清华大学蛋白质晶体学课件

立方面心是一种常见的金属晶体结构,例如Ni，Cu， Pt等，其中每个原子都是一个结构基元，都可被抽象 成一个点阵点.
六方Mg金属晶体
CsCl
CsCl
NaCl
晶体结构是在每个点阵点上安放一个结构基元。 晶体结构 = 结构基元@点阵
晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的. 只要从点阵 中取一个点阵单位即格子，就能认识这种点阵.
注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因HermannMauguin符号，括号内为熊夫利斯Schönflies 符号。
C n次旋转轴
n
基本操作 Cˆn1
Cn 轴对应的操作一共有n个，即： Cˆn1, Cˆn2 , Cˆnn1, Eˆ
1
Cˆ31
3
Cˆ31
2
Cˆ31
1
2
31
2
3
1
2
3
Cˆ32 Cˆ31Cˆ31
2k
n
2k
n 0
sin 2k
n
cos 2k
n 0
0
0
1
如果2（C2）轴与 z 轴重合，其矩阵表示为:
等效点系
晶胞中对称元素按照一定的方式排布。在晶胞 中某个坐标点有一个原子时，由于对称性的要 求，必然在另外一些坐标点也要有相同的原子。 这些由对称性联系起来，彼此对称等效的点， 称为等效点系。
• 对称操作—能使几何构型复原的动作。 如：旋转、反映、反演等
• 对称元素—进行对称操作所依据的几何要素。
对称操作所依据的几何要素 （点、线、面及组合）
旋转操作和旋转轴
旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一定的角度使分子复 原的操作，旋转依据的对称元素为旋转轴。 旋转轴：绕某轴反时针旋转q =360/n度， n称为旋转轴的次数 (或重数)，符号为n (Cn)。
• 6（C6）旋转轴永远与z轴平行。 • 任意点（x, y, z）在6（C6）的作用下， • 运动到（x-y, x, z）的位置，如下图 所示。即:
wk.baidu.com'
x 1 1 0 x
y' 6[001] y 1 0 0 y
z'
z 0 0 1 z
1 1 01 1 0 0 1 0 62[001] 1 0 0 1 0 0 1 1 0
与
平
面
点
阵
石墨层
小黑点为平面点阵. 为比较二者关系, 暂以 石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.
为什么不能将每个C原子作为一个结构基元？
NaCl (100)晶面
三
维
周
期
性
结
构
与
Mn
空 间
(立方简单)
Li Na K Cr Mo W…...
(立方体心)
点
阵
以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.
如果4（C4）轴与 z 轴重合，其矩阵表示为:
x y
(1) (1)
4[001]
x y
0 1
1 0
0 x y 0 y x
z (1)
z
0
0
1
z
z
x (2) y (2) z (2)
4
2
[001]
x y z
1
0
0
0 1 0
100
x y z
x ' x cosq y sinq
即 y ' x sinq + y cosq
z' z
x ' x cosq y sinq
x ' x cosq y sinq + z 0
y ' x sinq + y cosq y ' x sinq + y cosq + z 0
z' z
z ' x0 + y 0 + z 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
6
3
[001]
1 0
0 1
0 0 ;
0
0 1
1 1 0
6
4
[001]
1
0
0 ;
0
0
1
0 1 0
6
5
[001]
1
1
0
0
0 1
3（C3）旋转轴
晶体结构中存在的对称性必须与点阵的周期性相适应，因此 晶体中的旋转轴的轴次n只限于n=1, 2, 3, 4, 6.
（1）晶体对称元素，等效点系，点群和空间群等几何晶 体学内容；
（2）X-射线的发生和衍射测量装置； （3）蛋白质晶体生长； （4）晶体X-射线衍射原理； （5）结构因子； （6）同晶置换法和反常散射方法求解相角问题原理； （7） 相角优化； （8）分子置换法； （9）直接法在蛋白质晶体学中的应用； （10）蛋白质晶体结构修正； （11）蛋白质晶体结构质量检测。
x y z
x y z
(3) (3) (3)
4
3
[001]
x y z
0 1 0
1 0 0
100
x y z
y x z
等效点坐标为： (x,y,z), (-y, x, z), (-x, -y, z), (y, -x, z).
我们在六角坐标系中讨论3，6重轴 ,六角坐标系 中X，Y轴交角为120，且与Z轴垂直.
取z轴为旋转轴，进行如下操作：
z z P’(x’,y’,z’)
P x, y, z Cˆnk P ' x ', y ', z '
P(x,y,z)
显然：
r’
q
x
r
y
P P ' r r ', z z '
假设旋转的角度为q，可得：
x r cos y r sin
x' r cos +q r cos cosq r sin sinq y ' r sin +q r sin cosq + r cos sinq
晶胞
晶胞是一个大小和形状与晶格相同的平行六面体，既包括 晶格的形式与大小，也包括对应于晶格结点的结构基元内 容。它代表了晶体结构的基本重复单位。
晶胞的两个基本要素
晶胞的大小和形状
用晶胞参数来表示
晶胞
晶胞中各原子的坐标位置
用分数坐标来表示
晶胞参数
向量a、b、c的长度及其间的夹角
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表。x、y、z就是分数坐
表示成矩阵形式：
x'
x cosq
y
'
D
Cˆnk
y
sinq
z '
z 0
sin q cosq
0
0 x
0
y
1 z
由此可得旋转操作的矩阵表示为：
cosq
D(Cˆnk
)
sin
q
0
sinq cosq
0
0 0 1
q 2k
n
D(Cˆnk
)
cos sin
如何从点阵中取出一个点阵单位呢？
直线点阵与素向量、复向量 连接直线点阵任意两个相邻阵点间的向量a,称为素向量。
平面点阵与平面格子
平面点阵与平面格子
净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点阵点者是
复格子；平面素格子、复格子的取法都有无限多种。所以需 要规定一种 “正当平面格子”标准。
正当平面格子的标准
aa≠∧bb≠120。
空间点阵与空间格子
空间点阵与空间格子
正当空间格子的标准: 1. 平行六面体 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少
空间格子有7种形状，14种型式
空间格子净含点阵点数：
每个格子顶点位置的阵点为八个格子所公用，每个格子占1/8； 每个格子棱心位置的阵点为四个格子所公用，每个格子占1/4； 每个格子面心位置的阵点为两个格子所公用，每个格子占1/2； 每个格子内部位置的阵点为该格子所独用，每个格子占1。
晶体具有如下性质： • 规则外形： 理想环境中生长的晶体应为凸多边形
（自范性）。
F(晶面数)+V(顶点数)=E(晶棱数)+ 2
6+8=12+2
8+6=12+2
晶体具有如下性质：
• 晶体的对称性：理想晶体的外形与其内部的微观 结构是紧密相关的，都具有特定的对称性，而且 其对称性与性质的关系非常密切。
International Tables for Crystallography Volume F: Crystallography of Biological macromolecules
晶体的定义及其性质
晶体是原子，离子或分子按照一定的周期性在空 间排列所形成的具有一定规则几何外形的固体。
按周期性规律重复排列
晶体具有如下性质：
• 晶体对X-射线的衍射：晶体的周期性结构使它成 为天然的三维光栅，周期与X光波长相当, 能够对 X光产生衍射。
1912年，德国物理学家劳厄（Max von Laue）发现了X-射线衍射现象，证明了X-射线 的波动性和晶体内部结构的周期性，并第一次 对晶体的空间点阵理论作出了实验验证，进而 使得X-射线晶体学成为在原子水平研究三维物 质结构的首枚探测器。
无定形态物质(玻璃体、非晶态物质)内部排列杂乱无 章，或仅仅是短程有序，没有周期性规律。
晶体具有如下性质：
• 均 匀 性： 晶体内部各个部分的宏观性质是相同 的，如有相同的密度、相同的化学组成。
• 各向异性： 晶体种不同的方向上具有不同的物理 性质。
石墨
石墨晶体在平行于石墨层 方向上比垂直于石墨层方 向上导电率大一万倍。
参考书
X-射线晶体学基础 (2nd edition) 晶体结构的周期性和对称性
梁栋材 周公度
Fundamentals of Crystallography (2nd edition) C. Giacovazzo, et al.
Principles of Protein X-ray crystallography Jan Drenth
蛋白质晶体学
王新泉 医学科学楼C226 62789401 xinquanwang@mail.tsinghua.edu.cn
王佳伟 医学科学楼C328 62782124 jwwang@mail.tsinghua.edu.cn
本课程将主要采取课堂讲述的方式，介绍蛋白质晶体
学的基本概念，原理和实验方法。主要内容包括：
Cˆ33 Cˆ31Cˆ31Cˆ31
3
C31
1
C32
2
1
E
1
2
3
2
C32
3
1
2
3
C31
Cˆ31Cˆ32 Cˆ32Cˆ31 Eˆ
操作和逆操作
逆操作: 若 Aˆ Bˆ BˆAˆ Eˆ,则 Bˆ 为 Aˆ 的逆，反之 Aˆ 也为 Bˆ 的逆。
写为 Aˆ Bˆ 1 Bˆ Aˆ 1
旋转操作的矩阵：
镜面 s 基本操作 sˆ
s 对应的操作有两个
sˆ1,sˆ 2 Eˆ
可以知道
sˆ n
sˆ
Eˆ
n 奇数 n 偶数
当分子中同时含有对称轴和镜面时，根据对称轴与镜 面的关系，可以对镜面进行分类
s ：含主轴的面
1. 平行四边形 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少
平面格子有4种形状，5种型式（其中矩形有带心与不带心两种 型式）：
正方形格子 a
b a＝b a∧b=90°
矩形格子 a
b aa≠∧bb=90。
矩形带心格子 a
b
aa≠∧bb=90。
六方格子 a
b
aa=∧bb=120。
平行四边形格子 a
b
一 维 周 期 性 结 构 与
直 线 点 阵
一 维 周 期 性 结 构 与
直 线 点 阵
点阵的数学定义
按连接其中任意两点的向量将所有 的点平移而能复原的一组无限多个点.
Cu （111面）密置层（每个原子就是一个结构基元，对应
二
一个点阵点）：
维
周
期
性
结
构
Cu （111面）的点阵. 红线画出的是一个平面格子：
两年后，这一发现为劳厄赢得了1914年诺贝 尔物理学奖 。
点阵理论
晶体的周期性是我们能够把它抽象为“点阵”来 研究，将晶体中重复出现的最小单元称为为结构基元 (structural motif),结构基元的化学组成相同、空 间结构相同、排列取向相同、周围环境相同。用一个 数学上的点来代表结构基元, 称为点阵点。整个晶体 被抽象成一组点，称为点阵。
Px, y, z iˆ P'x', y', z' P' x,y,z
反演操作的表示矩阵：
D
iˆ
1 0
0 1
0 0
0 0 1
反映操作和镜面
反映操作是使图形中的每一点都反映到该点到镜面垂 线的延长线上镜面另一侧等距离处。反映的对称元素 是镜面，符号为m (s)。 为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面 的法线。如法线为[010]的反映面，可记为m [010]。
标，它们永远不会大于1。
Z
分数坐标分别为：
Cs＋: CI﹣:
Y X
CsCI晶胞
Cs
+
:
1 2
1 2
1 2
CI : 000
具体的实际结构 晶体 (结构基元) (晶棱) (晶面) 晶胞
点阵 抽象的数学模型 (点) (线) (面) 格子(晶格)
对称操作和对称元素
• 对称性—经过不改变几何构型中任意两点距离的动作 后，和原几何构型不可区分的性质。
反演操作和对称中心
反演操作是从图形中任一点至对称中心连一直线，将此线 延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相应点。 反演依据的对称元素为对称中心。符号为 (i)。
对称中心 i 基本操作 iˆ
i 对应的操作有两个 iˆ1,iˆ2 Eˆ
可以知道
iˆn
iˆ Eˆ
n 奇数 n 偶数
反演操作： 取对称中心位于原点