人教版第二十一章一元二次方程知识点汇总归类总结题型汇总

第二十一章 一元二次方程

（知识点汇总+归类总结+题型汇总）

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一、一元二次方程的概念

1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是________________．

二、一元二次方程的解法

1．解一元二次方程的基本思想是 ，

主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.

2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．

3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________.

4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________．

三、一元二次方程根的判别式

1．一元二次方程根的判别式是__________． 2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；

(2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；

(3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根．

四*、一元二次方程根与系数的关系

1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．

2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，

x 1x 2＝__________.

注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅

（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 12x x -= 五、实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．

一元二次方程的定义：

1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )

A ．x 2＋1x 2＝0

B ．ax 2＋bx ＋c ＝0

C ．(x －1)(x ＋2)＝1

D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2.下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A.02=++c bx ax

B.x x ax -=+221

C.0)1()1(222=--+x a x a

D.0312=-+=

a x x 3.关于x 的一元二次方程（a 2—1）x 2+x —2=0是一元二次方程，则a 满足（ ）

A. a ≠1

B. a ≠—1

C. a ≠±1

D.为任意实数

4.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，

二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

5.关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；

当m 时为一元二次方程。

6.关于x 的方程0232=+-m x x 的一个根为-1，则方程的另一个根为______，=m ______。。

7.已知m 是方程2250x x --=的一个根，则22m m -=______________。

8.关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）

A. 1

B.1-

C.1或1-

D.0

解一元二次方程：

1.选用合适的方法解下列方程

)4(5)4(2+=+x x x x 4)1(2=+ 22)21()3(x x -=+ 31022=-x x

32x ＝2x ；

x （3x －1）＝3－x ； 4（x －2）2－（3x －1）2＝0；

（2x －1）2-2（2x －1）＋1＝0； 32x 32--x ＝0．； x （2x+3）=4x+6

2.配方法解方程x 2—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）

A ．2(2)2x -=

B ．2(2)2x +=

C ．2(2)2x -=-

D ．2

(2)6x -=

3.解方程（5x —1）2=3（5x —1）的适当方法是（ ）

A ．开平方法

B ．配方法

C ．公式法

D ．因式分解法

4.等腰三角形的底和腰分别是方程2680x x -+=的两个根，则这个三角形的周长是（ ） A ．8

B ．10

C ．8或10

D ． 不能确定

5.若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）

A. 1，0

B.-1，0

C.1，-1

D.无法确定

6.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞1且a ≠5

C ．a ≥1且a ≠5

D ．a ≠5

7. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )

A.2(2)2x -=

B.2(2)2x +=

C.2(2)2x -=-

D.2(2)6x -=

8. x 2+3x+ =（x+ ）2 ；x 2— +2=（x ）

2 ()22_____________2

3-=+-x x x 9.若8)2)((=+++b a b a ，则b a +=

10.当=n _________时，方程n nx x +=-72的一个根是2

11. 代数式522+-x x 的最小值是__________

12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程_______________________

13.如果x 2－2(m +1)x + m 2+ 5=0是一个完全平方公式，则m .

14.当m 为 时，关于x 的方程(x －p )2+m =0有实数解.

一元二次方程解决实际问题：

【增长率（降低率）】 总结：增长率问题：起始值a ，终止值b ，变化率x 上升a （1+x ）2=b a （1+x ）n =b

下降a （1—x ）2=b a （1—x ）n =b

1.某商品连续两次降价10%以后的售价为a 元，则该商品的原价为 元。

2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为___________

3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，则活期储蓄的月利率为（ ）

A 、0.24%；

B 、0.24；

C 、0.72；

D 、0.82。

4.县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）

A ．2)1(x a +

B ．2%)1(x a +

C ．2%)1(x +

D ．2

%)(x a a +

5.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

A ．2002(1%)a +=148

B ．2002(1%)a -=148

C ．200(12%)a -=148

D ．2002(1%)a -=148

6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.

A ．12

B ．10

C ．9

D ．8 7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

8.某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?

【利润问题】解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；

②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％ ；

③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。