高中数学《球的表面积和体积》导学案

7.3球的表面积和体积

[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3.会运用这些公式进行简单的有关计算.

【主干自填】

1．球的表面积公式：S球面＝□014πR2(R为球的半径)．

2．球的体积公式：V球＝□0243πR3(R为球的半径)．

【即时小测】

1．思考下列问题

(1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？

提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．

若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.

在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.

(2)球的半径为R，它的体积公式为________，它的表

面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？

提示：V＝4

3πR

3S＝4πR2这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径

R唯一确定．其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数，并且表面积为半径为R的圆面积的4倍．

2．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()

A ．2倍 B.2倍 C ．22倍 D ．32倍

提示：C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍． 3．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1

提示：A 设两球的半径为R 1，R 2，∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比

为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 2

2＝1∶9.

例1 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．

[解] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ，

连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离． 由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．

设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1在CM 上． 设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，

O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴

22＋x 2＝

62－22－x .

解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝92

4.

在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R

2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R . 由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋⎝

⎛⎭⎪⎫9242

＝R 2.解得R ＝362. 故S 球面＝4πR 2＝54π，V 球＝4

3πR 3＝276π.

类题通法

球的表面积和体积的解题方法

计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．

[变式训练1] 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为2π，则球的体积为( )

A.

323π B.8π

3

C ．82π

D ．43π 答案 D

解析 所得截面圆的半径为r ＝2，因此球的半径R ＝12＋(2)2＝3，球

的体积为4

3πR 3＝43π.

例2 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．

[解] 如下图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，

∴CD ＝1

2AC . ∵CD ＝1 cm ，

∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD

AC . 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r ) cm ，∴

r 3－r

＝1

2， ∴r ＝33 cm ，V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝43

27π(cm 3)，

即球的体积等于43

27π cm 3.

类题通法

截面在有关球计算中的作用

解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．

[变式训练2] 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．

解 作轴截面如图所示，

CC ′＝6，AC ＝2·6＝23， 设球的半径为R ，

则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(3)2＋(6)2＝9， ∴R ＝3，

∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝4

3πR 3＝36π.

例3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是48π cm 2，求球的表面积．

[解] 如图所示，设O ′为截面圆圆心，则OO ′⊥O ′A ，O ′A 为截面圆的半径，OA 为球的半径R .

∵48π＝π·AO ′2， ∴AO ′2＝48.

在Rt △OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋AO ′2， ∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

R 22＋48，解得R ＝8.

∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)．