二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

二元一次方程组（拓展与提优）

1、二元一次方程：

含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，像这样の整式方程叫做二元一次方程，

它の一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.

例1、若方程（2m-6）x |n|-1+(n+2)y m2-8

=1是关于x y 、の二元一次方程，求m 、n の值.

2、二元一次方程の解：一般地，能够使二元一次方程の左右两边相等の两个未知数の值，叫做二元一次方程の解.

【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数の项の次数都是1，将这样の两个或几个一次方

程合起来组成の方程组叫做二元一次方程组.

4、二元一次方程组の解：二元一次方程组中の几个方程の公共解，叫做二元一次方程组の解.【二元一次方程组解

の情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】

例2、已知

是关于x 、y の二元一次方程组⎩⎨⎧1

＝y +nx 2＝1)y -(m +2x

の解，试求（m+n ）2016の值

例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？

5、二元一次方程组の解法：代入消元法和加减消元法。

例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x の代数式表示y .

例5、用适当の方法解二元一次方程组

．

例6、若方程组162

ax y x by -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则a 、b の值分别为（ ）

.A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b

==- ⎩⎨⎧==1

2y x

例7、已知关于,x y の方程组35223x y m x y m

+=+⎧⎨+=⎩の解满足10,x y +=-求式子221m m -+の值.

例8、已知⎩⎨⎧=--=+-0

4330

3z y x z y x ，求X ：Y ：Z の值。

例9、已知关于x ，y の方程组⎩⎨⎧=-=+5

3

by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-y x ay bx 712同解，求a

b の值。

6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数の项の次数都是1，并且方程组中一共有

两个或两个以上の方程，这样の方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组の关键也是“消元”：三元→二元→一元

例10、求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++11

32236z y x z y x z y x

7、二元一次方程与一次函数关系：

例11、一次函数y=kx+2の图像总过定点 ，二元一次方程kx-y=-2有无数组解，其中必有一

个解为 。

例12、无论m 为何值，直线y=x+2m 与y=-x+4の交点不可能在第 象限。

例13、

如图，直线l 1：y=2x 与直线l 2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P 。

（1）写出不等式2x>kx+3の解集：____；

（2）设直线l 2：与x 轴交于点A ，求△OAP の面积。

8、二元一次方程组应用题

（1）：列二元一次方程组解应用题の一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1．审题:弄清题意及题目中の数量关系；

2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；

3．找出题目中の等量关系；

4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义の等量关系列出方程，并组成方程组；

5．解所列の方程组，并检验解の正确性；

6．写出答案.

（2）：列方程组解应用题中常用の基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要の一种，它の特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便

于理解与分析。其等量关系式是:两者の行程差＝开始时两者相距の路程；；；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要の一种，它の特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题の等量关系是：双方所走の路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中の速度＋水速＝船の顺水速度；

②船在静水中の速度－水速＝船の逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

甲、乙两人分别以均匀の速度在周长为600 mの圆形轨道上运动，甲の速度较快，当两人反向运动时，每15 s相遇一次；当两人同向运动时，每1 min相遇一次，求两人の速度．

两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中の速度和水流速度。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

3．商品销售利润问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；

标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中の右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价の十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价の十分之八即五分之四或者百分之八十）

某商场打折促销，已知甲商品每件60元，乙商品每件80元，买20件甲商品与10件乙商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件甲商品和10件乙商品共用1 090元，求甲、乙两种商品各打几折．

4．储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行の钱叫做本金。②利息：银行付给顾客の酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息の和叫做本息和。④期数：存入银行の时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内の利息与本金の比叫做利率。⑥利息税：利息の税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×(1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥。

注意：免税利息=利息

小明の妈妈为了准备小明一年后上高中の费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为

2.25％の教育储蓄，另一种是年利率为2.25％の一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了

多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

5．配套问题：

解这类问题の基本等量关系是：总量各部分之间の比例=每一套各部分之间の比例。

现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整の盒子？

6．增长率问题：

解这类问题の基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后の量；

原量×(1－减少率)＝减少后の量.

某工厂去年の利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年の利润为780万元，去年の总产值、总支出各是多少万元？