空间向量PPT课件
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第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
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+ − ＝ − − ，
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1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
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6
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1
+ + ＝－ − + .因为＝
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1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
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问题式预习
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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问题式预习
1.2空间向量基本定理课件(可编辑图片版)
A．－1a－1b－c B.1a＋1b－c
22
22
C.1a－1b－c 22
D．－1a＋1b－c 22
解析：(1)
B→1M
＝
B→1B＋Biblioteka B→M＝－c＋1 2
B→D
＝－c＋
1 2
(b－a)＝－
1 2
a
＋12b－c.故选D.
答案：(1)D
(2)已知四面体ABCD中，A→B＝a－2c，C→D＝5a＋6b－8c，对角 线AC，BD的中点分别为E，F，则E→F＝________.
[方法技巧] (1)若→p ＝x→a ＋y→b ＋z→c ，则 x→a ＋y→b ＋z →c 叫做向量→a ，→b ， →c 的线性表达式或线性组合，或者说→p 可以由→a ，→b ，→c 线性表示．
[方法技巧] (2)对于基底{→a ，→b ，→c }，除了应知道→a ，→b ，→c 不共面外，还 应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 选用不 同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向 量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不 同概念．
[方法技巧] 利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向 向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.
探究 3 求空间角 例 4 已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心． (1)求异面直线 AA1 与 BC 的夹角； (2)求 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值． 分析：将向量A→B，A→C，A→A1作为一组基向量，再考虑用转化思 想求解.对于1，可转化为求向量A→A1与B→C的夹角；对于2，作出 AA1 在底面内的射影 AO，则所求角即为向量O→A1与A→B1的夹角的余 角.
空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
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A. a- b+ c
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C. a+ b- c
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B.- a+ b+ c
3 2
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2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
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解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
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+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
1.2空间向量基本定理 课件(共16张PPT)
谢 谢
.
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量， 那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）， 使得 p xi yj zk .我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量.
探究二:空间向量的正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直， 且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知， 对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk， 使 a xi yj zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解.
22
22
222
练一练
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点 M,A,B,C 共面的是( C )
A. OM 2OA OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 532
C. MA MB MC 0
D. OM OA OB OC 0
解析
要使空间中的四点 M,A,B,C 共面，只需满足 OM xOA yOB zOC ，且 x y z 1即可.
333
333
D 中， OM OA OB OC 0 ，则 OM OA OB OC ， x y z 111 3 ，
故此时 M,A,B,C 四点不共面.故选 C.
练一练
3. 已知空间 A、B、C、D 四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点
且 PA 5 PB xPC 1 PD ，则实数 x 的值为( A)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标：
1. 了解空间向量基本定理及其推论； 2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
第一章§1.2第1课时 空间向量基本定理课件(人教版)
1234
2.已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 a＝O→A＋O→B＋O→C，向
量 b＝O→A＋O→B－O→C，则与 a，b 不能构成空间基底的是
→ A.OA
√C.O→C
→ B.OB D.O→A或O→B
解析 ∵O→C＝12(a－b)， ∴O→C与 a，b 共面，
∴a，b，O→C不能构成空间基底.
个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一个基底
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d 与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ kλa＋μkb，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真 命题；
内容索引
一、空间向量基本定理 二、空间向量的正交分解 三、用基底表示空间向量
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有 向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝O→P ，p 能否用i，j，k表 示呢？
提示 如图，设O→Q为O→P在 i，j 所确定的平面上的 投影向量，则O→P＝O→Q＋Q→P. 又向量Q→P，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得Q→P＝zk，从而O→P＝O→Q＋zk. 在 i，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得O→Q＝xi＋yj.
可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
《空间向量基本定理》课件
万有引力定律与重力
万有引力是一个向量，通过向量的运 算可以研究天体之间的相互作用和地 球上的重力现象。
04
向量的运算律与性质
向量的运算律
01
02
03
交换律
$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$
结合律
$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$
《空间向量基本定 理》ppt课件
目 录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的基本定理 • 向量在空间几何中的应用 • 向量的运算律与性质 • 向量在解决实际问题中的应用
01
空间向量的基本概念
向量的表示与性质
向量的表示
向量可以用有向线段来表示，起 点为A，终点为B，记作 $overrightarrow{AB}$。
总结词：推论二
详细描述：推论二：如果三 个向量$mathbf{a}$、 $mathbf{b}$、 $mathbf{c}$共面，那么对 于任意向量$mathbf{p}$， 不存在有序实数组$x, y, z$ ，使得$mathbf{p} = xmathbf{a} + ymathbf{b} + zmathbf{c}$。
力的合成与分解
在物理中，力是一个向量，通过力的 合成与分解，可以分析物体的运动状 态和力的作用效果。
速度和加速度的研究
速度和加速度都是向量，通过向量的 运算可以深入理解速度和加速度的概 念，以及它们在运动学中的作用。
向量在物理中的应用
动量与冲量
动量和冲量都是向量，通过向量的运 算可以研究物体的动量变化和力的作 用效果。
万有引力是一个向量，通过向量的运 算可以研究天体之间的相互作用和地 球上的重力现象。
04
向量的运算律与性质
向量的运算律
01
02
03
交换律
$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$
结合律
$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$
《空间向量基本定 理》ppt课件
目 录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的基本定理 • 向量在空间几何中的应用 • 向量的运算律与性质 • 向量在解决实际问题中的应用
01
空间向量的基本概念
向量的表示与性质
向量的表示
向量可以用有向线段来表示，起 点为A，终点为B，记作 $overrightarrow{AB}$。
总结词：推论二
详细描述：推论二：如果三 个向量$mathbf{a}$、 $mathbf{b}$、 $mathbf{c}$共面，那么对 于任意向量$mathbf{p}$， 不存在有序实数组$x, y, z$ ，使得$mathbf{p} = xmathbf{a} + ymathbf{b} + zmathbf{c}$。
力的合成与分解
在物理中，力是一个向量，通过力的 合成与分解，可以分析物体的运动状 态和力的作用效果。
速度和加速度的研究
速度和加速度都是向量，通过向量的 运算可以深入理解速度和加速度的概 念，以及它们在运动学中的作用。
向量在物理中的应用
动量与冲量
动量和冲量都是向量，通过向量的运 算可以研究物体的动量变化和力的作 用效果。
空间向量基本定理课件(共23张PPT)
空间向量基本定理
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
空间向量课件
空间向量课件
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)
(x，y)，使A→P＝x_A→_B__＋__y_A→__C__，或
对空间任意一点 O 来说，有O→P＝
若在 l 上取A→B＝a，则上式可 O→A＋xA→B＋yA→C
化为O→P＝O→A＋tA→B
例 题 解 析 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表
达式,并标出化简结果的向量.(如图)
件是存在唯一的有序实数对 在实数λ，使 a＝λb
(x，y)，使 p＝xa＋yb
课堂探究
如果 l 为经过 A 且平行于已知
非零向量 a 的直线，那么对于
空间任一点 O，点 P 在直线 l源自上的充要条件是存在实数 t，
推论
使O→P＝O→A＋ta，其中 a 叫作 如图，空间一点 P 位于平面 ABC 直线 l 的_方__向__向_量__，如图所示． 内的充要条件是存在有序实数对
已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
证明：∵四边形ABCD为
O
∴AC AB AD
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC k( AB AD) k(OB OA OD OA)
练习巩固
【解析】 因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，
四边形 ABCD，ABEF 都为平行四边形，
所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝1C→A＋A→F＋1F→B
2
2
＝1C→A＋A→F＋1(A→B－A→F)
2
2
＝12C→A＋12A→F＋12A→B＝12(A→B＋A→F－A→C)．
又C→E＝C→A＋A→F＋F→E＝A→F－A→C＋A→B＝A→B＋A→F－A→C，所以
对空间任意一点 O 来说，有O→P＝
若在 l 上取A→B＝a，则上式可 O→A＋xA→B＋yA→C
化为O→P＝O→A＋tA→B
例 题 解 析 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表
达式,并标出化简结果的向量.(如图)
件是存在唯一的有序实数对 在实数λ，使 a＝λb
(x，y)，使 p＝xa＋yb
课堂探究
如果 l 为经过 A 且平行于已知
非零向量 a 的直线，那么对于
空间任一点 O，点 P 在直线 l源自上的充要条件是存在实数 t，
推论
使O→P＝O→A＋ta，其中 a 叫作 如图，空间一点 P 位于平面 ABC 直线 l 的_方__向__向_量__，如图所示． 内的充要条件是存在有序实数对
已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
证明：∵四边形ABCD为
O
∴AC AB AD
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC k( AB AD) k(OB OA OD OA)
练习巩固
【解析】 因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，
四边形 ABCD，ABEF 都为平行四边形，
所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝1C→A＋A→F＋1F→B
2
2
＝1C→A＋A→F＋1(A→B－A→F)
2
2
＝12C→A＋12A→F＋12A→B＝12(A→B＋A→F－A→C)．
又C→E＝C→A＋A→F＋F→E＝A→F－A→C＋A→B＝A→B＋A→F－A→C，所以
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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2024课件
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时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
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z
z P1 P
1
x
•o
1
1
x
•
P点坐标为
y y (x,y,z)
•P0
12
空间向量基础知识
空间uuur向量的坐标表示： A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
空间向量的运算法则：若 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2)
(2)ABCM四点共面 OM (1 x y)OA xOB yOC
14
两点间的距公式 dAB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
模长公式
| a |
2
a
x12 y12 z12
夹角公式 cos a • b a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
ar a
4)负向量：大小相等，方向相反的向量。
5)平行向量：方向相同或相反的向量。（共线向量2）
4.向量的几种形式
uuur 1)几何形式：有向线段 AB
B
r Ar r
2)代数形式：分坐量标形形式式：:aarxix,
yj
y
uuur
A x1, y1 B x2, y2 AB x2 x1, y2 y1
| a || b | x12 y12 z12 x22 y22 z22
方向向量：若a // l称a是直线 l的方向向量
法向量若n a则称n是a的法向量 ; n a n • a x1x2 y1 y2 z1z2 0
15
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直
空 间 向 量 的 加 减
r
rr
实数与 向量的 乘法
与a 同向，a a ， 0
r
a
r
0, 0
r r r 与ar反向，
r a
r a
，
0
r
a (x1, y1)
r
两个非 注： 1 a Pb b a
零r向r 量 a，b
rr
2a Pb
x1 x2
y1 y2
x2 , y2
0
4
运算 几何形式
坐标形式
r
r
a (x1, y1),b (x2, y2)
4、求两异面直线AB与CD的夹角：
cos | AB CD |
| AB | | CD |
5、求直线l与平面 所成的角：
| sin | | PM n | | PM || n|
2、空间向量能用来干什么？怎么用？
8
三、空间向量
我们把向量推广到空间,并把它们叫做空间向 量.
空间向量与平面上的向量有相应的概念,运算 及其运算律具有相同的意义.
是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样, 只是 “二维的”变成 “三维的”了.
9
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz 面
Ⅳ
xy 面
5
6.平面向量的分解定理
如 于果这一e1，平e面2是内平的面任内一两向个量不平a 行，向有量且，只那有么一对对
实数t1，t2使
a1 t1e1 t2 e2
e2
M
a
O N
C 对向量a进行分
解：
e1 OC OM ON
t1e1 t26e2
平面向量知识结构图
7
二、思考：
1、空间向量与平面向量有何区别？空间 向量研究些什么内容？怎样研究？
新疆 王新敞
奎屯
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
a (x1, y1, z1)
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
13
向量的共线和共面
共线: (1)a // b a b 对应坐标成比例
(2)P、A、B三点共线 OP (1t)OA tOB
共面 (1)a,b, p共面 p xa yb 可以用a,b表示 p
z zx 面
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
10
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标
方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、 P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么 (x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，
数量积
rr r r
a b a b cos
指两向量的夹角
rr a b x1x2 y1y2
（共起点）
rr
注： 1.夹角公式：cos ra br
ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
r2 r r r 2 2.a a a a
r r rr
3.a b a b 0 x1x2 y1y2 0
r
r
a x, y a x2 y2
终点—起点
3
5.向量的运算
运算 几何形式
坐标形式
r
r
a (x1, y1),b (x2, y2)
加法 1.△法则（首尾相接） r r 2. ◇法则（共起点） a b (x1 x2, y1 y2)
减法
△法则（共起点， 方向指向被减向量）
rr a b (x1 x2, y1 y2)
空间向量
1
一、平面向量复习
1.向量：既有大小又有方向的量。
r 2.向量的模：向量的大小 a
3.几个特殊的向量：
r 1)零向量（0 ）：模为0的向量，方向是任意的。
（注意与0的区别）
2)单位向量：模为1的向量，方向未确定。
r
r
uur
与a同向的单位向量：a0
3)相等的向量：大小相等，方向相同的向量。
1、求线段的长度：
AB AB x2 y2 z2 x2 x12 y2 y12 z2 z12
2、平行
a || b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R)
a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2
3、垂直 ab
a1b1
a2b2
a3b3
0
17
（二）、求角公式：
空间向量知识结构图
空
间
建
坐
立
标
坐
系
标
概
系
坐 标 运 算
念
空间直角坐标系
角
空
证 明
间 向 量
求 解
距
离
异面直线夹角 线面夹角
二面角 异面直线距离 点面距离 面面距离
空间向量运算
空
空
空
空
平
间
间
间
间
面
向
向
向
向
的
量
量
量
量
法
的
内
的
的
向
16
数
积
夹
模
量
乘
角
长
四、建立空间直角坐标系，解立体几何题
（一）、常用公式：
z
记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z 坐标。
z • P3
1
x•
•o
1
1
x P1
•P
y
• P2 y
P点坐标为
(x,y,z)
11
方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。
点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐
标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴
上的坐标z就是P点的z坐标。