排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合详解

在笔试题中看到的一个选择题

用1*3的瓷砖密铺3*20的地板有几种方式？

排列组合问题

排列和组合问题，其实是两种问题，区分它们的原则是是否需要考虑顺序的不同。排列问题，考虑顺序；组合问题，不考虑顺序。以下4个问题，哪个是排列，哪个是组合？

Q1: 一套书共有1-6 册，从书架上把它们全部取下。有多少种取法？

Q2: 有5个红球，3个黄球，2个黑球，从中选择2个球。有多少种不同的选择？

Q3: 10个候选人，选3个作为领队，有多少种选择方案？

Q4: 有一把3位数字密码锁，最多需要试多少次才能打开？

以上4个问题，1和4属于排列问题，2和3是组合问题。取书问题中，{1, 2, 3, 4, 5, 6}和{1, 6, 5, 4, 3, 2}，两种方法顺序不同，属于不同的取法，即要考虑顺序不同的排列问题。选球问题中，第1次选黄第2次选黑，和第1次选黑第2次选黄，是相同的选择，即不同考虑顺序不同的组合问题。

此外，考虑是否重复又可分为排列可重复问题、排列不可重复问题、组合可重复问题、组合不可重复问题。例如Q4，{1, 2, 1}是一种密码，数字是可重复的。Q1，取书问题，就无法同一册书取两次，是不可重复的。

排列可重复

那么，何为“可重复”呢？暂且不考虑排列组合，先解释可重复。举个例子，冰淇淋有3种口味可以选择，我可以选择3种相同口味，也可以选择不同口味，每次选择即可相同也可不相同。再举个例子抛硬币3次，很显然，可能会出现3次都是正面，硬币出现正反面是可重复的。典型的问题如，开锁问题，彩票问题，都是排列可重复问题。

排列可重复问题公式如下，每次n" role="presentation">nnn种选择，选择r" role="presentation">rrr次的排列共有：nr" role="presentation">nrnr

n^r这很好理解，一次有n" role="presentation">nnn种选择，第二次有n#x2217;n" role="presentation">n?nn?nn*n种选择，……，第r" role="presentation">rrr次有nr" role="presentation">nrnrn^r种选择。

排列不可重复

不可重复也很好理解了。例如，打桌球问题，一共15个球，打进所有球有多少种打法。这种情况下，不可能一个球重复打进，第一次击球有15种可能，第二次只有14种，……，最后一次就只有一个球了，只有一种可能。

这个打桌球问题，可以这样理解。首先，共有15个球，全部打完，共有多少种排列？显然，15#x2217;14#x2217;.#x2217;2#x2217;1=15!" role="presentation">15?14?.?2?1=15!15?14?.?2?1=15!15*14*.*2*1=1 5! 。然后考虑，不全部打完呢？打3次有多少种排列，显然15#x2217;14#x2217;13"

role="presentation">15?14?1315?14?1315*14*13，为了公式的整齐可以写成15#x2217;14#x2217;13#x2217;12#x2217;11.12#x2217;11#x2217;10#x22 17;9#x2217;.=15!12!=15!(15#x2212;3)!"

role="presentation">15?14?13?12?11.12?11?10?9?.=15!12!=15!(15?3 )!15?14?13?12?11.12?11?10?9?.=15!12!=15!(15?3)!

frac{15*14*13*12*11.}{12*11*10*9*.}=frac{15!}{12!}=frac{15!} {(15-3)!}排列不可重复问题更一般的公式如下，n" role="presentation">nnn个球，打r" role="presentation">rrr次的排列共有：

n!(n#x2212;r)!" role="presentation">n!(n?r)!n!(n?r)!

frac{n!}{(n-r)!}

组合不可重复

组合可重复问题放在最后，先看组合不可重复。先看例子，共有红黄蓝绿黑5种颜色的球，随机取3次有几种颜色组合。{红、绿、黄}和{黄、绿、红}虽然顺序不同，但是相同的组合，即只算一种情况。同时，不可能出现{红、红、黄}，即这是一个不可重复问题。

首先，显然红黄绿是1种组合，我们来看红黄绿有多少种排列。

红，黄，绿

红、黄、绿

红，绿，黄

黄，绿，红

黄，红，绿

绿，红，黄

绿，黄，红

即3#x2217;2#x2217;1=3!" role="presentation">3?2?1=3!3?2?1=3!3*2*1=3!种排列，是同1种组合。所以本问题中，首先根据排列不重复问题，我们求出所有的排列5!(5#x2212;3)!"

role="presentation">5!(5?3)!5!(5?3)!frac{5!}{(5-3)!}，再除以3!" role="presentation">3!3!3!就是我们需要的组合数了。

组合不重复问题的公式为：n!(n#x2212;r)!#x2217;1r!" role="presentation">n!(n?r)!?1r!n!(n?r)!?1r!

frac{n!}{(n-r)!}*frac{1}{r!}

组合可重复

举个例子，有5种冰淇淋口味{咖啡，香草，草莓，香蕉，香芋}，选3次，口味可重复，共有多少种组合。口味分别用字母{C, V, S, B, T}代替，用走方格来简化，#x25EF;" role="presentation">?bigcirc表示选择当前字符，gt;" role="presentation">>表示移动到下一格。

选择{C, B, B}，可以记作#x25EF;gt;gt;gt;#x25EF;#x25EF;gt;" role="presentation">?bigcirc > > > bigcirc bigcirc > 选择{V, S, T}，可以记作gt;#x25EF;gt;#x25EF;gt;gt;#x25EF;" role="presentation">?> bigcirc > bigcirc > > bigcirc 选择{T, C, T}，由于顺序不重要，所以等于{C, T, T}可以记作