2.1平方差公式课件.ppt_(1)精选
合集下载
2.1 平方差公式 课件 (青岛版八年级上册)1
一项相同， 另一项符号相反。 (2) 公式右边是这两项的平方差； 即右边是相同项的平方, 减去符号相反项的平方.
结构 特征
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
辨析与应用
1.判断下列各式能否运用平方差公式进行计算， 如果能，指出其中相当于公式中a和b的部分：
a a-b
2
2
(a + b)(a - b)
a a-b
b
b
a-b b 边长为a的正方形中， 剪去一个边长为b的小正方形， 剩余面积是多少？ 把剩余的部分拼接成右图， 你能算出它的面积吗？
A组 习题2.1 A组第1题
B组 习题2.1 B组第1.2题
C组 综合拓展
1、观察下列各式： 1×3=22－1；3×5=42－1；5×7=62－1；…… ， 11×13=122－1， 把你发现的规律用含字母n的式子表示出来__________。 2、利用平方差公式计算：
1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) 2 4 16 256
由多项式的乘法法则得到了：
(a + b)(a - b) = a + ab - ab + b = a - b
从而有
2
2
2
2
(a + b)(a - b) = a - b
也就是说
2
2
两个数的和与这两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
(a + b )( a b ) a
b
= a -b a
2
2
b b 边长为a的正方形中， 剪去一个边长为b的小正方形， 请表示剩余部分的面积， 把剩余的部分拼接， 你能算出它的面积吗？ a-b
自学
结构 特征
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
辨析与应用
1.判断下列各式能否运用平方差公式进行计算， 如果能，指出其中相当于公式中a和b的部分：
a a-b
2
2
(a + b)(a - b)
a a-b
b
b
a-b b 边长为a的正方形中， 剪去一个边长为b的小正方形， 剩余面积是多少？ 把剩余的部分拼接成右图， 你能算出它的面积吗？
A组 习题2.1 A组第1题
B组 习题2.1 B组第1.2题
C组 综合拓展
1、观察下列各式： 1×3=22－1；3×5=42－1；5×7=62－1；…… ， 11×13=122－1， 把你发现的规律用含字母n的式子表示出来__________。 2、利用平方差公式计算：
1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) 2 4 16 256
由多项式的乘法法则得到了：
(a + b)(a - b) = a + ab - ab + b = a - b
从而有
2
2
2
2
(a + b)(a - b) = a - b
也就是说
2
2
两个数的和与这两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
(a + b )( a b ) a
b
= a -b a
2
2
b b 边长为a的正方形中， 剪去一个边长为b的小正方形， 请表示剩余部分的面积， 把剩余的部分拼接， 你能算出它的面积吗？ a-b
自学
《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式说》课件
围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
平方差公式ppt(1)
随堂练习
1．498×502 2．499² -498² 3．98×102－99² 4．1.03×0.97 5．(－2x2+5)(－2x2－5) 6．a(a－5)－(a+6)(a－6)
=249996
=997 =195 =0.9991 =4x4－25 =36－5a
7．(2x－3y)(3y+2x)－(4y－3x)(3x+4y) = 13x2－25y2 8．( x+y)( x－y)( x2+y2) 9．(x+y)(x－y)－x(x+y) 10．3(2x+1)(2x－1)－2(3x+2)(2－3x) 11．2003×2001－20022 =x4－y4 =－y2－xy =30x2－11 =－ 1
法一 利用加法交换律，变 成公式标准形式． (3x−5)(3x−5) =(5－3x ) (－5＋3x) =(5)2 −(3x)2 = 25−9x2．
法二
提取两“−”号中 的“−”号，变成 公式标准形式．
(3x−5)(3x−5) =-(3x+5) (3x−5) =－[(3x)2−52] =25−9x2．
（2）公式右边是这两个数的平方差；即 右边是左边括号内的第一项的平方减去 第二项的平方． （3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是 代数式．
（4）各因式项数相同．符号相同的放在 前面平方，符号相反的放在后面平方．
例1 利用平方差公式计算： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)． 解：（1） (7+6x)(7−6x)= 72-（6x）2= 49－36x2
=x2－y2
例2 利用平方差公式计算：
《平方差公式》PPT课件
平方差公式
-.
动脑筋 计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(-a +1)(-a - 1)= a2 + a - a - 12 = a2 - 1 (-a + 2)(-a - 2)= a2 + 2a - 2a - 22 = a2 - 4
(-a + 3)(-a - 3)= a2 + 3a - 3a - 32 = a2 - 9 (-a + 4)(-a - 4)= a2 + 4a - 4a - 42 = a2 - 16
例2 利用平方差公式计算本章“情境导航” 中提出的问题.
解：803×797=(800+3)(800-3) =8002-32 =640000-9=639991
(a)
(b)
如图 (a)，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为
b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两
个长方形，再将这两个长方形拼成如图(b). 你能用
B. -(-x)3·(-x)5= -x8
C. (-2x2y)3·4x-3=-24x3y3
D.
1
-
3
y
-
1
+
3
y
=
1
2
2
4
x2 -9 y2
解析 A 中同类项为x5，合并后应为2x5，A错.
B 中是同底数幂的乘法，应为
-(-x)3+5=-(-x)8=-x8，B正确
C 中应为(-2)3·(x2)3 ·y3 ·4x-3=-32x3y3，C
错；D 中是多项式乘以多项式，且不适用
平方差 公式.应为
1 2
-
3
y
-
1 2
+3
-.
动脑筋 计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(-a +1)(-a - 1)= a2 + a - a - 12 = a2 - 1 (-a + 2)(-a - 2)= a2 + 2a - 2a - 22 = a2 - 4
(-a + 3)(-a - 3)= a2 + 3a - 3a - 32 = a2 - 9 (-a + 4)(-a - 4)= a2 + 4a - 4a - 42 = a2 - 16
例2 利用平方差公式计算本章“情境导航” 中提出的问题.
解：803×797=(800+3)(800-3) =8002-32 =640000-9=639991
(a)
(b)
如图 (a)，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为
b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两
个长方形，再将这两个长方形拼成如图(b). 你能用
B. -(-x)3·(-x)5= -x8
C. (-2x2y)3·4x-3=-24x3y3
D.
1
-
3
y
-
1
+
3
y
=
1
2
2
4
x2 -9 y2
解析 A 中同类项为x5，合并后应为2x5，A错.
B 中是同底数幂的乘法，应为
-(-x)3+5=-(-x)8=-x8，B正确
C 中应为(-2)3·(x2)3 ·y3 ·4x-3=-32x3y3，C
错；D 中是多项式乘以多项式，且不适用
平方差 公式.应为
1 2
-
3
y
-
1 2
+3
《平方差公式》课件完整版PPT初中数学1
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
特点：两 平方，一
正一负
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2
× √ -(x×2+y2) y2-x√2 √(x+5y)(x-5y)
能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
请模仿上面解题过程，计43;1)(99-1)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
2 公式法法因式分解
③（a＋ 3)(a－3）；
=(1[()a(+bb+)2+ac)]([2(a+－bb)-)c]
=100×98，所以992-1能否被100整除.
公 式 ①已知 a²-b²=3，求 (a-b)³(a+b)³的值.
a²-b²=(a+b)(a-b)
（1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
你知道992-1能否被100整除吗？
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
两①个(x-数y+z的)(x平+y方+z差) ，②等(于3m这+两n-p个)(数3m的-n和+p与) 这两个数的差的乘积.
所解以:原，式（＝2（n+21n)+21-+25）能(被2n4+整1-除5) .
人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式课件(共41张PPT)
=
4 9
x2
-
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式
拓展提升
利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
【预习导学】
一、自学指导:自学1：自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌
握平方差公式，完成下列填空。
能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-a+b)(a+b)= _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ (5)(a+b)(-a-b)=________ (6)(a-b)(-a+b)=________
2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
人教版教材《平方差公式》课件ppt1
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
平方差公式课件(市一等奖)
平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
(人教版八上) 数学 课件 平方差公式
(1) 左边两个二项式是： 两项的和与这两项差的乘积
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
平方差公式(教学课件)
解：(3 + 1)(3 − 1) − 9( − 1)
= 92 − 1 − 92 + 9
= 9 − 1
当 = 2时，原式= 9 × 2 − 1 = 17.
例4.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的
整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
(a +b)(a -b)=a2-b2
【点睛】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二
解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4
项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)
2-(2y)2= x2-4y2
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差
公式的结构特征.（重点）
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
（难点）
从前，有位狡猾的地主把一边长为a米的正方形土地租给张老汉种植. 第二
年，这地主对张老汉说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，租
金不变，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得也没吃
(2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
63
64
143
144
6399
6400
(2)从上的过程中，你发现了什么规律？
三个连续整数中，首尾两数的积，等于中间数的平方减1.
(a+1)(a-1)=a2-1
(3)这一规律用字母可表示为___________________，它的正确性可用
= 92 − 1 − 92 + 9
= 9 − 1
当 = 2时，原式= 9 × 2 − 1 = 17.
例4.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的
整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
(a +b)(a -b)=a2-b2
【点睛】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二
解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4
项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)
2-(2y)2= x2-4y2
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差
公式的结构特征.（重点）
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
（难点）
从前，有位狡猾的地主把一边长为a米的正方形土地租给张老汉种植. 第二
年，这地主对张老汉说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，租
金不变，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得也没吃
(2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
63
64
143
144
6399
6400
(2)从上的过程中，你发现了什么规律？
三个连续整数中，首尾两数的积，等于中间数的平方减1.
(a+1)(a-1)=a2-1
(3)这一规律用字母可表示为___________________，它的正确性可用
平方差公式课件1
理等。
平方差公式的定义：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 平方和公式的定义：a^2 + b^2 无法通过其他形式表示 平方和与平方差的关系：无法直接通过平方差公式推导得到 平方和与平方差的应用场景：在数学、物理等领域有广泛的应用
二项式定理：平方差公式的扩展，适用于任意两个二项式相乘的情况
平方差公式在代数表达式中可以用 于简化计算
平方差公式可以用于解决一些代数 方程的求解问题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平方差公式可以用于因式分解，将 多项式化为两个因式的乘积
平方差公式在代数表达式中可以用 于证明一些恒等式
计算面积：利用平方差公式计算各种几何图形的面积 计算周长：利用平方差公式计算各种几何图形的周长 证明定理：利用平方差公式证明几何定理，如勾股定理等 解决实际问题：利用平方差公式解决几何图形中的实际问题，如土地测量、建筑测量等
利用多项式乘法展 开验证公式
证明公式正确性
总结推导过程
将原式拆分成两个二项式相减的形 式
利用平方差公式进行因式分解
展开并简化得到平方差公式
平方差公式的推导 基于多项式乘法与 因式分解的结合
通过将左边的式子 进行因式分解，得 到两个二项式的乘 积
利用多项式乘法的 分配律，将右边的 式子展开
最终得到平方差公 式的形式
完全平方公式：平方差公式的特殊形式，适用于两个完全平方项相乘的情况
平方差公式的几何意义：将平方差公式与几何图形相结合，有助于理解公式的意义和性 质
平方差公式的应用：介绍平方差公式在数学、物理等学科中的应用，以及在解决实际问 题中的应用
公式形式：a^2 b^2 = (a+b)(a-b)
平方差公式的定义：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 平方和公式的定义：a^2 + b^2 无法通过其他形式表示 平方和与平方差的关系：无法直接通过平方差公式推导得到 平方和与平方差的应用场景：在数学、物理等领域有广泛的应用
二项式定理：平方差公式的扩展，适用于任意两个二项式相乘的情况
平方差公式在代数表达式中可以用 于简化计算
平方差公式可以用于解决一些代数 方程的求解问题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平方差公式可以用于因式分解，将 多项式化为两个因式的乘积
平方差公式在代数表达式中可以用 于证明一些恒等式
计算面积：利用平方差公式计算各种几何图形的面积 计算周长：利用平方差公式计算各种几何图形的周长 证明定理：利用平方差公式证明几何定理，如勾股定理等 解决实际问题：利用平方差公式解决几何图形中的实际问题，如土地测量、建筑测量等
利用多项式乘法展 开验证公式
证明公式正确性
总结推导过程
将原式拆分成两个二项式相减的形 式
利用平方差公式进行因式分解
展开并简化得到平方差公式
平方差公式的推导 基于多项式乘法与 因式分解的结合
通过将左边的式子 进行因式分解，得 到两个二项式的乘 积
利用多项式乘法的 分配律，将右边的 式子展开
最终得到平方差公 式的形式
完全平方公式：平方差公式的特殊形式，适用于两个完全平方项相乘的情况
平方差公式的几何意义：将平方差公式与几何图形相结合，有助于理解公式的意义和性 质
平方差公式的应用：介绍平方差公式在数学、物理等学科中的应用，以及在解决实际问 题中的应用
公式形式：a^2 b^2 = (a+b)(a-b)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
− 4(2 a2a; = 12 − )2 ; (2) (1+2a)(1−2a) ；
2−(4y) = x2 (3) (x+4y)(x−4y) ； 16y22;; 22 = = y y − − 25 (5z) z2 2; . (4) (y+5z)(y−5z) ；
用自己的语 公式 言叙述你的 发现。
观察 & 发现
作业
作业
1、基础训练：教材p.30 习题1.11. 第1题。 2、扩展训练：利用平方差公式计算：
(a+b+c)(a—b—c)。
本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解． 纠 错 练 习
指出下列计算中的错误：
2 (1) (1+2x)(1 2x −2x)=1 2x −2x 2x 2 2 2 2 4 4 (2) (2a 2a2 +b )(2a 2a2−b )=2a 2a −b 2−2n2 (3) (3m+2n)(3m − 2n)=3m 3m 2n 3m 2n 3m 2n
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a
1 -3
b
x a
a2-b2
12-x2 (-3)2-a2
a (1+a)(-1+a) 1 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1
a2-12
( 0.3x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算 (1)（3x+2y)(3x-2y)
！
相 信 自 己 我 能 行
拓展提升
1.计算(1＋½)（1＋¼ ）（1＋1／16） 解 ： （ 1－½)(1＋½)（1＋¼)（1＋1／16）×2
=(12－(½)2) （1＋¼)（1＋1／16）×2
=（12－ (¼)2)（1＋1／16）×2 =（12－ (1／16)2) ×2 =255／256×2 =255／128
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
相同为a 适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
特征 结构
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
学一学
平方 平方
例1 利用平方差公式计算： 例题解析 (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
解: (1) 803×797 =（800＋3）(800－3) = 8002-32 =640 000 – 9 =639 991 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b) =(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)
解．
提取两“−”号中的“−” 号， 法二 变成公式标准形式。 注意 计算时千万别忘了
你提出的“”号、添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解． 拓 展 练 习 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
观察以上算 式及其运算结果，你发现了什么规律？
用式子表示，即：
(a+b)(a−b)=
a2−b2.
两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方的差.
2− ( a + b )( a − b ) = x 初识平方差公式
2 b (1) 公式左边两个二项式必须是
相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
阅读
=25 − 36x2 ;
当“第 一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 时 , 要用括号把这个数整 再平方; 个括起来， 最后的结果 又要去掉括号。
注意
p30例2.
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
随堂练习
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
随堂练习 p30
(3)(−x+1)(−x−1) ;
(4)(−4k+3)(−4k−3) .
接纠错练习
本节课你的收获是什么？
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=x2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式； 对于不符合平方差公式标准形式者， 或提取两“−”号中的“−”号， 要利用加法交换律， 变成公式标准形式后，再用公式。
x2 － 42
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2 ③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 m2 － (6n)2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
2 解：原式＝ (3x)
注意 1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a
-
2 (2y)
哪个是 b
a b ＝9x2 - 4y2
(2 )(-7+2m2)(-7-2m2).
解：原式=(-7)2－(2m2)2
a
b
= 49－4m4
例2 计算:
(1) 803×797;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
（3）51×49 =(50+1)(50-1) =502－12 =(-2x2 )2－y2 =2500-1 =4x4－y2. =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =(9x2－16) －(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （4）(－2x2－y)(－2x2+y)
4
4
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
合理加括号
《数学》(北师大.七年级 下册)
7
回顾 & 思考 ☞
多项式乘法 法则是: 用一个多项式的每一项 回顾与思考 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。 (m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
(1) (a+b)(a−b) ；
(不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−b)(b−a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(不能)
(不能) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x).
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的乘积 .
如果 (x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
做一做
计算下列各 平 方 差 2−32 ; 题 2 = x (1): (x+3)(x−3) ； =x −9 ;
原来
5米
现在
(a+5)米
a米
2 a
5米
(a-5)
(a+5) －25
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
2、利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a + 4)
2
解:原式=(a -4)(a +4)
=a -16
4
2
2
3.化简
( x y)(x y)(x y ) (x4+y4 )
2 2
解原式 （x y )(x y )(x4+y4 )
2 2 2 2
4+y4) x y ( x （ ） 8 8 x y
第一数a 第二数b
解: (1) (5 5 +6x)(5 5 −6 6x x)= 52 − ( 6x)2 (2) (x +2 2y y) (x−2 2y y) = x2 − ( 2y ) 2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n )(− m −n ) n n − m = ( −m )2 − n2 = n 2 −n 2 .
2−(4y) = x2 (3) (x+4y)(x−4y) ； 16y22;; 22 = = y y − − 25 (5z) z2 2; . (4) (y+5z)(y−5z) ；
用自己的语 公式 言叙述你的 发现。
观察 & 发现
作业
作业
1、基础训练：教材p.30 习题1.11. 第1题。 2、扩展训练：利用平方差公式计算：
(a+b+c)(a—b—c)。
本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解． 纠 错 练 习
指出下列计算中的错误：
2 (1) (1+2x)(1 2x −2x)=1 2x −2x 2x 2 2 2 2 4 4 (2) (2a 2a2 +b )(2a 2a2−b )=2a 2a −b 2−2n2 (3) (3m+2n)(3m − 2n)=3m 3m 2n 3m 2n 3m 2n
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a
1 -3
b
x a
a2-b2
12-x2 (-3)2-a2
a (1+a)(-1+a) 1 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1
a2-12
( 0.3x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
例1、用平方差公式计算 (1)（3x+2y)(3x-2y)
！
相 信 自 己 我 能 行
拓展提升
1.计算(1＋½)（1＋¼ ）（1＋1／16） 解 ： （ 1－½)(1＋½)（1＋¼)（1＋1／16）×2
=(12－(½)2) （1＋¼)（1＋1／16）×2
=（12－ (¼)2)（1＋1／16）×2 =（12－ (1／16)2) ×2 =255／256×2 =255／128
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
相同为a 适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
特征 结构
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
学一学
平方 平方
例1 利用平方差公式计算： 例题解析 (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
解: (1) 803×797 =（800＋3）(800－3) = 8002-32 =640 000 – 9 =639 991 (2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1.
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b) =(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （2）(3+2a)(－3+2a)
解．
提取两“−”号中的“−” 号， 法二 变成公式标准形式。 注意 计算时千万别忘了
你提出的“”号、添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解． 拓 展 练 习 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
观察以上算 式及其运算结果，你发现了什么规律？
用式子表示，即：
(a+b)(a−b)=
a2−b2.
两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方的差.
2− ( a + b )( a − b ) = x 初识平方差公式
2 b (1) 公式左边两个二项式必须是
相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
阅读
=25 − 36x2 ;
当“第 一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 时 , 要用括号把这个数整 再平方; 个括起来， 最后的结果 又要去掉括号。
注意
p30例2.
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
随堂练习
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
随堂练习 p30
(3)(−x+1)(−x−1) ;
(4)(−4k+3)(−4k−3) .
接纠错练习
本节课你的收获是什么？
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=x2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式； 对于不符合平方差公式标准形式者， 或提取两“−”号中的“−”号， 要利用加法交换律， 变成公式标准形式后，再用公式。
x2 － 42
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）=1 －4a2 12－(2a)2 ③（m＋ 6n)( m－6n)=m2 － 36n2 m2 － (6n)2 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 (5y)2 － z2
它们的结果有什么特点？
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
2 解：原式＝ (3x)
注意 1、先把要计算的 式子与公式对照, 2、哪个是 a
-
2 (2y)
哪个是 b
a b ＝9x2 - 4y2
(2 )(-7+2m2)(-7-2m2).
解：原式=(-7)2－(2m2)2
a
b
= 49－4m4
例2 计算:
(1) 803×797;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
（3）51×49 =(50+1)(50-1) =502－12 =(-2x2 )2－y2 =2500-1 =4x4－y2. =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =(9x2－16) －(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （4）(－2x2－y)(－2x2+y)
4
4
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
合理加括号
《数学》(北师大.七年级 下册)
7
回顾 & 思考 ☞
多项式乘法 法则是: 用一个多项式的每一项 回顾与思考 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。 (m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
(1) (a+b)(a−b) ；
(不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−b)(b−a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(不能)
(不能) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x).
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的乘积 .
如果 (x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
做一做
计算下列各 平 方 差 2−32 ; 题 2 = x (1): (x+3)(x−3) ； =x −9 ;
原来
5米
现在
(a+5)米
a米
2 a
5米
(a-5)
(a+5) －25
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4） ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16
2、利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a + 4)
2
解:原式=(a -4)(a +4)
=a -16
4
2
2
3.化简
( x y)(x y)(x y ) (x4+y4 )
2 2
解原式 （x y )(x y )(x4+y4 )
2 2 2 2
4+y4) x y ( x （ ） 8 8 x y
第一数a 第二数b
解: (1) (5 5 +6x)(5 5 −6 6x x)= 52 − ( 6x)2 (2) (x +2 2y y) (x−2 2y y) = x2 − ( 2y ) 2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n )(− m −n ) n n − m = ( −m )2 − n2 = n 2 −n 2 .