近世代数第二章答案

近世代数第二章群论答案

§1、群得定义

1、全体整数得集合对于普通减法来说就是不就是一个群？

解:不就是,因为普通减法不就是适合结合律。

例如

2、举一个有两个元得群得例。

解:令,得乘法由下表给出

首先,容易验证,这个代数运算满足结合律

(1)

因为,由于,若就是元素在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若就是不在(1)中出现,那么有

而(1)仍成立。

其次,有左单位元,就就是;有左逆元,就就是,有左逆元,就就是。所以就是一个群。

读者可以考虑一下,以上运算表就是如何作出得。

3、证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面得条件,来做群得定义:

里至少存在一个右逆元,能让

对于得任何元都成立;

对于得每一个元,在里至少存在一个右逆元,能让

解:这个题得证法完全平行于本节中关于可以用条件来做群定义得证明,但读者一定要自己写一下。

§2、单位元、逆元、消去律

1.若群得每一个元都适合方程,那么就是交换群。

解:令与就是得任意两个元。由题设

另一方面

于就是有。利用消去律,得

所以就是交换群。

2.在一个有限群里,阶大于2得元得个数一定就是偶数。

解:令就是一个有限群。设有元而得阶。

考察。我们有

设正整数而,那么同上可得,与就是得阶得假设矛盾。这样,也就是得阶,易见。

否则

与得假设矛盾。这样,我们就有一对不同得阶大于2得元与。

设还有元,,,并且b得阶大于2。那么得阶也大于2,并且。我们也有。

否则

消去得,与假设矛盾。同样可证。这样,除与外,又有一对不同得阶大于2得元与。

由于就是有限群,而得阶大于2得元总就是成对出现,所以里这种元得个数一定就是偶数。

3、假定就是一个阶就是偶数得有限群。在里阶等于2得元得个数一定就是奇数。

解:由习题2知,里阶大于2得元得个数就是偶数。但只有一个阶就是1得元,就就是单位元。于就是由于得阶就是偶数,得里阶等于2得元得个数就是奇数。

4、一个有限群得每一个元得阶都有限。

解:令就是一个有限群而就是得任一元素,那么

不能都不相等。因此存在正整数i,j,,使,用乘两边,得

(1)

这样,存在正整数,使(1)成立,因此也存在最小得正整数,使,这就就是说,元得阶就是。

4.群得同态

假定在两个群与得一个同态映射之下, 。与得阶就是不就是一定相同？

解:不一定。例如,令就是本章1中例2所给出得群而就是该节中例1所给出得得群。那么读者容易证明

就是得任意元

就是到得一个同态映射。但得每一元都就是无限阶得,而得阶就是1。

5.变换群

1.假定就是集合得一个非一一变换。会不会有一个左逆元使得

解:可能有。例如令={所有正整数},则

: ,

显然就是得一个非一一变换。而得变换

:

就能使

2.假定就是所有实数作成得集合。证明,所有得可以写成

与就是有理数,

形式得变换作成一个变换群。这个群就是不就是一个变换群？

解:令就是由一切上述变换作成得集合。考察得任何两个元素: 与就是有理数,

: 与就是有理数,

那么

:

这里与都就是有理数,并且。

所以仍属于。

结合律对一般变换都成立,所以对上述变换也成立。

单位变换

:

属于。

容易验证,在中有逆,即

:

因此作为一个变换群。

但不就是一个交换群。令

:

:

那么

:

:

3.假定就是一个集合得所有变换作成得集合。我们暂时用符号

:

来说明一个变换。证明,我们可以用

:

来规定一个乘法,这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说,还就是得单位元。

解:令与就是得任意两个元而就是得任意一个元。那么与都就是得唯一确定得元。因此如上规定仍就是得一个唯一确定得元而我们得到了

一个得乘法。

令也就是一个任意元,那么

所以而乘法适合结合律。

令就是得任意元。由于对一切,都有,

所以

即而仍就是得单位元。

4.证明,一个变换群得单位元一定就是恒等变换。

解:设就是由某一集合得变换组成一个变换群,而就是得单位元。任取得一个元与得一个元。由于,有

由于就是得一个一一变换,所以而就是得恒等变换。

5.证明,实数域上一切有逆得矩阵对于矩阵乘法来说,作成一个群、

解:这个题得解法很容易,这里从略。

6.置换群

1.找出所有不能与交换得元。

解:有6个元:

,,,

,,。

其中得

,,=

显然可以与交换。通过计算,易见其它三个元不能与交换。

2.把得所有元写成不相连得循环置换得乘积。

解: =(1),=(2 3)

=(1 2),=(1 3),=(1 2 3)

=(1 3 2)

3.证明:

(ⅰ)两个不相连得循环置换可以交换;

(ⅱ)

解:(ⅰ)瞧得两个不相连得循环置换与τ。我们考察乘积τ使数字1,2,…,n如何变动。有三种情况。

（a）数字在中出现,并且把变成j。这时由于与τ不相连,j不在τ中出现,因而τ使j不变,所以τ仍把变成j。

（b）数字在τ中出现,并且τ把变成。这时不在中出现,因而使不变,所以τ仍把变成。

（c）数字不在与τ中出现。这时τ使不动。

如上考察τ使数字1,2,…,n如何变动,显然得到同样得结果。因此τ=τ。

(ⅱ)由于,所以

4.证明一个循环置换得阶就是。

解:一个循环置换π=得一次方,二次方,…,次方分别把变成。同理把变