极大似然估计练习题
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关于矩估计与极大似然估计的典型例题
例1，设总体X 具有分布律
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--22)1()1(2321~θθθθX 其中10<<θ为未知参数。已经取得了样本值1,2,1321===x x x ，试求参数θ的矩估计与极大似然估计。
解：（i ）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）
X X E =-=-⨯+-⨯+=θθθθθ23)1(3)1(22)(22
得 6
523432x 32X 3=-=-=-=矩θ （ii ）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率
),,()(332211x X x X x X P L ====θ
)1,2,1(321====X X X P
)1()2()1(321=⨯=⨯==X P X P X P
)1(2)1(2522θθθθθθ-=⨯-⨯=
对数似然
)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L
0115)(ln =--=θ
θθθd L d 得极大似然估计为 6
5ˆ=极θ
例2，某种电子元件的寿命（以h 记）X 服从双参数指数分布，其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥--=其他,0],/)(exp[1)(μθμθx x x f 其中0>μθ，均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为.,,2,1n x x x
（1） 求μθ，的最大似然估计量；
（2） 求μθ，的矩估计量。
解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为
∏===n
i i n x f x x x f L 12,1)();,,()(μθμθ，， ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--=∏=其他,0,,,]/)(exp[12,11μθμθn n i i x x x x ⎪⎩
⎪⎨⎧>≤--=∑=)1()1(1,0),/)(exp(1x x n x n i i n μμθμθ 在求极大似然估计时，0)(=μθ，L 肯定不是最大值的似然函数值，不考虑这部分，只考虑另一部分。
取另一部分的对数似然函数
)1(1,/)(ln ),(ln x n x n L n
i i ≤---=∑=μθμθμθ
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∂∂=
-+-=∂∂∑=0
),(ln 0
)
,(ln 21
θμμθθμ
θθμθn
L n x n L n
i i
可知关于μθ，的驻点不存在，但能判定单调性 由0)
,(ln >=∂∂θμμθn
L 知
,,/)(ln ),(ln )1(1
x n x n L n
i i ≤---=∑=μθμθμθ
关于μ是增函数，故
)1(ˆx =极μ 将之代入到0),(ln 21
=-+-=∂∂∑=θμ
θθμθn x n L n i i 中得
)1(ˆx x -=极θ
则)1(ˆx =极μ，)1(ˆx x -=极θ一定能使得似然函数达到最大，故μθ，的极大似然估计为
⎪⎩⎪⎨⎧=-=)1()
1(ˆˆx x x 极极μθ
（2）列矩方程组（两个未知参数）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=--==+=--=⎰∑⎰∞+=∞+μμθθμθμθθμθμθn i i X n dx x x X E X dx x x X E 1222221)(]/)(exp[1)(]/)(exp[1)(解出
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=-=∑∑==n i i n i i X X n X X X n 1212)
(1ˆ)(1ˆ矩矩μθ 例3，设总体],0[~θU X ，其中0>θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观察值，求未知参数θ的极大似然估计。
解：似然函数，即样本的联合概率密度
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===∏-else x x x x f x x x f L n n n
i i n ,0,,,0,1)();,,,()(21121θθθθ 0)(=θL 肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，
取对数似然
)(,ln )(ln n x n L ≥-=θθθ
0)(ln <-=θ
θθn d L d
知θθln )(ln n L -=在)(n x ≥θ内是单调递减的，故θ取)(n x 能使得似然函数达到最大，则θ的极大似然估计值为 )(ˆn x =极θ，极大似然估计量为)(ˆn X =极θ