二次函数及三个二次之间的关系.
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AB 有两个交点．
知识归纳： 根的分布
利用韦达定理讨论
图示
结合图象讨论
两个正根
0
x1
x2
0
x1 x2 0
两个负根
0
x1
x2
0
x1 x2 0
一个正根 一个负根
x1
x2
0
0
0
两根都大于 m
(x1 m) (x2 m) 0 (x1 m)(x 2 m) 0
2a
三、二次函数在闭区间上的最值：
例 3 求二次函数 f (x) x 2 2x 3 在区间[2,2] 上的最大值与最小值．
变式 1：将区间改为[2, a] ， a 2 ，求函数的最大值和最小值．
变式 2：将区间改为[a, a 1] ，求函数的最大值和最小值．
变式 3：已知函数． f (x) x 2 2x 3 0 在区间[a, a 1] 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 变式 4：求二次函数 f (x) x 2 2ax 3 在区间[2,2] 上的最大值与最小值． 变式 5：求二次函数 f (x) ax 2 2ax 3(a 0) 在区间[2,2] 上的最大值与最小值．
知识归纳： 1、二次函数的三种形式：
2、二次函数的性质：
3、根与系数的关系：
二、一元二次方程根的分布：
例 2 方程 x 2 2ax 4 0 的两根均大于 1，求实数 a 的取值范围．
变式 1：．方程 x 2 2ax a 0 有一个正根，一个负根，则实数 a 的取值范围是
．
变式 2：方程 x 2 2ax a 0 的一个根在 (0,1) 内，另一个根大于 1，则实数 a 的取值范围是
方法点拨 闭区间上二次函数的最值问题可分以下几种类型：
（1） 定区间、定对称轴；——配方、判定对称轴与区间的位置关系、确定最值． （2） 定 区 间 、 动 对 称 轴 ； — — 分 对 称 轴 在 区 间 左 、 区 间 中 、 区 间 右 （ 或 区 间 中 点 左 、 区 间 中
点右）讨论． （3） 动 区 间 、 定 对 称 轴 ； — — 分 对 称 轴 在 区 间 左 、 区 间 中 、 区 间 右 （ 或 区 间 中 点 左 、 区 间 中
知识归纳： 二次函数
△>0
△=0
△<0
y ax 2 bx c
的图象 二次方程
ax 2 bx c 0
的根 二次不等式
ax2 bxc 0
的解集 二次不等式
ax2 bxc 0
的解集
五、高考题探寻：
1、设 a 为实数，函数 f (x) x 2 | x a | 1, x R，（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f (x) 的最小值．
0
m
f
(m)
0
b 2a
m
一根大于 m 一根小于 m
(x1 m)(x2 m) 0
m
f (m) 0
两根都在区间 （n，m）外
两根都在区间 （n，m）内
nm
f f
(n) (m)
0 0
0
n
f (m) 0
f (n) 0 b m
浙师大附中 2014 届数学第 一轮复习学案（理科） 二次函数及三个二次之间的关系
一、二次函数：
例 1 已知函数 y f (x) 是开口向上的二次函数， f (1 x) f (1 x) ， f (0) 3 ，且 f (x) 的最小值为 2，
求 y f (x) 的解析式．
变式 1：已知函数 y f (x) 是开口向上的二次函数， f (1 x) f (1 x) ，证明： y f (x) 在（1，+∞）
点右）讨论．
四、三个二次之间的关系：
例 4．函数 f (x) ax 2 abx b ， a 0 ． （1）若 f (x) 0 的解集为区间 (1,2) ，求实数 a, b 的值； （2）若 a 0 ， f (x) 0 的两根 x1、x2 满足 x1 1, x2 1 ，求实数 a, b 满足的条件．
2、设 f (x) 3ax 2 2bx c ，若 a b c 0 ，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
（1） a 0 且 2 a 1 ； b
（2）方程 f(x)=0 在（0，1）内有两个实根．
3、已知 1 ≤ a ≤1，若函数 f x ax2 2x 1在区间[1，3]上的最大值为 M a ，最小值为 N a ，令
f (x1 ) 2
f (x2 ) ．
变式 4：已知函数 y f (x) 的图像关于直线 x a 对称，则 f (a x) f (a x) ．
变式 5：已知函数 y f (x) 的图像关于点 (a, b) 成中心对称，则 f (a x) f (a x) 2b ．
3
g a M a N a ．（1）求 g a 的函数表达式；（2）判断函数 g a 在区间[ 1 ，1]上的单调性，并
3
求出 g a 的最小值．
m
0
f
(0)
0
b 2a
0
0
f
(0)
0
b 2a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
f (0) 0
0
f
(m)
0
b 2a
m
两根都小于 m
0
(x1 m) (x2 m) 0
(x1 m)(x2 m) 0
．
变式 3：方程 x 2 2ax a 0 的两根 x1、x2 满足 0<x1 <1<x2 <4，则实数 a 的取值范围是
．
变式 4：方程 x 2 2ax a 0 有一根大于 0，则实数 a 的取值范围是
．
变式 5：已知抛物线 C： y x 2 ax 1 ，点 A(0,3),B(3,0)，试确定 a 的取值范围，使抛物线 C 恒与线段
上是增函数．
变式 2：函数 f (x) ax 2 bx c(a 0) 在（ b ，+∞）上是增函数，在（-∞， b ）上是减函数．
2a
2a
变式 3：已知函数
f (x) ax 2
bx c(a 0) ， x1, x2 R ，则
f ( x1 x2 ) 2
知识归纳： 根的分布
利用韦达定理讨论
图示
结合图象讨论
两个正根
0
x1
x2
0
x1 x2 0
两个负根
0
x1
x2
0
x1 x2 0
一个正根 一个负根
x1
x2
0
0
0
两根都大于 m
(x1 m) (x2 m) 0 (x1 m)(x 2 m) 0
2a
三、二次函数在闭区间上的最值：
例 3 求二次函数 f (x) x 2 2x 3 在区间[2,2] 上的最大值与最小值．
变式 1：将区间改为[2, a] ， a 2 ，求函数的最大值和最小值．
变式 2：将区间改为[a, a 1] ，求函数的最大值和最小值．
变式 3：已知函数． f (x) x 2 2x 3 0 在区间[a, a 1] 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 变式 4：求二次函数 f (x) x 2 2ax 3 在区间[2,2] 上的最大值与最小值． 变式 5：求二次函数 f (x) ax 2 2ax 3(a 0) 在区间[2,2] 上的最大值与最小值．
知识归纳： 1、二次函数的三种形式：
2、二次函数的性质：
3、根与系数的关系：
二、一元二次方程根的分布：
例 2 方程 x 2 2ax 4 0 的两根均大于 1，求实数 a 的取值范围．
变式 1：．方程 x 2 2ax a 0 有一个正根，一个负根，则实数 a 的取值范围是
．
变式 2：方程 x 2 2ax a 0 的一个根在 (0,1) 内，另一个根大于 1，则实数 a 的取值范围是
方法点拨 闭区间上二次函数的最值问题可分以下几种类型：
（1） 定区间、定对称轴；——配方、判定对称轴与区间的位置关系、确定最值． （2） 定 区 间 、 动 对 称 轴 ； — — 分 对 称 轴 在 区 间 左 、 区 间 中 、 区 间 右 （ 或 区 间 中 点 左 、 区 间 中
点右）讨论． （3） 动 区 间 、 定 对 称 轴 ； — — 分 对 称 轴 在 区 间 左 、 区 间 中 、 区 间 右 （ 或 区 间 中 点 左 、 区 间 中
知识归纳： 二次函数
△>0
△=0
△<0
y ax 2 bx c
的图象 二次方程
ax 2 bx c 0
的根 二次不等式
ax2 bxc 0
的解集 二次不等式
ax2 bxc 0
的解集
五、高考题探寻：
1、设 a 为实数，函数 f (x) x 2 | x a | 1, x R，（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f (x) 的最小值．
0
m
f
(m)
0
b 2a
m
一根大于 m 一根小于 m
(x1 m)(x2 m) 0
m
f (m) 0
两根都在区间 （n，m）外
两根都在区间 （n，m）内
nm
f f
(n) (m)
0 0
0
n
f (m) 0
f (n) 0 b m
浙师大附中 2014 届数学第 一轮复习学案（理科） 二次函数及三个二次之间的关系
一、二次函数：
例 1 已知函数 y f (x) 是开口向上的二次函数， f (1 x) f (1 x) ， f (0) 3 ，且 f (x) 的最小值为 2，
求 y f (x) 的解析式．
变式 1：已知函数 y f (x) 是开口向上的二次函数， f (1 x) f (1 x) ，证明： y f (x) 在（1，+∞）
点右）讨论．
四、三个二次之间的关系：
例 4．函数 f (x) ax 2 abx b ， a 0 ． （1）若 f (x) 0 的解集为区间 (1,2) ，求实数 a, b 的值； （2）若 a 0 ， f (x) 0 的两根 x1、x2 满足 x1 1, x2 1 ，求实数 a, b 满足的条件．
2、设 f (x) 3ax 2 2bx c ，若 a b c 0 ，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
（1） a 0 且 2 a 1 ； b
（2）方程 f(x)=0 在（0，1）内有两个实根．
3、已知 1 ≤ a ≤1，若函数 f x ax2 2x 1在区间[1，3]上的最大值为 M a ，最小值为 N a ，令
f (x1 ) 2
f (x2 ) ．
变式 4：已知函数 y f (x) 的图像关于直线 x a 对称，则 f (a x) f (a x) ．
变式 5：已知函数 y f (x) 的图像关于点 (a, b) 成中心对称，则 f (a x) f (a x) 2b ．
3
g a M a N a ．（1）求 g a 的函数表达式；（2）判断函数 g a 在区间[ 1 ，1]上的单调性，并
3
求出 g a 的最小值．
m
0
f
(0)
0
b 2a
0
0
f
(0)
0
b 2a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
f (0) 0
0
f
(m)
0
b 2a
m
两根都小于 m
0
(x1 m) (x2 m) 0
(x1 m)(x2 m) 0
．
变式 3：方程 x 2 2ax a 0 的两根 x1、x2 满足 0<x1 <1<x2 <4，则实数 a 的取值范围是
．
变式 4：方程 x 2 2ax a 0 有一根大于 0，则实数 a 的取值范围是
．
变式 5：已知抛物线 C： y x 2 ax 1 ，点 A(0,3),B(3,0)，试确定 a 的取值范围，使抛物线 C 恒与线段
上是增函数．
变式 2：函数 f (x) ax 2 bx c(a 0) 在（ b ，+∞）上是增函数，在（-∞， b ）上是减函数．
2a
2a
变式 3：已知函数
f (x) ax 2
bx c(a 0) ， x1, x2 R ，则
f ( x1 x2 ) 2