参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计讲义
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
参数估计课件讲解
置信区间
置信下限
置信上限
13
（3）置信水平：如果我们将构造置信区间的步骤重 复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所 占的比率，称为置信水平。
在构造置信区间时，我们可以用所希望的值作为
置信水平。比较常用的置信水平是：90％，95％ 和99％，通常用 1－ 表示置信水平，其中 称 为显著性水平。
由抽样平均误差
mx =
s = 1.5 =0.15(小时) n 10
D x = zm= 1.96? 0.15 0.29（4 小时）
\ x - 0.294 ＃X x + 0.294，即3.706 ＃X 4.294
因此，以95%置信度，估计该地区内居民每天
看电视的平均时间在3.706到4.294个小时之间。
18
4. F（z）、 z、 Δ、μ之间的关系
F（z）与z具有一一对应的关系，所以已知概率 保证程度F（z）就可以求出概率度z ；若已知z 也就可以知道F（z）。
给定F（z） z Δ = z×μ
样本 μ 和总体参数的点估计值
m= s n
给定Δ
抽样平均误差
Δ/μ= z
F（z）
19
5.区间估计的特点
（1）指出总体被估计参数的上限和下限， 即指出总体参数的可能范围，而不是直 接给出总体参数的估计值。
14
两个需要注意的问题
如果用某种方法构造的所有区间中有95％的 区间包含总体参数的真值，5％的区间不包含 总体参数的真值，那么，用该方法构造的区 间称为置信水平为95％的置信区间。
置信区间是一个随机区间，它会因样本的不 同而不同，而且不是所有的区间都包含参数 真值。
15
2.抽样误差汇总
第八章 参数估计PPT课件
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
《点估计与区间估计》课件
区间估计在假设检验中的应用
在假设检验中，我们通常使用区间估计来确定样本数据是 否支持原假设或备择假设。
点估计与区间估计在回归分析中的应用
点估计在回归分析中的应用
在回归分析中，我们通常使用最小二乘法等统计方法来得到参数的点估计值，并以此为 基础进行预测和推断。
区间估计在回归分析中的应用
除了点估计外，我们还可以使用区间估计来评估模型参数的可能取值范围，从而更全面 地了解模型的预测精度和不确定性。
适用场景
适用于已知概率分布模型的情况，广泛应用于统 计学、机器学习等领域。
最小二乘法
总结词
基于误差平方和最小的点估 计方法
详细描述
最小二乘法是一种基于误差 平方和最小的点估计方法。 它通过最小化观测值与预测 值之间的误差平方和来估计 参数。这种方法在回归分析 、时间序列分析等领域广泛 应用。
数学公式
计算方法
根据样本数据和适当的统计量，通过计算得到参数的 置信下限和置信上限。
应用场景
当需要了解某一参数的可能取值范围时，可以使用双 侧置信区间。
置信区间与置信概率
定义
置信区间是指在一定置信概率下 ，某一参数的可能取值范围。而 置信概率是指对参数取值范围的 信任程度。
关系
置信概率越高，则对应的置信区 间越窄，说明对参数的估计越精 确。
应用场景
在统计推断中，经常需要根据样 本数据和适当的统计量，计算某 一参数的置信区间和对应的置信 概率，以评估对参数的估计精度 和信任程度。
05
点估计与区间估计
的应用场景
点估计在统计推断中的应用
总体参数的点估计
点估计是对总体参数的一个具体的数值估计， 例如，使用样本均值来估计总体均值。
统计学--参数估计 ppt课件
PPT课件
5
• 极限误差是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来 确定的在一定概率下的允许误差范围。
• 参数估计的两个要求：
– 精度：估计误差的最大范围，通过极限误差来反映。显然，Δ越小， 估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。极限误差的 确定要以实际需要为基本标准。
• 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不 按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代 替。例如计算得到：n=56.03，那么，样本容量取57， 而不是56。
PPT课件
32
例：对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标准 差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式，要 求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极限误 差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过5%，问 必要的样本单位数应该是多少？
PPT课件
22
总体成数估计区间估计总结
• 总体成数估计区间的上下限
只考虑大样本情况（请记住大样本条件）
P1 P
P z 2
n
P1 P N n
P z 2
n
N 1
PPT课件
23
对总量指标的区间估计
• 在对总体平均数进行区间估计的基础 上，可进一步推断相应的总量指标， 即用总体单位总数N分别乘以总体平均 数的区间下限和区间上限，便得到相 应总量（Nμ）的区间范围。
P
91 100
91%
P
p(1 n
p)
(总体成数未知,用样本成数代替)
P(1 n
P)
2.86%
F(z) 95%,z 1.96 zP 1.962.86%5.61%
参数的点估计与区间估计 ppt课件
进行统计推断的一般步骤为: 总体 随机抽样 样本
统计量
作出推断
统计推断的
基本问题
参数的点估计 参数估计问题
参数的区间估计
参数假设检验 假设检验问题
非参数假设检验
参数估计问题: 就是要利用样本, 对总体 分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数 作出估计.
如: 估计产品的废品率; 估计湖中鱼的数量; 估计降雨量等等.
,
2
解得 2E( X ) ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
2
1
n
X
i
2X
.
n i1
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数
估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
同样是无偏估计量, 有的取值较集中, 有的 取值较分散. 自然是: 取值越集中的越好. 由此 引入了有效性这个标准 .
估计量与样本容量有关, 我们希望: 随着样 本容量的无限增大, 估计量与被估计量任意接近 的可能性越来越大. 由此引入了一致性这个标准.
无偏性: 若 E( ) , 则称 是 的无偏估计.
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
使
概率
n
f
(
xi
;
)d
xi
达到最大的参数
作为
的估计；
i 1
n
n
即求 使 f ( xi;
参数估计 教学PPT课件
• 2.极大似然估计法
•（1）写出总体X的分布律或密度函数f(x,θ)
•（2）写出Biblioteka 然函数L( x1,n
, xn, ) f (xi , )
i 1
•（3）对似然函数取对数 ln L(x1,, xn , )
•（4）对 ln L(x1,, xn , ) 求导得似然方程
•（5）解似然方程，得极大似然估计量
(n
1))
又 X ?, S ? n 16, 0.1, t1 2 (n 1) ?
区间估计例题
• 例2：从自动机床加工的同类产品中随 机抽取16件，测得长度值为：12.50， 12.12，12.01，12.28，12.09，12.16， 12.03，12.01，12.06，12.13，12.07， 12.11，12.08，12.01，12.03，12.06，
0.90的置信区间：
（1）如果已知σ＝0.01 （2）如果σ未知
区间估计例题
解：（1）σ＝0.01已知，a的置信度为1-α的置
信区间为
0.01 ( X n u1 2 )
又 X ?, n 16, 0.1, u1 2 1.645
（2）σ未知，a的置信度为1-α的置信区间为
(X
S n
1
t1
2
ˆ ˆ(X1,, X n )
极大似然估计法例题
例1：设总体X~(0-1)分布,求p的极大似然估计.
解：总体X的分布律 P(X x) px (1 p)1x, x 0,1
似然函数 取对数
n
L( p) pxi (1 p)1xi pnx (1 p)nnx i 1
ln L( p) nx ln p (n nx) ln(1 p)
设产品长度X～N(a,σ2). 求σ2的置信区间（α＝0.05）
§7.1参数的点估计(上)
E(X)=, D(X)=2( 2>0)存在且未知，
则总体均值和总体方差2的矩估计量分别为
A1 X ,
2
B2
1 n
n i 1
Xi X
2
.
【评】总体均值和方差的矩估计不因不同的总体分布而异。
矩估计量的性质 若=g()是未知参数 的连续函数， 则也是未知参数。依矩估计法易证，的矩估计量为
=g( )，
， i1
D( X )
(E(X
))2
i 1
2
2，
解之得
1， 2 2
12，以样本m阶原点矩Am替换总体m阶
原点矩m(m=1, 2)，得, 2的矩估计量分别为
A1 X ,
2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
2
X
1 n
n i 1
Xi X
2
.
样本的二阶中心矩B2
由上例可知，无论总体X服从什么分布，只要
§7.1 参数的点估计
一 估计量 二 矩估计法
一 估计量
设某厂生产的电视其寿命X(单位：万小时)服从正态分
布N(, 4)，其平均寿命未知。于是厂家抽查了100台
该电视，测得这100台电视的样本均值为x=5.2万小时，
这5.2万小时就可以作为该厂电视平均寿命的一个估
计。这种方法叫做参数的点估计方法。
1 g1 A1, A2 , 2 g2 A1, A2 .
【提纲挈领】 10理解估计量和估计值的定义； 20理解和掌握矩估计法及其理论依据； 30理解和掌握矩估计量的性质。
,
,
k
，解之得
21
g1 1 , 2 ,, k g2 1 , 2 ,, k
《点估计与区间估计》课件
研究热点
贝叶斯估计：基 于贝叶斯理论的 点估计和区间估 计方法
非参数估计：适 用于非参数模型 的点估计和区间 估计方法
稳健估计：在存在 异常值或离群值的 情况下，仍能提供 可靠估计的方法
自适应估计：根 据数据特性自动 调整估计方法的 方法
未来展望
技术进步：随着大数 据和人工智能的发展， 点估计和区间估计的 方法和技术将得到进 一步改进和完善。
优缺点
优点：计算简单，易于理解
缺点：可能存在较大误差，无 法反映真实情况
优点：适用于样本量较小，数 据分布较为均匀的情况
缺点：不适用于样本量较大， 数据分布较为复杂的情况
常用方法
矩估计法：利用样本矩来估计总体参数 最大似然估计法：利用样本数据来估计总体参数 贝叶斯估计法：利用样本数据和先验信息来估计总体参数 区间估计法：利用样本数据来估计总体参数的置信区间
区间估计
定义
区间估计是一种统计推断方法，用于估计参数的取值范围。 区间估计通常包括置信区间和预测区间两种类型。 置信区间是指在给定的置信水平下，参数可能取值的范围。 预测区间是指在给定的预测水平下，未来观测值的可能取值范围。
性质
区间估计可以 提供估计值的 置信区间，表 示估计值的不
确定性
区间估计可以 反映估计值的 精度和准确性
常用方法
置信区间：通过样本数据计算置信区间，表示估计值的可信程度 置信水平：表示估计值的可信程度，通常为95%或99% 区间估计：通过样本数据计算置信区间，表示估计值的范围 区间估计的准确性：通过样本数据计算置信区间，表示估计值的准确性
点估计与区间估计的比较
相同点
都是统计推断的 方法
都需要样本数据
比较分析实例
《点估计与区间估计》课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
概率论与数理统计课件：参数估计
n
n
p( X xi; ) p(xi; ).
i 1
i 1
事实上，它们仅是参数 的函数，称为似然函数，记
为L( ) ，即 L( ) L(x1, x2,
或
n
, xn; ) f (xi; ), i 1
n
L( ) L( X x1, X x2, , X xn; ) p(xi; ). i 1
一个随机变量，其服从 0的泊松分布，即X ~ P()，
其中， 为未知参数. 已知在某小时进入该商场的人数的
样本值见表7.1，试求参数 的点估计值.
表7.1 在某小时进入某商场人数的统计情况
每分钟平均一秒钟进 入该商场的人数 0
1
2
3
4
5
6
7 8
分钟数
6 18 17 9 5 2 2 1 0
参数估计
解：因为X E( 1) ，所以 E( X ) .
由于仅有一个未知参数 ，故仅列一个方程
即可.
1( ) A1
因为1( ) E(X ) 和 A1 X ，所以ˆ X .
参数估计
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例7.1.3 设随机变量X在区间[a, b]中均匀取值，即 X U (a,b) ，其中，a 与 b均为未知参数，试求 a与 b的
i 1
i 1
参数估计
首页 返回 退出
(3) 似然函数 L( ) 与经自然对数变换后的函数 ln L( ) 等价，即求L( )的最大值点等价于求 ln L( )的最大值 点. 函数ln L( ) 对未知参数 求导数，并令其为0，即
d ln L( ) 0.
d
(4) 求解上述方程，得到参数 的最大似然估计值 ˆ(x1, x2 , , xn ),
参数的区间估计和点估计
参数的区间估计和点估计在统计学中，参数是描述总体的量，如总体均值、总体方差等。
当我们研究总体时，除了掌握总体参数的点估计外，我们还需要对总体参数进行区间估计。
本文就对参数的区间估计和点估计进行详细的介绍。
一、参数点估计参数点估计是指用样本数据推断出总体参数的一个近似值。
比如，从总体中抽取一些样本，计算出它们的平均值，把这个平均值作为总体均值的近似值。
常用的参数点估计方法有：1.极大似然估计极大似然估计法是指假设参数值已知，用样本数据来确定这个参数估计值，即找到一个参数估计值，使得这个参数值下，样本的似然函数取得最大值。
例如，抛硬币实验中，随机变量X表示正面出现的次数。
当硬币的正面概率p未知时，用样本求出p的极大似然估计，即：P（X=k|p） = Cnkp^k(1-p)^(n-k)为了找到样本数据下的极大似然估计值，将似然函数求导，令导数等于0，求得估计值。
在实际中，极大似然估计可以被广泛应用于估计均值、方差、参数等。
2.矩估计矩估计是利用样本的矩来推断总体参数的方法。
常见的矩估计方法有：（1）样本均值估计总体均值。
用矩估计法时，对于同一参数，不同样本可能得到不同的结果，但随着样本数的增加，结果会更加接近。
1.基于正态分布的参数区间估计如果总体服从正态分布，且总体方差未知，我们通常采用t分布来进行参数区间估计。
我们假设一个区间，称之为置信区间，该区间可以以某个概率（置信度）包含总体参数，置信度通常取0.9或0.95或0.99等常用值。
置信区间估计是指在某个置信度下，估计出总体参数的一个区间，称这个区间为置信区间。
置信区间可以通过以下步骤计算。
（1）计算样本平均数和标准差，以此估计总体均值和总体标准差，分别记为X和S。
（2）确定置信度和自由度n-1，从t分布表中查找t分布值tα/2。
（3）计算置信区间：X - ts/√n ≤ $\mu$ ≤ X + ts/√n，其中t为样本t统计量，s为标准差，n为样本量，α/2为置信水平。
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第七章参数估计内容介绍本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等.内容讲解引言：本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数：①分布中含有的未知参数θ；②θ的函数；③分布的各种特证数。
§ 7.1点估计1.点估计定义：设x1,x2,…x n是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x1,x2,…x n的统计量的取值作为θ的估计值，称为θ的点估计.2.点估计的两种常用方法（1）替换原理和矩法估计① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。
例如：用样本均值估计总体均值E（X），即；用样本二阶中心矩估计总体方差，即；用事件A的频率估计事件A的概率等.例题1. P146【例7－1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.728.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9【答疑编号12070101】（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk）是未知参数或参数向量，x1,…,x n是样本，假定总体的k阶原点矩μk存在，则对所有的j（0<j<k），μj都存在。
（3）若假设θ1，…，θk能够表示成μ1，…，μk的函数θj=θj（μ1，…，μk），则可给出诸θj的矩法估计。
例题2. P146【例7－2】设总体为指数分布，其密度函数为【答疑编号12070102】这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
例题3. P147【例7－3】设x1,…,x n是来自服从区间（0，θ）上的均匀分布U（0，θ）的样本，θ>0为未知参数。
求θ的矩估计。
【答疑编号12070103】矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。
第三，未知参数的函数的估计。
小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。
在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。
（4）极大似然估计设总体的概率函数为p（x,θ），，其中θ是一个未知参数或未知参数向量，是参数θ的取值范围，x1,x2,…x n是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为，则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得，则称为θ的极大似然估计.例题4. P147【例7－4】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。
现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？【答疑编号12070104】解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。
如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。
现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。
这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。
例题5. P147【例7－5】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。
【答疑编号12070105】总结计算方法：① 构造似然函数；② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值.例题6. P148【例7－6】设一个试验有三种可能结束，其发生的概率分别为p1=θ2，p2=2θ（1-θ），p3=（1-θ）θ2。
现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3（n1+n2+n3=n），求似然函数。
【答疑编号12070106】例题7. P149【例7－7】对正态总体N（μ，σ2），θ=（μ，σ2）是二维参数，设有样本x1,…x n,求似然函数。
【答疑编号12070107】例题8. P149【例7－8】（1）设总体X服从泊松分布p（λ），求λ的极大似然估计；【答疑编号12070108】（2）设总体X服从指数分布E（λ），求λ的极大似然估计。
【答疑编号12070109】例题9. P150【例7－9】设x1,x2,…x n是总体的样本，已知总体的密度函数为试分别求出θ的矩估计和极大似然估计.【答疑编号12070110】例题10. P150【例7－10】设x1，…，x n是来自均匀总体U（0，θ）的样本，试求θ的极大似然估计。
类似地，当总体X～U（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为【答疑编号12070111】极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数g（θ）, 它的极大似然估计为，这就是极大似然估计的不变性。
例题11 P151【例7－11】设x1,x2,…x n是来正态总体N（μ，σ2）的样本，求标准差σ和概率P{X≤3}的最大似然估计。
【答疑编号12070112】§ 7. 2点估计的评价标准1.相合性（1）定义：设为未知参数，是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何ε>0，有，则称为参数θ的相合估计.解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n→∞的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。
例题1. P152【例7－12】设x1,x2,…是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，则由大数定律及相合性定义知：是μ的相合估计；是σ2的相合估计；也是σ2的相合估计。
证明：是μ的相合估计。
【答疑编号12070201】（2）相合性判定定理：设是θ的一个估计量，若，，则称为参数θ的相合估计.例题2. P152【例7－13】设x1, …，x n是来自均匀总体u（0,θ）的样本，证明θ的极大似然估计是相合估计。
【答疑编号12070202】为了使用定理判断，我们下面求它的数学期望和方差。
2.无偏性对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。
（1）定义：设是θ的一个估计，θ的参数空间为，若对任意，有，则称为θ的无偏估计；否则称为有偏估计.解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.例题3. P153【例7－14】对任一总体而方，样本均值是总体均值的无偏估计。
当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩a k是总体k阶原点矩μk的无偏估计。
但对k阶中心矩则不一样，例如，二阶样本中心矩就不是部体方差σ2的无偏估计。
证明：，【答疑编号12070203】（2）几个有用的结论①是的无偏估计；②，即是σ2的渐进无偏估计；③s2是σ2的无偏估计；④ 若为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外，不是gθ的无偏估计.所以，无偏性没有不变性。
3.有效性（1）定义：设，是θ的两个无偏估计，如果对任意的有，且至少有一个使上式的不等号严格成立，则称比有效.（2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。
例题15. P154【例7－15】设x1,…,x n是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为σ2，则，都是μ的无偏估计，【答疑编号12070204】而，所以比有效。
§ 7. 3 参数的区间估计点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。
为此，引入区间估计。
1.置信区间的概念（1）引例【例7－17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（μ，σ2），其中未知，σ2已知（σ＝45公斤·米），试对总体均值μ作区间估计.分析：首先，通过抽样来估计μ，所以，从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，x n，可得样本均值，已知是μ的无偏估计，且～，可以在的基础上对μ作区间估计.【答疑编号12070301】其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计，要求估计函数应该：① 含有待估计参数μ，② 无论μ为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值.再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1－α（0<α<1），称为置信度，依此概率进行估计.解：从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，x n，可得样本均值～，从而得到合适的估计函数为～；因为是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1－α（0<α<1），所以，查表求满足或的，即标准正态分布的上分位点.将不等式转化为，即为，因此有.所得区间即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1－α变化而变换，所以称之为置信区间.小结：步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上分位点；③ 根据样本及相应的置信区间公式，求出置信区间.（2）置信区间的定义：设θ为总体的未知参数，，是由样本x1，x2，…，x n给出的两个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有，则随机区间[]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间，称为置信下限，称为置信上限.（3）解释：参数θ落入区间[]的概率为1－α.（4）置信度与精度的关系① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高；② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低.2.单正态总体参数的置信区间设总体X～N（μ，σ2），x1，x2，…，x n为其样本.（1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计由引例得此置信区间为.【例7－18】某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。
从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）：14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1.若总体方差σ2=0.06，求总体均值μ的置信区间（σ=0.05，σ=0.01）【答疑编号12070302】【例7－19】用天平称量某物体的质量9次，得平均值为，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g。