,22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解令10=x ,10=y .则,1.11.001=+=x x ;2.11.0211=⋅+=y ,2.11.012=+=x x ;465.11.065.22.12=⋅+=y ,3.11.023=+=x x ;824.11.0586.3465.13=⋅+=y ,4.11.034=+=x x .326.21.0017.5824.14=⋅+=y 图(8)图(7)习题 2.21.试判断方程x x dxdytan =在区域(1);0,11:1π≤≤≤≤−y x R (2)44,11:2ππ≤≤−≤≤−y x R 上是否满足定理2.2的条件?解：(1)不满足.因为在区域1R 上,右端函数y x y x f tan ),(=当2π=y 时不连续.(2)满足.因为在区域2R 上,右端函数y x y x f tan ),(=连续且2cos ),(2≤=′yxy x f y 有界.2.判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一?(1)22y x y +=′;(2)y x y sin +=′;(3)31−=′x y ;(4)y y =′.解：(1)因为22),(y x y x f +=及y y x f y 2),(=′在整个xoy 平面上连续,所以在整个xoy 平面上满足存在唯一性定理条件.进而在xoy 平面上保证初值解存在且唯一.(2)因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),(=′在整个xoy 平面上连续,所以在整个xoy 平面上满足存在唯一性定理条件.进而在xoy 平面上保证初值解存在且唯一.(3)因为方程右端函数=),(y x f 31−x在除去y 轴外的整个xoy 平面上连续且0),(=′y x f y ,所以在除去y 轴外的整个xoy 平面上初值解存在且唯一.(4)因为方程右端函数=),(y x f y =⎪⎩⎪⎨⎧<−≥0,,0,y y y y 在整个xoy 平面上连续,而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<−−>=′0,21,0,21),(y yy y y x f y 在除去x 轴外的整个xoy 平面上连续,所以在除去x 轴外的整个xoy 平面上初值解存在且唯一.3.讨论方程3123y dx dy =在怎么样的区域中满足定理2.2的条件.并求通过)0,0(的一切解.解：右端函数对y 的偏导数3221−=∂∂y y f ,显然它在任何一个不包含x 轴)0(=y 上的点的有界闭区域中是有界的,因此在这种区域中解是存在唯一的.即,只有通过0=y 上的点可能出现多个解的情况(方程右端的连续性保证在任何有界区域中,解是存在的).原方程分离变量得dx dy y 2331=−上式两端取积分得C x y 23232332−=23)(C x y −±=其中.0)(≥−C x 此外有特解0=y .因此过点)0,0(有无穷多个解(如图(9)所示).0=y ,⎪⎩⎪⎨⎧>−≤=C x C x C x y ,)(,023⎪⎩⎪⎨⎧>−−≤=.,)(,023C x C x C x y 4.试用逐次逼近法求方程2y x dx−=满足初值条件0)0(=y 的近似解:)(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ图(9)解：0)0()(0==y x ϕ20121)0(0)(ds s x x ∫=−+=ϕ52022220121])21([0)(xx ds s s x x −=−+=∫ϕ.44001160120121])20121([0)(1185202523x x x x ds s s s x x −+−=−−+=∫ϕ5.试用逐次逼近法求方程22x y dxdy−=满足初值条件1)0(=y 的近似解:)(),(),(210x x x ϕϕϕ解：1)0()(0==y x ϕ301311)1(0)(x x ds s x x−+=−+=∫ϕ.631152611])311[1)(754202232x x x x x ds s s s x x +−−++=−−++=∫ϕ6.试证明定理2.2中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式:1)!1()()(+−+≤−n nn x x n MN x x ϕϕ证：由∫+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ及迭代列00)(y x =ϕ,⋯,2,1))(,()(010=+=∫−n dss s f y x xx n n ϕϕ得00))(,()()(x x M ds s s f x x xx −≤≤−∫ϕϕϕ设1)!1()()(+−+≤−n n n x x n MN x x ϕϕ则21111)!2()!1())(,())(,()()(00+++++−+≤−+≤−≤−∫∫n n x x n n zx n n x x n MN dsx s n MN dss s f s s f x x ϕϕϕϕ由归纳法可知,对任意n 次近似解,估计式1)!1()()(+−+≤−n nn x x n MN x x ϕϕ成立.7.利用上面的估计式,估计:(1)4题中的三次近似)(3x ϕ在21=x 和1=x 时的误差;(2)5题中的二次近似)(2x ϕ在41=x 时的误差.解：(1)显然初值问题2y x dxdy−=,0)0(=y 在区域1,1:≤≤y x R 上存在唯一解,由解的存在唯一性定理知,解的定义区间为h x ≤其中,min(0M b a h =,=−=∈2),(max y x M R y x 2.这里,1,1==b a 从而210=h ,即得解的定义区间为21≤x .则由误差估计公式1)!1()()(+−+≤−n nn x x n MN x y x y 其中N 是李普希兹常数.因为,22≤−=∂∂y yf可取,2=N 当21=x 时,有241)21(!422)()(433=⋅≤−x y x y .当1=x 时,有32)1(!422)()(433=⋅≤−x y x y .(2)显然初值问题22x y dxdy−=,1)0(=y 在区域11,1:≤−≤y x R 上存在唯一解,由解的存在唯一性定理知,解的定义区间为:h x ≤其中),min(0M b a h =,=−=∈22),(max x y M R y x 4.这里,1,1==b a 从而410=h ,即得解的定义区间为41≤x .则由误差估计公式1)!1()()(+−+≤−n nn x x n MN x y x y 其中N 是李普希兹常数.因为,22≤=∂∂y yf可取,2=N 则有241)41(!324)()(322=⋅≤−x y x y .8.在条形区域b x a ≤≤,+∞<y 内,假设方程(2.1)的所有解都唯一,对其中任意两个解)(),(21x y x y ,如果有)()(0201x y x y <,则必有)()(21x y x y <,b x x ≤≤0.证：令=)(x ϕ)()(21x y x y −,由于)()(0201x y x y <,故0)()()(02010<−=x y x y x ϕ.用反证法若在)(),(21x y x y 共同的存在区间内)()(21x y x y <不成立,由)(x ϕ的连续性,必存在点],[b a x ∈,使得0(=x ϕ.从而0((21=−x y x y ,即((21x y x y =.这于假设矛盾,故必有)()(21x y x y <.。