(完整版)等和线解决的平面向量专题

1、【2014宁波二模理17】已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非．

零实数．．．

x 、y ，使得AO xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，且21x y +=，则cos ∠BAC = ．

解答：取AC 中点D ，则有2AO xAB y AC xAB y AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，而21x y +=，得点B,O,D

三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，故有BC=AB=3，AC=4，求得

2cos 3

BAC ∠=

. 2、【2014杭州二模文8理6】设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若

3

1

31+=

，则BAC ∠的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°

解答：取AC 中点D ，则有1233

AO AB AD =+u u u r u u u r u u u r

，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC

的外心，可得BD AC ⊥，即有AO=BO=2DO ，故可求得60BAC ∠=︒.

3、【2009浙江理样卷6】已知AOB ∆，点P 在直线AB 上，且满足()2OP tPA tOB t R =+∈u u u r u u u r u u u r

，

则PA PB

u u u r u u u r =（ ） A.13 B.12 C.2 D.3

解答：由已知212t OP OA tOB t =

++u u u r u u u r u u u r ，点P 在直线AB 上，得2112t t t

+=+，解得1t =-或12t =. 当1t =-时，可得1122OA OP OB =+u u u r u u u r u u u r ，此时A 为PB 中点，PA PB u u u r u u u

r =12

；当12t =时，可得1122OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

，此时P 为AB 中点，PA PB

u u u r u u u

r =1.

4、【2014浙江省六校联考理17】已知O 为ABC ∆的外心，2AB a =，2

(0)AC a a

=

>，120BAC ∠=o

，若AO xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r

(x ,y 为实数)，则x y +的最小值为_____．

E O

B

C

A

解答：如图，设AO BC E =I ，EO m =，AO R =，则易知

()

11R R AO AE x AB y AC R m R m =

=+--u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中111x y +=，,2R m R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，故由已知可得R

x y R m

+=-，所求取值范围是[)2,+∞.

5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O 为ABC ∆的外心，

ο120,2,4=∠==BAC AC AB 。若21λλ+=，则=+21λλ__________.

解法1：如图，设AO BC E =I ，EO m =，AO R =，AF BC ⊥于F 点，OG BC ⊥于

G 点，则易知()

11R R AO AE x AB y AC R m R m

=

=+--u u u r

u u u r u u u r

u u u r ，其中111x y +=

，由已知可求得3OG =

，7

AF =，故可求得121316R AF OG OG R m AF AF λλ++=

==+=-. 解法2：212

212AO AB AB AC AB AO AC AB AC AC

λλλλ⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得

12128164244λλλλ=-⎧⎨

=-+⎩，解得1256

8

6λλ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，故1213

6

λλ+=

. 解法3：设()0,0A ，()4,0B ，(

C -，外心O 是AB

中垂线2x =和AC

中垂线

33y x =+的交点

2,3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，得2,3AO ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

u

u u r ，()4,0AB =u u u r ，

(AC =

-u u u r

，得121224λλ=-⎧=+，有误，重解

【变式1】、已知向量a,b 的夹角为

23π，且|a |=4，|b|=2，|a-c |=|b-c |=|c |，若c=x a +y b ，则x+y=13

6

.

6、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()λc +a=c +b (∈λ)R ， 则|c |的最小值为

解答：如图，由已知111c b a λλλ--=

+--r r r

，设a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r ，c OC -=r u u u r ，则点C 在直线AB 上，得c OC =r u u

u r 有最小值

2

.

7、【2012年稽阳联考15】A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若

(23),()OP mAP m OB m R =+-∈u u u r u u u r u u u r ，则||

||

PB PA u u u r u u u r = 2 。 解答： 8、【2013杭二中高三适应考理17】如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，AB ∥DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP AD AB λμ=+u u u r u u u r u u u r

（λ，R μ∈），则λμ+取值范围是 .

解答：设AP BD E =I ，AE m =，AP n =，则()

n n AP AE xAB yAC m m

==

+u u u r u u u r u u u r u

u u r

，其中1x y

+=

，得12k

n k m λμ+

+===+，k 表示点P 到BC 边的距离，0,5k ⎡∈⎢⎣⎦

，得所求取值范围是[]1,2.

9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,20092a a ⋅+⋅=且A,B,C 三点共线(该