工程流体力学3.4理想流体的运动微分方程-录像
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工程流体力学3.3流体运动的连续性方程-录像
故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的
第三节 流体流动的连续性方程
【例3-5】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布 规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。
【解】 根据式（3-29）
所以
u 2x sin y v 2x sin y
x
y
u v 2x sin y (2x sin y) 0 x y
V2
V1
d1 d2
2
2 0.5 2 1
0.5(m/s)
第三节 流体流动的连续性方程
图 3-14 输水管道
u v w 0
t x y z
第三节 流体流动的连续性方程
可压缩流体非定常三维流动的连续性方程
u v w 0
t x y z
0 t
可压缩流体定常三维流动的连续性方程
u v w 0
第三节 流体流动的连续性方程
知识点（一）
直角坐标系下连续性微元 方程式
第三节 流体流动的连续性方程
流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不 形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。
质量守恒定律(conservation of mass) ： 连续性方程
若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量 不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以 便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；
如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。 在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用。
第三节 流体流动的连续性方程
一、连续性微分方程推导
图 3-12 流场中的微元平行六面体
流体力学第四章_理想流体运动基本方程
8
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动 参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空 间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
‹#›
‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
27
迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
9
‹#›
‹#›
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产 生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截 面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流 体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而 产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入 量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动 参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空 间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
‹#›
‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
27
迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
9
‹#›
‹#›
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产 生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截 面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流 体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而 产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入 量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。
理想流体的运动微分方程
理想流体的运动微分⽅程你刚刚更新第四节在流动的理想流体中，取出⼀个微元平⾏六⾯体的微团，它的各边长度分别为d、d和d，如图3-2所⽰。
由于是理想流体，没有黏性，运动时不产⽣内摩擦⼒，所以作⽤在流体微团上的外⼒只有质量⼒和压强。
该压强与静压强⼀样，垂直向内，作⽤在流体微团的表⾯上。
假设六⾯体形⼼的坐标为、、，压强为。
先分析⽅向的运动，在垂直于轴的左右两个平⾯中⼼点上的压强各等于，由于是微元⾯积，所以这些压强可以作为各表⾯上的平均压强。
设在六⾯体形⼼上的单位质量的质量⼒分量为、、和，则作⽤在微元平⾏六⾯体的流体微团上的质量⼒在轴⽅向的分量为⼜流体微团的加速度在轴上的投影为，则根据⽜顿第⼆定律得轴⽅向的运动微分⽅程将上式各项除以流体微团的流体质量，化简后得：]同理：这就是理想流体的运动微分⽅程。
对于静⽌的流体，，则由上式可以直接得出流体平衡微分⽅程，即欧拉平衡微分⽅程式。
因此欧拉平衡微分⽅程只是欧拉运动微分⽅程的⼀个特例。
如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分⽅程写成如下形式你刚刚更新第五节理想流体微元流束的伯努利（Bernoulli）⽅程⼀．理想流体微元流束的伯努利⽅程理想流体的运动微分⽅程只有在少数特殊情况下才能求解。
在下列⼏个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同⼀微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量⼒只有重⼒。
即可求得理想流体微元流束的伯努利⽅程。
根据欧拉运动微分⽅程和流线微分⽅程可以推导出或上式称为理想流体微元流束的伯努利⽅程。
该⽅程的适⽤范围是：理想不可压缩均质流体在重⼒作⽤下作定常流动，并沿同⼀流线（或微元流束）。
若1、2为同⼀条流线（或微元流束）上的任意两点，则上式也可写成，在特殊情况下，绝对静⽌流体，可以得到静⼒学基本⽅程。
⼆．⽅程的物理意义和⼏何意义1．物理意义第⼀项z表⽰单位重量流体所具有的位势能；第⼆项表⽰单位重量流体的压强势能；第三项表⽰单位重量流体具有的动能位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
理想流体的运动微分方程
u y y
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
《工程流体力学》教学课件—04流体动力学基础
6.37kW
hp =16.47 m
第四节 恒定总流动量方程和动量矩方程
2
1
dA1
1
1
u1
dA2
1
2
t时流体质点系边界
2
2
u2
t+t时流体质点系边界
恒定总流，取过流断面1-1、2-2为渐变流断面，面积为A1、A2 ，
过流断面及总流的侧表面所围空间为控制体。控制体内的流体，
经dt时间，由1-2运动到1’-2'位置。
ρ gdQ ρ gu1dA1 ρ gu2dA2
z1
p1 ρg
u12 2g
ρ
gdQ
z2
p2 ρg
u22 2g
ρ
gdQ
hl 'ρ
gdQ
上式对总流过流断面积分
z1 A1
p1 ρg
ρ
gu1dA1
u12 ρ 2g
A1
gu1dA1
z2 A2
p2 ρg
ρ
gu 2dA2
u
2 2
ρ
2g
A2
第四章 流体动力学基础
第一节 理想流体运动微分方程
流体动力学三大方程之一，是牛顿第二定律的流体 力学表达式。
一、方程推导
根据牛顿第二运动定律 在y方向有 Fy=may，即：
D'
z
A'
p
p y
dy 2
dz p(x,y,z) B' O’
dx D dy
A
B
C'
p
p y
dy 2
C
y
o
x
(p
p y
dy 2
)
d
流体运动的连续性方程、34理性流体运动微分方程及其积分、35伯努利方程-PPT精品文档
2、根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体 内因流体密度变化所引起的质量增量：即
连续性微分方 m m m d x d y dz x y z t 程的一般形式 ( u ) ( u ) ( u ) y x z 0 t x y z 或 ( u )0 t
C
105.0 0
2
解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程
计算点选在液面上，即有 2 v 1 1 p 0， 0 1 p 2 2g Z1=120-105=15m Z2=hc=1.2m
令v2=vc
2 2 1 . 0 v v c c 15 0 0 1 . 2 0 0 . 1 2 g 2 g
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用
时，应对上式进行修正：
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
2 2 p u p u 1 1 2 2 z z h 1 2 w g 2 g g 2 g
工程流体力学课件
杨庆华 制作
Copyright2019西南交通大学土木工程学院流体力学教研室
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法
•
• •
§3–2 流体运动的一些基本概念
§3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程及其积分
•
•
§3–5 伯努利方程
§3–6 动量方程
2
符号说明：
符号
物理意义
单位重流体的位能
几何意义
位置水头
连续性微分方 m m m d x d y dz x y z t 程的一般形式 ( u ) ( u ) ( u ) y x z 0 t x y z 或 ( u )0 t
C
105.0 0
2
解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程
计算点选在液面上，即有 2 v 1 1 p 0， 0 1 p 2 2g Z1=120-105=15m Z2=hc=1.2m
令v2=vc
2 2 1 . 0 v v c c 15 0 0 1 . 2 0 0 . 1 2 g 2 g
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用
时，应对上式进行修正：
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
2 2 p u p u 1 1 2 2 z z h 1 2 w g 2 g g 2 g
工程流体力学课件
杨庆华 制作
Copyright2019西南交通大学土木工程学院流体力学教研室
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法
•
• •
§3–2 流体运动的一些基本概念
§3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程及其积分
•
•
§3–5 伯努利方程
§3–6 动量方程
2
符号说明：
符号
物理意义
单位重流体的位能
几何意义
位置水头
第四章 流体流动微分方程
um
p L
R2
8
p L
D2
32
阻力系数
64
Re
水平管:
hf
p
g
L um2 D 2g
Re Dum
雷诺数
结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立流
体流动微分方程的方法:
输入微元体 -输出微元体+作用于微元体 = 0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
§ 4.3 狭缝流动分析
微元体上x方 向的诸力之和
yxdx
yx
yx y
dy
dx
pdy
p
p x
dx
dy
g cos dxdy
yx
y
p x
g cos
dxdy
0
§ 4.3 狭缝流动分析
切应力方程
yx p g cos p
y x
x
其中 p p gx cos
水平狭缝，由于有β=π/2，
p x p x const
p p0 pL
L
L
又因压差流，U=0，得水平压差流的平均速度
um
b2
12
p x
U 2
um
b2
12
p L
（4-10）
§ 4.3 狭缝流动分析
狭缝流阻力系数λ
定义式 p L b um2 2
um
b2
12
p L
24
Re
Re umb /
§4.3 狭缝流动分析
流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1 外力（ x方向）
上下表面的切应力 τ y，x
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
第四讲 流体动力学基本方程 (1)理想流体
4-3 理想流体的运动微分方程
同理，可推得在 x、z 方向有：
1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy y dt 1 p dvz fz z dt
理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
4-3 理想流体的运动微分方程
也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：
一、控制体与物质体
控制体 (Control Volume):
由一个固定空间构成的体积
在不同时刻由不同的流体质点
占据
控制面 (Control Surface):
控制体的封闭表面 流体质点可自由通过
4-1 雷诺输运方程
一、控制体与物质体
物质体(Material Volume):
由系统的流体团构成的体积
的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数
在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方 程仅有三个 为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭， 从理论上提供了求解的可能性。
由dV=dxdydz
4-3 理想流体的运动微分方程
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
欧 拉 运 动 微 分 方 程 欧 拉 平 衡 微 分 方 程
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
v 0 t
该式是流体的连续方程式，是质量守恒定律在流体运动 中的体现，是一切流体运动必须遵循的普遍原则。 直角坐标系下，连续方程式可写为：
vx v y vz 0 t x y z
4-2 连续性方程
第04章理想流体动力学
y
2 t
（4-3）
(U p v2 ) 0
z
2 t
括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,
只可能是时间的函数。
所以
p v2
U F (t)
2 t
（4 - 4）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，
有U＝－ｇｚ，故
gUz
p
v2 2
t
F (t)
（4
- 4'）
7
t
为书写简单，引入 F (t)dt 0
分常数Ｃ 只在同一条流线上不变，不同流线取 l
值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。
18
为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。
渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。
渐变流动特点：(z p) 项在整个过水（过流） 断面上为常数。
z p 称为静压
v2 称为动压
2
28
伯努利方程的应用
实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。
设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流），
不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。
29
取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面
将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
x
x
Vx
y
y
Vy
z
z
Vz
引入Φ后，式（４-４）可改写成：
U p V 2
2
t
（４-5）
8
若流体的质量力只有重力，式（4 - 4'）可写成：
流体力学课件之理想流体流动
2 g
D1 D2
2
H h
10/46
§５.1 理想流体微分形式动量方程与伯努利方程 §５.2 伯努利方程简单应用 §５.3 理想流体积分形式控制方程
§５.4 理想流体微分方程解析解
11/46
理想流体积分形式控制方程
质量方程
dV
dA 0
V t
( A)
动量方程
dV
dA
121kkxy22
2
f1 f
(
2
y) (x)
整理后，得势函数 1 x2 y 2 C 2
x
y
y x
ky kx
kxy kxy
f1 ( y) f2 (x)
合并两式，得流函数 kxy B C, B 为常数。
36/46
势流问题的数学提法
1、以速度势函数为未知数（Neuman问题） 寻求物体C外无界区域内速度势函数，求解方程及初边条件
2. 控制方程与边界条件
dV
dA 0
V t
( A)
dV
dA
gdV
PdA
V t
( A)
V
( A)
E gz p 2 const 2
入口条件 vout Q A2 , p ?
出口条件 物面条件
vin ?, p pa
v A 0 F pd A pad A
r
r r
r
r
z
r z
2 r
gr
1
p r
t
r
r
r
z
z
r r
g
1 r
p
z t
r
z r
r
z
z
工程流体力学 第3章 理想流体动力学基础-2
z
2
三式相加，
（v2 vx2 vy2 vz2）
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
( p
dx
p
dy
p
dz)
v2 d(
)
x y z
2
稳定流下：dp p dx p dy p dz x y z
质量力只有重力：X Y 0, Z g
不可压缩流： const
伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》 ——“流速增加，压强降低” 3.5.1 理想流体沿流线的伯努利方程 1. 伯努利方程的推导
欧拉运动方程＋四个假设
2020年1月10日
FESTO气动中心
（1）定常流动 （2）沿流线积分 （3）质量力有势 （4）均质不可压缩
2020年1月10日
FESTO气动中心
2020年1月10日
取z坐标轴的指向重力方向相反，并设z 轴与s切线的夹角为α ，于是s切向的质 量力分量可以表示为
对于不可压缩流体，密度ρ是常数
方程沿曲线坐标s积分后就得到
2020年1月10日
FESTO气动中心
2020年1月10日
FESTO气动中心
3.6 压强沿流线法向的变化
沿流线法向取坐标轴r，设该轴与z轴之间的夹角为β ，并且r轴的零点位于流 线的曲率中心。设流体质点在法向的加速度为ar，在定常运动中， ar就是与r 轴方向相反的向心加速度，所以沿流线法向的运动方程为
水泵、风机、水轮机等叶轮机械都是运用流体作为工作介质来 实现能量转换的。
流体在叶轮机械中沿叶片间的通道做内、 外方向的运动，另一方面，它还随叶轮一 起以等角速度沿圆周方向流动。在固定坐 标系中，流体机械中的流动较为复杂，分 析起来非常困难。如果采用与叶轮一起旋 转的动坐标系，则流动问题得到简化，分 析起来就相对容易。
第3章-流体力学连续性方程微分形式
3、质量力只有重力，即X=Y=0，Z= -g
4、有势流动：
， ， ux uy uy uz ux uz
y x z y z x
I Xdx Ydy Zdz -gdz
II 1 (p dx p dy p dz) d p
t
dxdydz
• 流体的连续性微分方程的一般形式：
(u ) x
(u ) y
(u ) z
0
t x
y
z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
缩流体。（不可压 缩流体
t
0
）
第三节 流体动力学基本方程式
4
（1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程
z x x 2
y 2
z 2
d(u2 ) 2
由以上得： gdz d ( p ) d (u2 )
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
p 0 t
<II>= 1 dp
第四节 欧拉运动微分方程的积分
4、有势流动：
， ， ux uy uy uz ux uz
y x z y z x
I Xdx Ydy Zdz -gdz
II 1 (p dx p dy p dz) d p
t
dxdydz
• 流体的连续性微分方程的一般形式：
(u ) x
(u ) y
(u ) z
0
t x
y
z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
缩流体。（不可压 缩流体
t
0
）
第三节 流体动力学基本方程式
4
（1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程
z x x 2
y 2
z 2
d(u2 ) 2
由以上得： gdz d ( p ) d (u2 )
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
p 0 t
<II>= 1 dp
第四节 欧拉运动微分方程的积分
理想流体动力学 欧拉运动微分方程
k tlldt kt ll
l dk k tlll k dt t 由 2出去的动量 由1进来的动量
单位时间内从 1 进来的动量
v (v n ) d
1
n
控制面的外法线单位矢量
单位时间内从 2出去的动量
dk v (v n)d v (v n )d v (v n )d dt 2 1
定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和
压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论：
实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
理想流体动力 学
伯努利方程的应用：
一、小孔口出流
求流量
截面Ⅰ：z1 h p1 p0
U1 0
截面Ⅱ：z2 0 p2 p0 , U2 U ? Ⅰ,Ⅱ截面列伯氏方程：
v y 1 p vx vy vz Y t x y z y v y v y v y
（4-2）
v z v z v z v z 1 p vx vy vz Z t x y z z
矢量
dv 1 F p dt
即为理想流体的 欧拉运动微分方程式。
(通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 下的定常无旋运动
V2 z C 2g p
(通用常数)
理想流体动力 学
§４-３伯努利积分式及其应用
——欧拉方程在定常运动沿流线的积分
一、推导过程： 假设条件： （１）理想不可压缩，质量力有势； （２）定常运动； （３）沿流线积分。
理想流体动力 学
p0 p0 U 2 h 0 0 2g
4-5第4讲 理想流体运动微分方程及其积分
p du u u u u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y u v w y dt t x y z p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
V12 p1 V22 p2 z1 z2 2 g g 2 g g
（3-22）
即单位重量流体的机械能是守恒的（总水头是不变的） ， （3-21）式的物理意义就是机械能守 恒，故又称为能量方程。 2 ·
V2
流线
V1
1 ·
z1
z2
基准线
图 3-12 沿流线上机械能守恒
注意 1：伯努利方程的使用条件如下： (1) 流体为理想流体 (2) 流动为定常流动 (3) 流体是不可压缩的 (4) 只有重力场，质量力只有重力 (5) 沿一条流线。 沿不同的流线，常数的值一般是不相同的。 注意 2：伯努利方程表示，沿一条流线单位质量流体的位能、压能和动能之和为常数。 这是机械能守恒在流体力学中的体现，也是伯努利方程的物理意义。 注意 3：对于水流而言，如果某点的压强低于水的汽化压强，则会产生气泡，发生了汽 化现象，此时方程（3-21）就不再适用了。 有几个常用的名称介绍如下：
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
有
V 2 gy 0 g (h y ) 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度的关系为
V 2 gh
（3-24）
例3-2 设水流以速度 V 在封闭管道中匀速流动如图 3-15 所示， 试求水流速度 V 与两管 （直管与折管）中液面高度差∆h 的关系。 ∆h h1
（3）根据牛顿第二定律列方程
微元流体在表面力和质量力的作用下运动，其三个加速度分量分别为 由牛顿第二运动定律，沿 x 方向的运动方程为
工程流体力学 理想流体流动的基本规律
同理： p=p（x,y,z,t） ，ρ=ρ(x,y,z,t)
理想流体流动的基本规律
欧拉法
描 述 流 体 流 动 的 方 法
着眼于空间点，在空间的每一点上描 述流体质点运动随时间的变化规律。
加速度：
u u u u ax u v w t x y z ay v v v v u v w t x y z
静水头
p z g
总水头线
u12 2g
u 22 2g
静水头线
能 量 守 恒 定 律
总水头
p2 g
u2 2g
p
g
z C
p1 g
z2
z1
基 准 面
伯努利方程几何意义：
对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线单位重量流体 的位置水头、压力水头和速度水头之和为常数。即总水头线是与基准面相 平行的水平线。
流线的性质： 1 流线不能相交 2 流线只能是光滑的曲线 3 靠近固体壁面的流线通常与壁面平行 4定常流场中流线的形状不随时间而变化 5 非定常流场中，同一点在不同时刻的流线是不同空间曲线。
理想流体流动的基本规律
流线图
迹 线 与 流 线
理想流体流动的基本规律
三、流管 流束 总流
在流场中作一非流线且不自相交的封闭曲线，在某一瞬时通过曲线 上的流线构成一管状表面,称流管。
理想流体流动的基本规律
可压缩流体非定常三元流动的连续方程
质 量 守 恒 定 律
( u ) ( v) ( w) 0 x y z t
对定常流动
( u ) ( v) ( w) 0 x y z
对不可压流体，
u v w 0 x y z
工程流体力学笔记3
第三章 流体运动学与动力学基础§3.1 研究流体流动的方法一、拉格朗日法1、方法概要：着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。
2、研究对象 ：流体质点3、运动描述流体质点速度： 流体质点坐标：流体质点加速度： 二、欧拉法1、方法概要 流场：充满运动流体的空间。
着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的运动特性。
2、研究对象 ：流场 3、运动描述压强场： 流速场：密度场： 其他物理量（N ）场： 4.加速度及其他物理量的时间变化率（1）加速度或： 当地加速度。
表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；迁移加速度。
表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。
例：一容器的出水管中有A 、B 两点，试分析当容器的水位保 持不变（恒定）和水位随时间变化（不恒定）时，流经A 、B 处的质点欧拉加速度。
解 设经Δt 时段后，原在A 、B 处的质点 分别运动到A ′、B ′位置，那么 1、在水位恒定的情况下：（1）A →A ' 不存在时变加速度和迁移加速度。
（2）B →B ' 不存在时变加速度，但存在迁移加速度。
2、在水位变化的情况下：（1）A →A ' 存在时变加速度，但不存在迁移加速度。
（2）B →B ' 既存在时变加速度，又存在迁移加速度。
⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x dt dz u dt dy u dt dx u z y x === ，，222222 dt zd a dt y d a dt x d a z y x ===，，⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t z yx u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x ),,,(t z y x p p =),,,(t z y x ρρ=),,,(N N t z y x =dtdz z u dt dy y u dt dx x u t u dt du a x x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=dt dz z u dt dy y u dt dx x u t u a dt dz z u dt dy y u dt dx x u t u a dtdz z u dt dy y u dt dx x u t u a z z z z z y y y y y x x x x x u u t u a )(∇⋅+∂∂=：t u ∂∂：u u )(∇⋅（2）其他物理量的时间变化率密度： §3.2 研究流体运动的若干基本概念一、恒定流动和非恒定流动1. 恒定流动流动参量不随时间变化的流动。
运动微分方程-理想流体流动
du1 L P 2 2 g P u1 ( u1 ) 1 2 d 1 U U LU 3LU
du1 L P 2 2 g P u1 ( u1 ) 1 2 d 1 U U LU 3LU
准数形式的动量传递方程为：
du1 (e y ) 1 2 1 EuP u1 ( u1 ) 1 d 1 Fr Re 3 Re
(2)准数形式的能量传递方程
采用同样方法对能量传递方程无量纲化，可得准数形式 的能量传递方程：
dT1 1 2T1 d 1 Re Pr
普朗特（Prandtl）准数为： 流体的热扩散系数为：
v cP Pr a k k cP
1.3.5.3 相似原理 相似原理包括以下三方面的内容： (1)两个相似系统，它们的同名准数必定相等。 (2)属于同一系统的各准数之间存在着一定的函数关系，这些 函数关系将由描述现象的微分方程式决定。
作用在控制体 中流体合外力
质量力
表面力
dux 2u x 2u x 2u x P Fbx ( 2 2 2 ) d x x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 x x y z 3 x x 2u y 2u y 2u y P Fby ( 2 2 2 ) d y x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 y x y z 3 y y du y duz P 2u z 2u z 2u z Fbz ( 2 2 2 ) d z x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 z x y z 3 z z
热传导过程服从傅里叶定律。
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p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2 2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2 2
1 6
3 p x 3
dx 3 2
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
第四节 理想流体的运动微分方程
知识点
理想流体的运动微分方程
第四节 理想流体的运动微分方程
3.4 理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向 2、表面力： 切向应力＝0（理想流体）
p 1 p ห้องสมุดไป่ตู้x 和
2 x
p 1 p dx 2 x
第四节 理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
dxdydz
Du Dt
1 p Du
f x x Dt
1 p Dv
f y y Dt 1 p Dw
f z z Dt
理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
第四节 理想流体的运动微分方程
fx
1
p x
Du Dt
1 p Dv
f y y Dt
fz
1
p z
Dw Dt
理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程
fx
1
p x
u t
u
u x
v
u y
w u z
1 p v v v v
fy
y
t
u x
v y
w z
fz
1
p z
w t
u
w x
v
w y
w
w z
法向应力＝压强
p p dx x 2
x轴正方向
p p dx x 2
x轴负方向
第四节 理想流体的运动微分方程
图 3-15 推导欧拉运动微分方程用图
第四节 理想流体的运动微分方程
作用在六个平面中心点上的静压强可按泰（G.I.Taylor） 级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点 上的静压强分别为：