高中数学-基本数学方法

基本数学方法

导言：众里寻她千百废，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

考察数学思想方法是《数学科考试说明》中的一项基本要求，这是数学学科的特点所决定的。数学思想方法与课本中的数学知识相比，具有普遍性、概括性和深刻性。一方面，数学思想方法不能脱离具体的数学对象而独立的发挥作用，另一方面，在运用数学知识的过程中，又不可避免地涉及到数学思想方法。对数学思想方法的系统认识，能使我们从总体上深刻理解、全面把握数学知识。 数学思想与数学方法是不同的两个范畴．“方法”比较接近于操作，与经验的联系很密切；而“思想”则具有指导性，并且与一般方法论相衔接．数学方法在完成数学过程中的那些典型形式，包括一般地应如何处理数学对象、通过什么途径、如何进行变化来达到解决数学问题的目的．

本章的目的显然是为了系统地理解和掌握数学方法，从而使我们能有意识地 选择适当的方法解题．

高考中考查的数学方法主要有定义法、代入法、比较法(指比较大小)、配方法、数学归纳法、待定系数法、换元法、反证法、参数法等．

1．定义法

所谓定义法，就是直接利用数学定义解题的一种方法．

从本质上说，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．因此用定义法解题，是最直接的方法．

那么，什么叫定义呢？

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映的事物的本质 属性来明确概念的逻辑方法．

定义，是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物 的本质特点．简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象．

让我们回到定义中去！

例1．已知f (x )=－x n ＋cx ，f (2)=－14, f (4)=－252, 求y =)(log 2

2x f 的定义域

并判定它在[

2

2，1)上的单调性． 解析：要判断函数的单调性，必须首先确定 n 与c 的值

解：⎩⎨⎧-=+--=+-252

441422c c n n ⇒ ⎩⎨⎧==14c n ， ∴ f (x )=－x 4+x , 由f (x )=－x 4＋x ＞0，得其解集为(0，1).

任取x 1、x 2∈[

2

2, 1)，并设x 1

而x 2－x 1＞0，又(x 2＋x 1) (x 22+x 12)＞1．

∴ f (x 1)－f (x 2)＞0, 故f (x )在［22，1)上单调递减，y =)(log 22x f 在定义域 上单调递增．

解题关键：关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直 接应用定义．这就要求我们对这些定义必须有深刻的本质认识，对定义中给出的 每一个“词”要透彻理解．

例2．若a n =lg 12

3+n n

, b n =a 3n , 试写出{b n }的前三顶．并证明数列{b n }是等差数列。

解：b 1=a 3=lg 4323, b 2=a 6=lg 7623, b 3=a 9=lg 109

2

3, ∵ a n +1－a n =lg 21

2

3++n n －lg 123+n n =lg 23, ∴ 数列{a n }是首项a 1=lg 43, 公差d =lg 2

3的等差数列，a 3n =a 1+(3n －1)d , a 3n －a 3(n －1)=[ a 1+(3n －1)d ]－[a 1+(3n －4)d ]=3d =3lg 2

3 (常数) ∴ {b n }是等差数列，

解题关键：证明一个数列是等差(或等比)数列，必须根据定义：a n +1－a n =d , d

为常数 (或n

n a a 1+=q , q 为常数且q ≠0)，而巧用等差(或等比)数列的定义，更是简化计算的有力手段。

2．代入法

例1．若0

21，a ，2ab ，a 2+b 2中，最大的是( ). A ．2

1 B ．a C ．

2 ab D ．a 2+b 2 提示：作为只有一个选择支正确的选择题，可用特殊值代人的方法加以判

断．取a =3

2，b =31．易见选(B )． 解题关键：代入法的另一类应用，是用于排除不合理的推测、选项等． 例2．已知a 、b 、c ∈C ，a ＋b ＋c =0，a 2+b 2+c 2=0．求证：|a |=|b |=|c |.

证： a =－(b ＋c )，代人另式得[－(b ＋c )]2＋b 2＋c 2=0⇒b 2+c 2+bc =0，

由之，解出b =(－

2

1±23i )c , 取其模可得|b |=|c |，同理|a |=|b |，因此|a |=|b |=|c |. 解题关键：代人法是经常用到的数学方法，从上例可看出，代人能充分应 用等式的条件，并起消元作用，从而使问题变得更加明确，易于发现解题途径。 3．比较法

我们平时所说的比较法，只是单纯地作差(与0比)或作商(和1比)，而作差 更具有普遍性．作商时必须注意所比的两个数(或式)的符号．

事实上，要比较两个数的大小，许多时候仅用作差比商的方法是绝对不能解 决问题的，在作差或比商的基础上，还必须应用不等式证明时的一切方法．我们为了把问题阐述得更清楚、透彻，也为了所讲的内容更具有实用的意义和价值，不妨将“比较法”理解成“比较两数(或式)的大小的方法”更科学和实际．那么这样一来，与“比较法”的真实含义就出入颇大了．

例1．已知f (x )=a x －1．(a >1)，试比较3f －1(x )与f －1(3x )的大小．

解：f －1(x )=log a (x ＋1) (a ＞1，x >－1)．

3f －1(x )=3fog a (x ＋1)=log a (x ＋1)3．f －1(3x )=log a (3x ＋1)，(x ＞－3

1)． 要比较 3f －1(x )与f －1(3x )的大小，由于 a >1，y =log a x 单调递增, 因此只须比较(x ＋1)3与3x ＋1的大小．

∵ (x ＋1)3－(3x ＋1=x 2(x ＋3)＞0 (x ＞－3

1) ∴ 3f －1(x )＞f －1(3x )，当且仅当x =0时取“=”．

解题关键：在x 的许可值范围内比较大小，实际上是对欲比的代数式作了 适当的限制与约束．就本题而言，正确地确定自变量x 的取值范围，是不能缺少的重要步骤．当然，错把x 的范围当成(－1，＋∞)，虽然其结果不变，但推理过程至少是不严谨的．

比较法是不等式证明的基本步骤和方法之一．它遵循“作差(或比商)——变 形——判断”的解题规律．作差之后的配方或因式分解，有时确实是判断“差”的符号的关键。

例2．设数列{a n }为等比数列，公比q ＞0且q ≠1，若A =a 1＋a 2＋……＋a n , B =n

a a a 11121+++ ，C =n a a a 21，试比较 2B n C 2与 A n 之大小． 略解： A =a 1＋a 2＋……＋a n =q

q a n --11()

1， B =n a a a 11121+++ =)1(111---q q a q n n ，C =n a a a 21=2)1(1-n n n q a ,

∴ 2B n C 2－A n ＝n n n

q q a )11(1

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