九年级数学圆周角和圆的内接四边形人教版知识精讲

九年级数学圆周角和圆的内接四边形人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

圆周角和圆的内接四边形 主要内容包括：

（1）圆周角定理及其推论的运用。 （2）圆内接四边形的性质及其运用。

【典型例题】

例1. 如图：AB 、DE 、

求证：CF BE ⋂=⋂

分析： 证明：设AC 、ED 在△DMG 和△AMH 中，

∠=∠=︒

∠=

∠DGM AHM DMG AMH 90

∴∠=∠D A

∴⋂=⋂

EF BC （在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等）

⋂⋂

利用圆中有关的知识得以解决。 证明：∵AB ∥CD

∴⋂=⋂

AC BD

∴⋂=⋂

AD BC ∴∠=∠A B

又∵∠PCD 、∠PDC 是圆内接四边形ABDC 的外角 ∴==∠∠，∠∠PCD B PDC A ∴=∠∠PCD PDC

()∴︒-︒=︒AE 的度数为18010080

又在中，， ∆ABC AB AC BAC =∠=︒50 ∴∠=∠=

︒-∠=︒B C BAC

1802

65

∴⋂

︒AD 的度数为130

⋂

在中，，∆ABC AB AC BAC =∠=︒50

()∴∠=

︒-∠=︒C BAC 1

2

18065 在中，，∆OCD C OC OD ∠=︒=65

∴∠=︒COD 50

又在中，， ∆ABC AB AC A =∠=

︒50

∴∠=︒ACB 65

∴∠=∠=

∠=︒BAD CAD BAC 2

25 ∴⋂⋂

︒ED DC 、的度数都等于50

∴⋂

︒-︒-︒=︒AE 的度数为180505080

∴∠AFE ＝∠D

又 AB AB ⋂=⋂

∴∠D ＝∠ACB ∴∠AFC ＝∠ACB 又∵∠CAF ＝∠BAC ∴△ACF ∽△BAC

∴∠ACE ＋∠CAE ＝90° 又∵∠ADC ＋∠CAE ＝90° ∴∠ACE ＝∠ADC

又 AC AC ⋂=⋂

∴∠ADC ＝∠ABC ∴∠ABC ＝∠ACF 又∵∠CAF ＝∠BAC ∴△ACF ∽△ABC ∴

==⋅AC AB AF

AC

AC AF AB ，即2

［归纳］

（1）三种解法实际上都体现了一种重要的数学思想转化，把非圆周角转化为圆周角，从而沟通和另一个圆周角的关系。

（2）在圆中常见的两种基本图形，一是垂径，二是直径所对的圆周角是直角。这也为我们作辅助线提供了依据。

例5. ∆ABC O BC O AD BC D F BC 内接于⊙，且是⊙的直径，于点，是的中⊥⋂

点，且AF 交BC 于E ，若AB ＝6，AC ＝8，求CD 、DE ，及EF 的长。

分析：从图形的已知条件出发很容易知道AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，故由射影定理可求出BD 、CD 、AD 、OD 等线段的长，但对于DE 、EF 的长却不能由此求出，

考虑到是的中点，因此可以利用这一点，连结，利用和的F BC OF ADE EOF ⋂

∆∆

相似关系求解即可。

BC AB AC 222=+ 又∵AB ＝6，AC ＝8 ∴BC ＝10

∴OB ＝OC ＝OF ＝5 ∵AD ⊥BC

∴AD 是Rt △ABC 中斜边BC 上的高 ∴=⋅=⋅AB BD BC AD BD DC 2

2

， 又∵AB ＝6，BC ＝10

∴=

=-=-=

BD CD BC BD 1851018532

5

， ∴=⋅=⨯=AD BD DC 185325245 OD OB BD =-=-=51857

5

又是的中点 F BC ⋂

∴∠FOC ＝∠FOB ＝90° 又∵∠ADE ＝90° ∴AD ∥OF

∴

=

AD OF DE

OE

∴==

DE OE 24552425

∴=⋅=⨯=DE OD 24492449752435 OE OD =⋅=⨯=254925497557

在Rt △OEF 中，由勾股定理可知： EF OE OF 2

2

2

=+

∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪+=EF 57525722

2

∴===CD DE EF 3252435257

2，，

【模拟试题】

一. 选择题。

1. 已知点O是∆ABC的外心，∠A＝α，则∠BOC＝________。

A. 2α

B. 3602

︒-α

C. 23602

αα

或︒- D. 21802

αα

或︒-

6. ∆ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠BOD＝38°，则∠A＝_______。

A. 19°

B. 38°或142°

C. 38°

D. 19°或161°

°，BD

⋂

的度数是60

BC于

BC于

【试题答案】

一. 选择题。

1. C

2. C

3. D

4. D

5. A

6. B

7. C

8. B 二. 填空题。 1. 100° 2. 100° 3. 140°

4. 180°

5. 34°

三. 解答题。

1. 解：设∠A 的度数为x °

BD BD

C A x ⋂=⋂

∴∠=∠=︒

∠ADF 是△DCE 的外角

∴∠=∠+∠=︒+︒ADF E C x 36 又∵∠AFC 是△ADF 的外角

∴∠=∠+∠=︒+︒+︒AFC A ADF x x 36 ∴+=23680x x =22

∴⋂

BD 的度数为244x ︒=︒ ∴∠=︒+︒=︒ADF 223658

∴⋂

AC 的度数为2

∴⋂⋂

AC BD 、 2. 连结DG ，则∠ 又∵∠ACB ＝90 ∵CD ⊥AB ∴∠CAE ＝∠ 又∵AE 平分∠ ∴∠CAE ＝∠ ∴∠GAD ＝∠ ∴AG ＝GD

∵∠DFA 与∠FAD 互余，∠CEA 与∠CAE 互余，∠FAD ＝∠CAE ∴∠DFA ＝∠CEA ∴∠DFA ＝∠GDC ∴GD ＝GF ∴AG ＝GF 3. 连结DE

∵BD 平分∠ABC ∴ABD ＝∠EBD

∴⋂=⋂

∴=AD DE AD DE ，