高中数学建模

高中数学建模教学实施策略探究

一 问题提出

六七十年代西方国家开始设置数学建模课程，着重讲授一些数学建模方法，旨在培养学生数学建模能力。八十年代初我国一些高等院校的数学专业引入了这门课程。九十年代初我国举办大学生数学建模竞赛，数学建模课程得到了很大的发展。二十一世纪初我国《普通高中数学课程标准（实验）》中要求数学建模以不同的形式渗透于必修和选修课程中。数学建模进入高中数学课程成为必然，作为一线教师必须改变观念，积极探索数学建模教学实施策略，为学生数学学习营造更为宽广的空间。

二 数学建模

2.1 数学模型

数学模型是一个数学结构，它依赖于现实世界的某一特定对象，通过必要的简化和假设等数学工具获得的。由此所见数学模型能解释特定现象的现实性态；能预测对象的未来状态；能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型有两个特点，一是它是一种纯关系结构，是经过数学抽象抛离了一切与关系无本质联系的属性后的系统。二是它是由数学概念和数学符号来描述的。

三 高中数学建模教学案例分析

高中数学建模要以多种方式渗透进各个模块的学习中，其研究的实际问题可涉及多个方面，如函数问题、三角函数问题、数列问题、不等式问题、解析几何问题、立体几何问题、概率问题。 3.1立体几何模型

物体的形状、大小与位置关系是几何研究的主要对象，它涉及到零件体积、事物包装、工程计算等实际问题。建构立体几何模型可以培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观能力。

案例一：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如右图所示,墩的上半部分是正四棱锥P - EFGH ，下部分是长方体ABCD - EFGH . 图1和图2分别是该标识墩的正(主)视图和俯

视图．

（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明: 直线BD 平面PEG ．

学生甲的解决方案：

学生乙的解决方案：

建模分析：这是一道立体几何的应用题，考查知识涉及三视图、体积公式

和线面关系。问题解决不仅 40cm 40cm

图2 40cm 60cm

20cm

图1

侧视 正视

C A E

B

D

H

P G F

需要学生理解长方体模型和正四棱锥模型，而且需要学生正确使用不同的体积公式。在证明线面垂直关系时，学生需要建构相交直线模型，然后利用判定定理解决问题。

教师点评：甲生解题思路清晰、书写规范、计算正确。求解体积时很好的将复杂的几何体分割成了熟悉的几何模型，这样便于利用已知公式计算。利用面面垂直推证线面垂直在学生求解中比较少见。该生在证明过程中同时使用∵、∴、 符号，有些混淆。

乙生三视图观察到位，左视图绘画正确。计算体积时做到了正确的分割，但读题时有所遗漏，将正四棱锥的条件看漏，重复证明正四棱锥。体积公式使用正确，但将棱锥的高60看成了棱锥的斜高，导致答案十分复杂。书写计算过程将单位代入、数字相乘使用点号，这些是不规范的写法。证明环节有些冗长，BD//HF实际上可以通过长方体的性质直接得到，无需证明平行四边形的存在。利用判定定理证明线面垂直思路清晰，书写规范。两位同学都没有完成“答”的环节，没有实现对现实模型的回归。

3.2排列组合、概率模型

概率是研究随机现象规律的数学科学，它为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。排列组合又是概率的基础知识，它的背景多是学生熟知的生活问题。高中阶段学生需要认识概率的基本模型——古典概型、几何概型、独立试验概型，尝试在实际问题中利用实验、计算机（器）抽象建立上述模型，理解模型的基本性质，加深对随机现象的了解。

案例二：德国世界杯足球赛共32个队参赛，比赛前抽签分成8个小组，每个小组4个队，各小组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛一场），然后由各小组积分多的两个队出现组成十六强，规定：在小组赛中，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分（积分相同是取净胜球或进球总数多的队。若再相同，根据其它规定，每小组总可排出前两名。）若甲、乙两队分别在小组赛中各积5分和2分，请判断甲、乙两队的出现情况，并说明理由。

以下是学生甲的解决方案：

解：设甲所在小组中4队分别为甲、A、B、C，乙所在小组中4队分别为乙、D、E、F 因为甲队5分，甲队要与A、B、C共进行3场单循环赛，所以甲必定一胜、两平。

对于甲

①假设已得1分的B分别胜了A、C，则B有1+3+3=7（分），但

A、C分别0、1分，则甲分数第二高，可以出线入十六强

②若A、B、C中任一队只能胜一场，则甲队5分最高，甲队仍可

出线入十六强

因为乙队2分，乙队要与D、E、F共进行3场单循环赛，所以乙必

定一负两平，对于乙

①若D皆胜E、F，则D有9分，E、F比赛平局，则乙=E=F=2

分，乙可能出线

②若E、F两队中任一队胜一次的话，最终积分超过4分，而D

无论如何积分都会比2大，所以其他情况下乙入不了小组前两

名，出不了线

学生乙的解决方案：

建模分析：本案例与排列组合相关，需要学生考虑参赛队伍在小组中的所有情况，建构甲队、B 对、C 队同积5分的“极端”模型，从而较为准确推导甲队出线情况。同理乙队也存在相对极端的状态：乙队、E 对、F 对均积2分，都有可能出线。

教师点评：甲生审题仔细，理解正确。对甲、乙两队分开讨论，并绘制了相应的图表，清晰地表达了解题思路。对甲队的讨论列出了两种情况：甲队第二和第一，但忽视了一种比较极端的状态，即甲队和其它两队均得5分的情况。因此对于甲队的出现情况结论错误。对于乙队学生想到了极端情况，即有3队积两分，因此乙队结论正确。学生乙在理解题意上出现重大失误，将甲、乙放在了一个小组中进行比较判断。而实际题意是甲、乙分别在不同的小组比赛。但就学生的理解而言，她的分类比较完整，思路清楚。

四 数学建模教学策略探究

4.1 初、高中数学建模对比

义务教育阶段和高中阶段的数学建模课程与学生的社会生活紧密相关，但侧重点不同 。初中阶段学生的数学学习主要依赖于他们生活中的直接经验，数学化的活动多是对简单数学模型的识别和演算。在现实教学中其表现形式主要是解决数学应用题。而高中的数学建模强调数学模型是可以超越数学问题达到非数学领域的原始问题，重心在于培养学生分析、解释数据信息、识别隐含信息的能力，建构和反复修订模型的技能。下表

初中数学应用题 高中数学建模 问题类型 数学问题和开放性问题 数学问题和非数学领域的原始问题 数学模型 已建立需识别 需选择和建构

数据处理 计算、验证、求解 假定条件、解释和识别数据、抽象理论 数学结果 解释与应用 检验和修改 问题结论

拓展与引申

学生阶段 初中（第三学段）

模型1 几何直观（观察法）：以直径AC 为斜边构造Rt △，寻求AB 边上的高最大 模型2

建构二次函数，寻求最值。设AB=x ，()R x x R x S

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体积最大。问题转化为了求圆内接四边形面积最大，也就是初中的圆内接矩形中正方形学生阶段 高中

模型1 几何直观（观察法）：以直径AC 为斜边构造Rt △，寻求AB 边上的高最大 模型2

建构二次函数，寻求最值：设AB=x ,()R x x R x S

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