垂直于弦的直线平分弦并且平分弦所对的弧
圆的基本性质
圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
人教版初中九年级上册数学课件 《垂直于弦的直径》圆(第2课时)
O
B
DC
E
同学们，再见！
① ②
③ ④√ ⑤
① ③
②
④√这不里是的直弦径 ⑤
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
拓展探究
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦,
① ②
③ ④√ ⑤
① ③
②
④√这不里是的直弦径 ⑤
④ ⑤平 平分 分弦弦所所对对的的优劣①⑤弧弧 ,.
② ③？
④
拓展探究
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧．
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么 它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对 的两条弧.
C
C
C A
A
B
E
O
A
OB
O
C EO D
AE
B
D
D
B D
探究新知
C C
A
O
BA
O
B
D
D C
O
AE
B
D
C A
A
B
E
O
C EO D
B D
探究新知
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径 的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分 这条弦所对的两条弧.
且弦EF分别交AB、AC于点M、N.
求证:△AMN是等腰三角形. A
EM N
D
F
G
O
B
C
新知应用
证明：∵OE、OF分别平分弦AB、
AC，
∴OE⊥AB，OF⊥AC．
∴∵∠OEE=DOMF=，∠FGN=90°． A
∴∠E=∠F．
EM N
∴∠EMD=∠FNG． D
垂径定理黄屯版
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论——圆的两条平行弦所夹的弧相等.
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过 圆心的直线,它有无数条对称轴.
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
A
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一
例2、如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O 到弦AB的距离。
变式1、如图，弦AB为6cm，圆心O到弦AB的距离为4， 求⊙O的半径。
O
∟
A
E
B
变式2、延长OE交圆与F，若EF=1，弦AB为6cm，求⊙O 的半径。
问题解决2
问题解决1、赵州桥建于
1400年前的隋朝，是我国石拱 桥中的代表性桥梁,桥的下部呈 圆弧形,桥的跨度(弧所对的弦 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，求桥所在圆 的半径。（结果精确到0.1m）
1、在直径是20cm的⊙O中， ∠AOB的度数是60°，那么弦 AB的弦心距是 5 3 c m .
2、在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离 是= 24mm ，∠OAB的余弦值= 0.6 。
3、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的
圆的半径为 1 3 c m
.
4
4、已知P为O内一点，且OP=2cm，如果O的半径是4cm，那么
A
F
D
E C
O
B
例2、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米 的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
垂径定理2
B
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A E
O
D B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
C
C
O
D A B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， C D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 ⌒ ＝BD ⌒ ，AC ⌒＝BC ⌒ 求证：CD是直径， AD
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C
⌒ ＝⌒ ⌒ ＝BC ⌒ 求证：CD⊥AB，AD BD，AC
错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆 弧上任意取两条 a 弦，画这两条弦 的垂直平分线， A 交点即为圆弧的 圆心． C
3.3垂径定理
B．4≤OM≤5
D．4<OM<5
A
M
O ．
B
直径 垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的弧.
题设 结论1 结论2
•探索任务1:将此命题改成如果……那么……的形式. C •探索任务2: 将此命题改成几何语言的形式. 在CD为圆直径的大前提条件下
题设 ①直径垂直于弦 ∵ ①直径CD⊥AB 结论 ②直径平分弦 ②直径CD平分弦AB A
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
归纳： 1．作弦心距和半径是 圆中常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦 心距(d)组成的直角三角 形是研究与圆有关问题 的主要思路，它们之间 的关系：
A
O d
．
C
r
B
弦长AB 2 r d .
2 2
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
• 连接圆上任意两点间的线段叫做 弦
• 经过圆心的弦叫做 直径 .
.
• 圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 , 简称 弧 .
• 直径将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 . • 小于半圆的弧叫做 劣弧 . • 大于半圆的弧叫做 优弧 .
不在同一直线上的三 个点确定一个圆。
点与圆的位置关系
如图，设⊙O的半径为r， 点到圆心的距离为d。
C ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A D
AB 结论 CD平分弧A B CD平分弧ADB
CD⊥AB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
你还认识我吗?
B O
A
M└
C
D
C
●
A
M└
●
B
3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.
圆的定义有两个
【圆的定义有两个】其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
【有关圆的基本性质与定理】⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · M
B
推论：
D
由
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ ⌒ AD=BD.
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
1. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D, 已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则 两个同心圆的半径之比为( B ) A.3:2 B. 5 : 2 C. 5 :2 D.5:4
2.已知:AB是⊙O的直径,OA=10,弦 CD=16,则A,B两点到CD的距离之和 等于( B ) A.24 B.12 C.16 D.6
O
这条弧所对的弦)
AB=2AD=32cm
已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦 AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.
B
O
5
A
3 E 4 2
C
D2
5
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接 ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于 D,AD+AB=10,求AD的长。
（2）若D是BC的中点，AD⊥BC,BC=24,
A
E
B D
C
作业:
C
M D O
1.已知:AB,CD是⊙O的两条平行 弦,MN是AB的垂直平分线. 求证:MN垂直平分CD 2.在直径为130mm的圆铁片 上切去一块高为32mm的弓形 铁片.求弓形的弦AB的长.
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧
AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O， 解：
半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB
于点D.
⌒ ∵C是AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高. A
C
D O
B
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
如果圆的两条弦互相平行那么这两条弦所夹的弧相等解决有关弦的问题经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题经常是过圆心作弦的垂线或作垂直于弦的直径连结半径等辅助线线或作垂直于弦的直径连结半径等辅助线为应用垂径定理创造条件
辨一辨
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过 圆心.
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.×
拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部
为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货
船能顺利通过这座拱桥吗？
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
C B O O D A O E D (6)
A
C (4)
B
C
A
B
(5)
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求 桥拱的半径(精确到0.01m).
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
练一练
垂径定理及其推论
圆部份知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可归纳为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，若是两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都别离相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆一、不在同一直线上的三个点确信一个圆。
二、通过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做那个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
若是⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
3.3垂径定理
3.3 垂径定理
课前引入
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测 量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的 两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚 好是60cm，你也能算出这个大石球的半径吗？
做一做
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂 足为M.
A⌒C =⌒BC, A⌒D=⌒BD.
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的证明
已知：如图, AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条
求证：直AM径=,B并M且，CDA⌒C⊥=AB⌒BC,垂，A足⌒D为=B⌒MD..
C
A M└
B
●O
D
AE=EB吗？
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
D O
已知，在⊙O内，AB=CD，M，N分别是AB，CD 的中点，AB不行于CD。求证∠ＡＭＮ＝ ∠CＮＭ
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E， 连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。 （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AE=8，求CD的长。
若它的形状是以O为圆的圆的一部分，路面AB=10
米，净高CD =7米，求此圆的半径
C
37
7
O
A
D
B
3.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
第20讲 垂径定理(原卷版)
浙教版2022年九年级数学上册考点巩固训练20 垂径定理例1．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的弦平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心例2．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．符号语言：∵①CD 是直径，②CD ⊥AB∴③AE ＝_____，④AC ＝________，⑤AD ＝________．例3．如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．AD BD =C ．OE DE =D ．AC BC =例4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，40m AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且10m CD =，则这段弯路所在圆的半径为________m ．例5．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点M ，2AM =，8BM =，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．16例6．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无法确定例7．O 的半径为10cm ，弦//AB CD ．若12cm,16cm AB CD ==，则AB 和CD 的距离为（ ） A ．2cm B ．14cm C ．2cm 或14cm D ．2cm 或10cm例8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（ ）A ．第一块B ．第二块C ．第三块D ．第四块例9．如图，圆内一条弦CD 与直径AB 相交成30°角，且分直径成1cm 和5cm 两部分，则这条弦的弦心距是_____．例10．如图，O 的半径7.5OA =，弦DE AB ⊥于点C ，若:3:2OC BC =，则DE 的长为（ ）A ．7.5B ．9C ．10D ．12例11．如图，半径为5的P 与y 轴交于点()()0,40,10M N --，，点P 的坐标为______．例12．如图，M 交x 轴与,B C 两点，交y 轴于点A ，弦CE AB ⊥于点,H M 的纵坐标为2，()33,0B ，()3,0C -．则圆心M 的坐标为____．例13．⊙O 的半径为5，M 是圆外一点，MO ＝6，∠OMA ＝30°，则弦AB 的长为（ ）A ．4B ．6C ．63D ．8例14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝60，AD ＝45，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，PQ ＝52，以PQ 为直径的⊙O 与BD 交于点M ，N ，则MN 的最大值为（ ）A ．48B ．45C ．42D ．40例15．如图，在平面直角坐标系中，已知()()10,0,8,0A B ，点,C D 是以OA 为直径的半圆上两点，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标是（ ）A ．()23，B ．()2,4C ．()1,2D ．()1,3例16．如图，在⊙O 中，∠AOB +∠COD =180°，弦CD =6，OE ⊥AB 于点E ．则OE的长为（ ）A ．3B ．23C ．33D ．6一、单选题1．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm2．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48cm AB =，水的最大深度为16cm ，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52 3．下列命题中假命题是（ ） A ．平分弦的半径垂直于弦 B ．垂直平分弦的直线必经过圆心 C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 4．已知⊙O 的直径AB =10，弦CD ⊥AB 于点M ，若OM ：OA =3：5，则弦AC 的长度（ ）． A ．25B ．45C ．3 D ．555．如图，O 的半径为5，弦8AB =，点M 是弦AB 上的动点，则（ ）A ．45OM ≤≤B ．35OM ≤<C ．35OM <≤D ．35OM ≤≤6．如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =8，则OP 的长为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．427．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是（﹣8，﹣4），则点N 的坐标为（ ）A ．（－2，﹣4）B ．（﹣1，﹣4）C ．（﹣3，﹣4）D ．（－1.5，﹣4） 8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是⊙O 上的动点（不与C 重合），点F 为CE 的中点，若AD =2，CD =4，则DF 的最大值为（ ）A ．2B ．25C ．5D ．109．如图，AB 为⊙O 的弦，点C 在AB 上，AC ＝4，BC ＝2，CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的长为（ ）A．2B．3 C．22D．3210．如图，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D.使BD AB=，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于（）A．2 B．1 C．23D．43二、填空题11．平分弦（不是直径）的直径____于弦，并且_____弦所对的两条弧．符号语言：∵①CD是直径②AE＝BE且AB不是直径∴③CD⊥_______，④AC＝_______，⑤AD＝_______12．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝___．13．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．14．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF 为4米，且弧DC 所在圆的半径为10米，则路面AB 的宽度为_____米．15．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道1AB =尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．16．如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取3AD cm =，10DB cm =，以DB 为直径作O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是__________cm ．17．如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为 _____．18．如图，半圆O 的半径为2，E 是半圆上的一点，将E 点对折到直径AB 上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点时，则折痕CD 的长度取值范围是_________________．三、解答题 19．如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上，你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？⊥，垂足为M．20．已知：如图，AB是O的一条弦，CD是O的一条直径，并且CD AB求证：,,===．AM BM AC BC AD BDa=，弧的中点到弧21．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离0.72mh=，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多所对弦的距离0.25m少？（结果精确到0.001m）22．如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON．如果>和ON的大小有什么关系？为什么？,AB CD OM23．如图，在半径为50mm的O中，弦AB长50mm．求：（1）AOB ∠的度数； （2）点O 到AB 的距离．24．在直径为10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB 为6cm ，当油面宽AB 为8cm 时，油上升了多少厘米？王源的解题步骤如下：[解]连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ．OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC △中，22105cm,3cm,4cm 2OA AC OC OA AC ===∴=-=．当8cm AB =时，在Rt OAC 中，22105cm,4cm,3cm 2OA AC OC OA AC ===∴=-=．431(cm)∴-=．即油上升了1cm ．请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤． 25．如图，AB 是O 的直径，E 为O 上一点，EF AB ⊥于点F ，连接OE ，//AC OE ，OD AC ⊥于点D ．若2,4BF EF ==，求线段AC 长．26．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点M 在O 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若16CD =，4BE =，求O 的直径； （2）若M D ∠=∠，求D ∠的度数．27．如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上的一点，以O 为圆心，13为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于点A ，B 和点C ，D ，连结OA ，此时有OA ∥PE ． （1）求证:AP = AO ；（2）若弦AB = 24，求OP 的长．28．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．（1）点O到弦AB的距离为；．（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP 折叠，得到A点的对称点为A′；①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．。
北师大版3.3垂径定理
c
C
A
O A D E B
D O
B
O A E B
是
不是
是
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
AB是⊙O的一条弦,且 AM=BM.
C
你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
②CD⊥AB,
可推得
A
┗
●
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
解：如图，用 AB表示桥拱，AB所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB的中点，CD就是拱高. 由题设 AB 37.4, C D 7.2,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
D
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且 CD⊥AB， C ︵ ︵ ︵ ︵ 垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AD= BD A B 证明：连接OA,OB,则 M└
∴ ∠AOD=∠BOD
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧。
∵CD是直径， CD⊥AB ,AB是弦 ⌒＝BD ⌒，AC ⌒＝BC ⌒ ∴AM=BM，AD
圆中的9个定理
1.圆弧、圆心角、弦、弦心距关系定理。
（四者有一个量相等，其余三个量也相等）
2.垂径定理
（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
3.垂径定理逆定理
（平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧）
4.圆周角定理
（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
5.圆周角推论1
（同弧所对的圆周角相等）
6.圆周角推论2
（直径对的圆周角是90度，90度的圆周角对的弦是直径）
7.切线性质定理
（切线垂直于过切点的半径）
8.切线判定定理
（过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线）
9.切线长定理
（从圆外一点向圆可以引两条切线，切线长
相等；这个点和圆心的连线平分两条切线的夹角）。
九年级数学《垂直于弦的直径》导学案
第二节 24.1.2 垂直于弦的直径【知识脉络】【学习目标】了解圆的轴对称性，会运用垂径定理的知识解决有关问题。
【要点检索】构成垂径定理的要素。
【方法导航】1、“有弦可作弦心距（垂径）”这是一条规律性辅助线，可使很多问题简单化。
如弦AB交同心圆于CD ，求证：AC=BD 。
2、“弦心距、弦的一半、半径”三个量合在一起可构成一个直角三角形，结合勾股定理可作求弓形高、弦长、半径等方面的计算。
【情境导入】 任意两个条件做题设，都可能得到其它三个条件的结论· Ａ ＢＣ Ｄ1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出主桥拱的半径吗？【问题探究】1、实验发现：用纸剪一个圆（课前布置学生做好），沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（1）①圆是轴对称图形吗？②如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？③你是用什么方法解决上述问题的?（２）①圆是中心对称图形吗？②如果是,它的对称中心是什么?③你又是用什么方法解决这个问题的?2、如图1,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥ AB,垂足为E.如图1(1)这个图形是轴对称图形吗?若是,那么它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.。
二、验证1、已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：2.推论的探究如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O③AM=BM，(AB不是直径)注意：。
【合作交流】例１．如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC = BD例2 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【练习反馈】1.下列图形是否具备垂径定理的条件？2.判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心. ( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）3.如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径,则____, _______, _______.图一4. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )A. 3B. 6C. 9D. 105. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于点C,则下列结论错误的是( )A. ∠AOC=∠ BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN图二6．圆的半径为3,则弦长x的取值范围是_____.7.若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______8．如图1，在⊙O中, AB是弦, OC = OD。
第3节垂径定理
B A (3 D ) O D A (4)
B
(1 B )
(2 D )
C
试一试
自我检测填一填
直径
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧. （）
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⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另 一条弧. （√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） ⑷弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ） 不是直径的弦
1、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直 线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角 形。
O
E
C
A
B
D
5、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m， 拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C A D O B
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理和推 论,并且运用推论等分弧。 ●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
O
C E
.
┐
D
B
例题3
例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
M C A
.O
N
⌒ ⌒
D B
求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。
⌒
⌒
∵ AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦 所对的弦） AM－CM＝BM－DM
⌒＝BD ⌒ ∴AC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
C
A D
第三章圆
第3节垂径定理
检测1：（3分钟） 1.如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
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A
C (4)
B
C
A
B
(造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求 桥拱的半径(精确到0.01m).
AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O， 解：
半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB
辨一辨
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过 圆心.
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.×
√
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.
×
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
× √
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
C B O O D A O E D (6)
拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部
为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货
船能顺利通过这座拱桥吗？
于点D.
⌒ ∵C是AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高. A
C
D O
B
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
练一练
垂足为E,交弦CD于点F.
1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,
图中相等的线段有 :
图中相等的劣弧有:
M
B E O F C N D
.
.
A
求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹
的弧相等
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: （1）两条弦在圆心的同侧 （2）两条弦在圆心的异侧
F
A C E
●
O D
B
A C
●
O
D
B
E
垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
M
A
. O
B
A
C
O E
.
C A D
.O
N
D B
B
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂 为应用垂径定理创造条件。
线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，
课本P80-81
作业题和课内练习
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,