数学物理方法第4章

=1= 1. 4! 24
9
ez
Ñ 例3
计算积分
l
dz, z(z 1)2
l为正向圆周:
z = 2.
解 z = 0 为一级极点, z = 1为二级极点,
Res
f
(0)
=
lim
z0
z
ez z(z 1)2
dz =
lim z0 (z
ez 1)2
,
Res
f
(1)
=
(2
1 lim 1)! z1
d dz
(z
1)2
ez z(z 1)2
所以
=
lim
z1
d dz
ez z
=
lim
z1
e
z
(
z z2
1)
=
0,
ez
Ñ dz
l z(z 1)2
=
=
2 iRes f (0) + Res
2 i(1+ 0) = 2 i.
f
(1)
10
•规则3
设
f
(z)
=
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) = 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0 为
成洛朗级数求 a1 (3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则 •规则1 如果 z为0 f (的z)一级极点, 那末
Res
f
(z0 )
=
lim(z
zz0
z0 )
f
(z
z0 ).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
Res
f (z0 ) =
(m
1
1)!
lim
zz0
Res
f
(0)
=
(3
1 lim 1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
解 如果利用洛朗展开式求 l1 较方便:
z
sin z6
z
=
1 z6
z
z
z3 3!
+
z5 5!
= z3 z5 + , 3! 5!
Res
f
0
=
a1
=
1 5!
.
12
（三）无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 R z +内解析，
dm1 dz m 1
[(
z
z0
)m
f (z)].
例1
求
f
(z)
=
ez zn
在
z
=
0 的留数.
解 因为 z = 0 是 f (z)的n阶极点，
所以 Res f 0
=
(n
1
lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1
=
.
(n 1)!
8
例2
求
f
(z)
=
e
z z5
1
在
z = 0 的留数.
被积函数在l内各孤立奇点处的留数.
5
证 由复连通域的柯西定理
Ñ f (z)dz =蜒 f (z)dz + f (z)dz +L + ? f (z)dz
l
l1
l2
ln
l
.bn
两边同时除以 2 i且
b1 . .b2
B
蜒 ? 1
1
1
f (z)dz +
f (z)dz +L +
f (z)dz
2 i l1
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握 用留数定理计算典型实定积分的方 法。
重点： 留数的计算与留数定理 难点： 留数的计算与留数定理
2
4.1 留数定理
（一）留数引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
.z0
l l0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数:
f (z) = L + ak (z z0 )k + L + a1(z z0 )1 + L + a0 + a1(z z0 ) + L + ak (z z0 )k + L
3
积分 f (z)dz
l
= L + ak (z z0 )k dz + L + a1 (z z0 )1dz + L
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 B内除有限个孤
立奇点 b1 ,b2 ,L ,bn 外处处解析, l 是闭区域B包围诸奇
点的一条正向简单闭曲线, 那么
n
Ñ f (z)dz = 2 iRes f (bj ).
l
j =1
说明: 1. f (z)在l 上及 l 内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线l积分转化为求
2 i l
14
说明: 由定理得
n
Res f (z j ) = Res f (),
j =1
n
Ñ f (z)dz = 2 iRes f (z j ) (留数定理)
孤立奇点,那末 f (z) 在所有各奇点(包括 点)
的留数的总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
.zk .
. l (绕原点的并将 zk包含在 . 内部的正向简单闭曲线)
由留数定义有:
n
Res f () + Res f (zk )
蜒 = 1
k =1
f (z)dz +
1
f (z)dz = 0.
2 i l1
l0
l0
2i 0
+ a0dz + a1(z z0 )dz + L + ak (z z0 )k dz + L
l0
l0
l0
0 (柯西定理)
= 2ia1 洛朗级数中负幂项 a1(z z0 )1的系数
即
a1
=
1 2i
l
f
( z )dz
f
= Res f (z0 )
(z)在 z0的留数
4
（二）有限远留数定理
2 i l2
2 i ln
= Res f (b1) + Res f (b2) +L + Res f (bn)
n
= Res f (bj ), 即可得.
j =1
6
2.留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res f (z0 ) = 0. (2) 如果 z0 为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
解 z = 0是 f (z) 的四级极点.
在 0 z + 内将 f (z) 展成洛朗级数:
ez 1 z5
=
1 z5
1
+
z
+
z2 2!
+
z3 3!
+
z4 4!
+
z5 5!
+
z6 6!
+
1
=
1 z4
+
1 2! z 3
+
1 3! z 2
+
1 4! z
+
1 5!
+
z 6!
+
,
所以 Res f (0) = l1
f (z) 的一级极点,
且有
Res
f
(z0 )
=
P(z0 ) . Q(z0 )
例4
求
f
(z)
=
P(z) Q(z)
=
z
sin zຫໍສະໝຸດ Baiduz6
在
z
=
0 的留数.
分析 P(0) = P(0) = P(0) = 0, P(0) 0.
z = 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z = 0是 f (z)的三级极点， 由规则3得 11
l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
Ñ 那末积分 1 f (z)dz 的值与l无关，则称此定值
2 i l1
为 f (z)在点的留数，
记作
1
Res
f
()
=
2
i
Ñ f
l
(z)dz
=
1
2
i
Ñ f
l
(
z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res f ( )= a1
∞
= a1
13
2.留数和定理 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个