河南省郑州市2016届高三数学第一次质量检测试题理
河南省郑州市2016届高三第一次模拟考试数学理资料
19. （本小题满分 12 分） 如图，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，
BAD
1 ADC 90 ， AB AD CD ， BE DF .
2
（Ⅰ）若 M 为 EA 中点，求证： AC ∥平面 MDF ；
（Ⅱ）求平面 EAD 与平面 EBC 所成二面角的大小 .
E
F
M
D
C
A
B
20. （本小题满分 12 分） 已知点 M 1,0 ， N 1,0 ，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 3 倍 . （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ） 已知 m 0 ，设直线 l1 : x my 1 0 交曲线 E 于 A,C 两点， 直线 l 2 : mx y m 0 交曲线 E 于 B, D 两点， C , D 两点均在 x 轴下方 .当 CD 的斜率为 1 时，求线段 AB 的长 .
6
13. 二项式 x 6 的展开式中， x 2 的系数是 _______. x
14. 若不等式 x 2 y 2 2 所表示的平面区域为 M ，不等式组
xy0 x y 0 表示的平面区域为 y 2x 6
N ，现随机向区域
N 内抛
一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率为 ________. 15. ABC 的三个内角为 A, B,C ，若 3 cos A sin A tan
3 sin A cos A
7 ，则 2cos B sin 2C 的最大值为 ________.
12
16. 已知点 A 0, 1 ， B 3,0 ， C 1,2 ，平面区域 P 是由所有满足 AM AB AC (2
m,
2
n) 的点 M 组成的区域，若区域 P 的面积为 16 ，则 m n 的最小值为 ________.
河南省郑州市第一中学2016届高三上学期第一次联考 数学(理)试题(word版)
郑州一中教育集团2016届高三第一次联考理科数学试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间 120分钟。
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 已知集合A={x | 2x >1},B={ x |x<1},则A B ( )A ．{ x| 0<x<1}B ．{ x |x> 0}C ．{ x |x>1}D ．{x|x<1} 2. 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若复数z 满足(2-5i)z =29，则z=（ ）A. 2+5iB. 2-5iC. -2+5iD. -2-5i 3. 已知命题p ：“存在 x 0 ∈[1,+∞) ，使得(log 23) x0 ≥1”，则下列说法正确的是（ ） A.p 是假命题；⌝p:“任意x ∈[1,+∞)，都有(log 23) x <1”B.p 是真命题；⌝p:“不存在x 0 ∈[1,+∞)，使得(log3) x0 < 1”C.p 是真命题；⌝p:“任意x ∈[1,+∞)，都有(log 23) x <1”D.p 是假命题；⌝p:“任意x 0 ∈（-∞,1)，都有(log 23) x <1 ” 4. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其 直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ） A ．203π B ．6π C ．103π D ．163π 5. 设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=（ ）A ．8B ． 16C ．24D ．36 6. 已知点P(x,y)是抛物线y 2=4x 上任意一点，Q 是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点，则|PQ|+x 的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D.27. 若在(3x 2-312x ) n的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ） A ．1352- B ． -135 C ．1352D ．1358. 若实数x,y 满足不等式组 ，且x+y 的最大值为9，则实数m=（ ）A ．1B ． 1C ．2D ． 29. 已知偶函数y=f(x),x ∈R 满足：f(x)=x 2-3x(x ≥0)，若函数g(x)= ，则y= f(x)-g(x)的零点个数为 （ ）A.1B.3C.2D.410. 已知实数m,n ，若m ≥0,n ≥0,且m+n=1，则的最小值为( )A ．14 B ．415 C ．18 D ．1311. 如图，已知椭圆C ：+y=1，双曲线2222:1x y C a b-=（a>0，b>0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （ ）A B ．5 C D ．712. 已知数列{a n }共有 9 项，其中，a 1=a 9=1，且对每个 i ∈{1,2,….8}，均有，则数列{a n }的个数为( )A ．729B ．491C ．490D ．243第Ⅱ卷 （共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22 ~24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 执行右面的程序框图，若输出的结果为12，则输入的实数x 的值是____________.14. 若随机变量～ N(2,1) ，且P(3)＝0.1587，则 P(1)= __________.15. 已知四面体P-ABC ，其中ABC 是边长为 6的等边三角 形，PA 平面ABC ，PA=4，则四面体P-ABC 外接球的表 面积为________.16. 对于函数()f x ，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每 一个值，都有()f x =-f (2a-x) ，则称()f x 为准奇函数.给定 下列函数：①1()1f x x =- ；②2()(1)f x x =- ；③2()f x x = ；④()f x =cosx ，其中所有准奇函数的序号是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分） 在ABC 中，角ABC 的对边分别为a,b,c ，向量m=(a+b,sinA-sinC),，向量n=(c,sinA-sinB)，且m//n；（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC中点为D，且AD= ；求a+2c的最大值及此时ABC的面积。
河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试理科数学(含答案)
河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试理科数学（时间120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}*N 4U x x =∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()UA B =（ ）A.{}1,2,3B. {}1,2,4C. {}1,4,3D. {}2,4,32. 设1z i =+（i 是虚数单位），则2z z-=（ ）A. iB. 2i -C. 1i -D.03.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 3cos b aA B =，则cos B =（ ） A. 12-B.12C. 32-D.324.函数()cos x f x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A.10x y ++= B. 10x y +-= C. 10x y -+= D.10x y --=5.已知函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,2π上的零点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46. 按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）A.7i >B. 7i ≥C. 9i >D. 9i ≥7. 设双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线214y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）开始结束是否1i =0S =3iS S =+2i i =+?S 输出A. 225514x y -=B. 225514y x -=C. 225514x y -= D.225514y x -= 8. 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20166loga =（ ）A.1B.2C. 2D. 1-9. 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）A.23 B.43C. 83D. 2 10.已知函数()4f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a ≤B. 1a ≥C. 2a ≤D. 2a ≥11.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 22B. 23-C. 52-D. 63-12.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式()()220f x af x b +-<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ） A.2 B.3 C.5D.8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13-第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.二项式66x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_______.14.若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.15.ABC ∆的三个内角为,,A B C ，若3cos sin 7tan 123sin cos A AA A π+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则2cos sin2B C +的最大值为________.16.已知点()0,1A -，()3,0B ，()1,2C ，平面区域P 是由所有满足AM AB λ=+AC μ(2,m λ<≤ 2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二无雨有雨无雨有雨收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请工人的成本为a 万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.19.（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=，12AB AD CD ==，BE DF ⊥.（Ⅰ）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ； （Ⅱ）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小.EF D C A BM20.（本小题满分12分）已知点()1,0M -，()1,0N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方.当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长.21.（本小题满分12分）设函数()21ln 2f x x m x =-，()()21g x x m x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数.请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ∆的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F .（Ⅰ）求证：EC EF =；（Ⅱ）若2ED =，3EF =，求AC AF ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为32212x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =--+ （Ⅰ）解不等式()1f x >；（Ⅱ）当0x >时，函数()()210ax x g x a x-+=>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围.ABEFCD河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试理科数学 参考答案一、选择题ADBCC BDA AA DD 二、填空题 13.60； 14.;24π 15. 3;216.42 2.+ 三、解答题（共70分） 17.⑴解：由已知条件:1(1)221,nS n n n=+-⨯=-22n S n n ∴=------2分 当2n ≥时，()()221=22114 3.-⎡⎤=------=-⎣⎦n n n a S S n n n n n当1n =时，111,a S ==而4131⨯-=，43n a n ∴=-，------6分 ⑵解：由⑴可得()(1)(1)43,=-=--n n n n b a n -----7分 当n 为偶数时，()1591317......4342,2n nT n n =-+-+-++-=⨯= ---9分 当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)2 1.n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+ ---11分综上，2,(2,),21,(21,).N N **⎧=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩n n n k k T n n k k --------12分18.⑴解：设下周一有雨的概率为p ，由题意，20.36,0.6p p ==， -------2分 基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36,(15)0.24,(10)0.24,(7.5)0.16,P X P X P X P X ======== 所以基地收益X 的分布列为：-------6分基地的预期收益()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以，基地的预期收益为14.4万元.---------8分 ⑵设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），--------10分()() 1.6E Y E X a -=-，X 2015 10 7.5 p 0.36 0.24 0.24 0.16综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.------12分19.⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .-----4分⑵解：因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，------6分以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设,DA a DE b ==，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ，(,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-，因为BE DF ⊥，所以22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅==--⋅=-=，2b a =，--8分设平面EBC 的法向量(,,)m x y z =， 由20,m BE ax ay az m BC ax ay⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩ 得到m 的一个解为(1,1,2)m =，注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)n =，--10分 而1cos ,,2||||⋅<>==⋅m n m n m n 所以，平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60.12分20.⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，2222(1)3(1)x y x y ++=-+， -----2分 整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，为所求.-----4分⑵解：由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+，由2,y x y x t=-⎧⎨=-+⎩ ，解得点22(,)22t t P +-，-----6分由圆的几何性质，221||||||||2NP CD ED EP ==-，而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22|2|||()2t EP -=，解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-.由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x 解得21,2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或21,22 1.2⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩x y 不失一般性，设2222(1,1),(1,1)2222C D --+--， --9分 由22410,(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩消y 得：2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴ 方程⑴的两根之积为1，所以点A 的横坐标22A x =+， 又因为点22(1,1)22C --在直线1:10l x my --=上，解得21m =+， 直线1:(21)(1)l y x =--，所以(22,1)A +，--11分同理可得，(22,1)B -，所以线段AB 的长为22. --12分21.⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2()x mf x x-'=，当0m ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；--2分当0m >时，()()()x m x m f x x+-'=；当0x m <<时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减；当x m >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增.综上：当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；当0m >时，函数()f x 的单调增区间是(,)m +∞，减区间是(0,)m .----4分⑵解：令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数， ----5分 当0m =时，21(),02F x x x x =-+>，有唯一零点；当0m ≠时，(1)()()x x m F x x--'=-，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；--7分当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>，所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>， (22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点； ----9分当01m <<时，0x m <<或1x >时()0F x '<，1m x <<时()0F x '>， 所以函数()F x 在(0,)m 和(1,)+∞单调递减，在(,1)m 单调递增，意到ln 0m <， 所以()(22ln )02mF m m m =+->，而(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点. ---11分综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ---12分22.⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，∠=∠=EFC CDA ∠+∠BAE CBA ，AE 平分BAC ∠，所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =.---4分 ⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，所以CEA DEC ∆∆， 即2,CE DE EC EA EA CE DE==，---6分 由⑴知，3EC EF ==，所以92EA =， ---8分 所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=. ---10分23.⑴解：()π22cos 2cos sin 4ρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，----------2分 即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.----------5分⑵解：1C 的直角坐标方程为320x y ++=，由⑴知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离()2213233213d +++==+， ----------8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为33222++.----------10分24.⑴解：当2x >时，原不等式可化为211x x --->，此时不成立； 当12x -≤≤时，原不等式可化为211x x --->，即10x -≤<，11 / 11 当1x <-时，原不等式可化为211x x -++>,即1x <-，-----3分 综上，原不等式的解集是{}|0x x <．-----5分 ⑵解：因为1()121g x ax a x=+-≥-，当且仅当a x a =时“=”成立， 所以min ()21g x a =-，-----7分12,02,()3,2x x f x x -<≤⎧=⎨->⎩，所以()[3,1)f x ∈-，∴211a -≥,即1a ≥为所求．---10分。
河南省2016届高三数学下学期第一次联考试卷理含解析
河南省2016届高三数学下学期第一次联考试卷（理含解析）中原名校2015-2016学年下期高三第一联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（）A．B．C．D．2、函数的最小正周期为（）A．B．C．D．3、已知复数满足为虚数单位），则的共轭复数是（）A．B．C．D．4、“”是“点到直线的距离为3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5、已知为等差数列的前n项和，若，则（）A．47B．73C．37D．746、过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7、某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知时至时的销售额为90万元，则10时至12时销售为（）A．120万元B．100万元C．80万元D．60万元8、如图，在直角梯形中，为BC边上一点，为中点，则（）A．B．C．D．9、运行如图所示的程序，若输入的值为256，则输出的值是（）A．3B．-3C．D．10、已知的展开式中含与的项的系数的绝对值之比为，则的最小值为（）A．6B．9C．12D．1811、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．12、在数列中，，则（）A．数列单调递减B．数列单调递增C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、已知函数为偶函数，则实数的值为14、已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是15、设满足不等式，若，则的最小值为16、已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为三、解答题：（第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24为选做题，考生根据要求作答，）本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）在中，已知分别是角的对边，且满足。
河南省郑州市2016届高三第一次模拟考试数学理资料
a的通项公式；
1n
nba，求数列nb的前n项和nT.
（本小题满分12分）
.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
无雨 无雨 有雨 有雨
无雨 有雨 无雨 有雨
20万元 15万元 10万元 7.5万元
.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请
a万元.
20万元的概率为0.36.
,)m
(0,)m.----4分
解：令21
)()()(1)ln,0
Fxfxgxxmxmxx，问题等价于求函数()Fx的零点个数，
分
0m时，21
),0
Fxxxx，有唯一零点；当0m时，(1)()()xxmFxx，
1m时，()0Fx，函数()Fx为减函数，注意到3
0
F，(4)ln40F，所以()Fx有唯一零点；
.
C的直角坐标方程；
C上的动点M到曲线1C的距离的最大值.
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
21fxxx
1fx；
0x时，函数21
axxgxa
的最小值总大于函数fx，试求实数a的取值范围.
ABEFCD
2016年高三第一次模拟考试
参考答案
BDA AA DD
； 14.;
EAD与EBC所成锐二面角的大小为60….12分
⑴解：设曲线E上任意一点坐标为(,)xy，
2222
1)3(1)xyxy
-----2分
22
10xyx
22(2)3xy，为所求.-----4分
2ll ，且两条直线均恒过点(1,0)N，
E的圆心为E，则(2,0)E，线段CD的中点为P，则直线EP：2yx,设直线CD：yxt，
【全国百强校】河南省郑州市第一中学2016届高三上学期联考理数试题(原卷版)
河南省郑州市第一中学2016届高三上学期联考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}12>=x x A ，{}1<=x x B ，则=B A （）A ．{}10<<x xB ．{}0>x xC ．{}1>x xD ．{}1<x x2.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数. 若复数z 满足29)52(=-z i ，则z =（ ） A ．25i + B ．25i - C ．25i -+ D ．25i --3.已知命题p ：“存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02≥x”，则下列说法正确的是（） A ．p 是假命题；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x” B ．p 是真命题；p ⌝：“不存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02<x” C ．p 是真命题；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x” D ．p 是假命题；p ⌝：“任意)1,(-∞∈x ，都有1)3(log 2<x”4.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（） A ．π320 B ．π6 C ．π310 D ．π3165.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a （ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．366.已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则PQ d +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．27.若在nx x )213(32-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（） A ．2135- B ．-135 C ．2135 D ．1358.若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且x y +的最大值为9，则实数m =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-29.已知偶函数R x x f y ∈=),(满足：)0(3)(2≥-=x x x x f ，若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x xx x x g ，则)()(x g x f y -=的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．410.已知实数m ，n ，若0≥m ，0≥n ，且1=+n m ，则1222+++n n m m 的最小值为（） A ．41 B ．154 C ．81 D ．31 11.如图，已知椭圆111:221=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（） A ．5 B ．5 C ．17 D ．714212.已知数列{}n a 共有9项，其中，191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则数列{}n a的个数为（）A ．729B ．491C ．490D ．243第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.执行右面的程序框图，若输出的结果为21，则输入的实数x 的值是________.14.若随机变量)1,2(~N ξ，且1587.0)3(=>ξP ，则=>)1(ξP ____.15.已知四面体P ABC -，其中ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，4PA =，则四面体P ABC -外接球的表面积为________.16.对于函数f(x)，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f --=，则称f(x)为准奇函数.给定下列函数：①11)(-=x x f ；②2)1()(-=x x f ；③3)(x x f =；④x x f cos )(=， 其中所有准奇函数的序号是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量)sin sin ,(C A b a m -+=，向量)sin sin ,(B A c n -=，且∥：（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设BC 中点为D ，且3=AD ：求a+2c 的最大值及此时ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （Ⅲ）记X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径， C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，41tan =∠EAB . （Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE 体积最大时，求二面角D-AE-B 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知离心率为22的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 是圆1)1(22=+-y x 的圆心，过椭圆上的动点P 作圆的两条切线分别交y 轴于,M N （与P 点不重合）两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求线段MN 长的最大值，并求此时点P 的坐标.21.（本小题满分12分） 已知函数m mx x x f +-=ln )(. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 在),0(+∞∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：)1(1)()(+<--a a a b a f b f . 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点.（Ⅰ）求∠ADF 的度数；（Ⅱ）若AB=AC ，求AC ：BC.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty t x 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点. （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =. （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.高考一轮复习：。
2016届河南省郑州市高三第一次质量预测数学理试题(解析版)
河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试理科数学（时间120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（2016郑州一测）设全集*U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()U A B = ð（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}【答案】A【解析】注意全集U 是小于或等于4的正整数，∵{4}A B = ，∴(){1,2,3}U A B = ð． 2．（2016郑州一测） 设1i z =+（是虚数单位），则2z=（ ） A ．B ．2i -C ．1i -D ．0【答案】C【解析】直接代入运算：221i 1iz ==-+． 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin aA=，则cos B =（ ）A ． 12-B ．12C ．D ．【答案】Bsin a A =sin sin AA=．∴tan B =，0B π<<，∴3B π=，1cos 2B =．4．（2016郑州一测）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ． 1D ．【答案】C【解析】()cos sin xxf x e x e x '=-， ∴0(0)(cos 0sin 0)1k f e '==-=．5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2x f x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】画出1()2x y =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，∴()f x 在[0,2]π上有3个零点．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】135333273++=．7．（2016郑州一测）设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514x y -= D ．225514y x -= 【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．8． 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（ ） A ．1B ．2C ．D ． 1-【答案】A【解析】∵()86f x x x '=-+，∴140318a a ⋅=，∴220166a =， ∵20160a >，∴2016a =20161a =．9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A ．23B ．43C ．83【答案】A【解析】四面体的直观图如图， ∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=．10．（2016郑州一测）已知函数4()f x x x =+，()2xg x a =+，若11[,3]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】C【解析】∵1[,3]2x ∈，()4f x ≥=， 当且仅当2x =时，min ()4f x =．[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+．依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．11．（2016郑州一测）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．2C ．2-D ．【答案】D【解析】设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，∴42a m =+，2(2m a =．∴222)AF a m a =-=． ∵2221212AF AF F F +=，∴222224(21)4a a c +-=，∴29e =-e =-．12．（2016郑州一测）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨- <⎪⎩，若关于x 的不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】∵不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解， 当()0f x >时，则0a <，不合题意； 当()0f x <时，则2x >． 依题意22[(3)](3)0[(4)](4)0f af f af ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，∴9306480a a -<⎧⎨-≥⎩，∴38a <≤，故选D ．xy–1–2–3–4–5–6–7–8–912345678–1–2–31234二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．二项式62()x x-的展开式中，2x 的系数是_______． 【答案】60【解析】662166(2)(2)r rr r r r r r T C x x C x ---+=-=-，令622r -=，解得2r =，∴2x 的系数为226(2)60C -=．14．若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 【答案】24π【解析】12124382P ππ===⨯⨯．15．ABC ∆的三个内角为,,A B C7tan()12π=-，则2cos sin 2B C+的最大值为________． 【答案】32【解析】tantan743tan()tan()1243tan tan 143πππππππ+-=-+==-7tan()12π=-=∴sin cos A A =，∴4A π=．332cos sin 22cos sin 2()2cos sin(2)42B C B B B B ππ+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-1332(cos )222B =--+≤．16．已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+(2,m λ<≤2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________．【答案】4+【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==， ∵AM AB AC λμ=+ ，∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++．∴313x y λμλμ=+⎧⎨+=+⎩，∴318338x y x y λμ--⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩，∵2,2m n λμ<≤<≤，∴31283328x y m x y n--⎧<≤⎪⎪⎨-++⎪<≤⎪⎩，即1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩∴1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩表示的可行域为平行四边形，如图：由317313x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得(8,7)A ，由381313x y m x y -=+⎧⎨-+=⎩，得(32,2)B m m ++， (2)m =-,∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-的距离d =， ∴(2)16AB d m ⋅=-=，∴(2)(2)2m n -⋅-=， ∴2222(2)(2)()2m n m n -+-=-⋅-≤，∴2(4)8m n +-≥，4m n +≥+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由已知得1(1)221nS n n n=+-⨯=-， ∴22n S n n =-．当2n ≥时，2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．11413a S ==⨯-，∴43n a n =-，*n ∈N ．（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--． 当n 为偶数时，(15)(913)[(45)(43)]422n nT n n n =-++-++⋅⋅⋅+--+-=⨯=， 当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，综上，2,2,,21,21,.n n n k k T n n k k **⎧ =∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩N N18．（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【解析】（1）设下周一有雨的概率为p ， 由题意，20.36,0.6p p ==，基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==∴基地收益X 的分布列为：()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴基地的预期收益为14.4万元．（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．19．（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠= ，12AB AD CD ==，BE DF ⊥．（1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；（2）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小． 【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， ∴AC ∥平面MDF ． （2）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，∴DE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设DA a =，DE b =，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ，(,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-，∵BE DF ⊥，∴22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅=--⋅=-=，b =．设平面EBC 的法向量(,,)x y z =m ，则00BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即00ax ay ax ay ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则=m ， 注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)=n ，--10分而1cos ,||||2⋅<>==⋅m n m n m n ，FD MACBE y zxFD M AC B E N∴平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60 ．20．（本小题满分12分）已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N倍． （1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长． 【解析】（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=，整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求． （2）由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ， 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-, 设直线CD ：y x t =-+，由2y x y x t=-⎧⎨=-+⎩ ，得22(,)22t t P +-，由圆的几何性质，1||||2NP CD ==，而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22||EP =， 解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-．由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1 1.⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y不失一般性，设(11),(11)C D -，由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩， 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴方程⑴的两根之积为1，∴点A的横坐标2A x =∵点(11)C --在直线1:10l x my --=上，解得1m =+，直线1:1)(1)ly x =--，∴(2A ．同理可得，(2B -，∴线段AB 的长为21．（2016郑州一测）设函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，0m >． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '=当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，当x >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增．综上，函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是．（2）令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，(1)()()x x m F x x--'=-， 当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点． 当1m >时， 01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点．综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（2016郑州一测）如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ∆的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F ．（1）求证：EC EF =；（2）若2ED =，3EF =，求AC AF ⋅的值．【解析】（1）证明：∵ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠，∴ECF EFC ∠=∠，∴EC EF =．（2）∵ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠， ∴CEA ∆∽DEC ∆，即2,CE DE EC EA EA CE DE==， 由（1）知，3EC EF ==，∴92EA =， ∴45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=． 23．（2016郑州一测）已知曲线1C的参数方程为212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C的极坐标方程为)4πρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的动点M 到曲线C 的距离的最大值．（2）1C 的直角坐标方程为由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线1C 的距离 ∴动点M 到曲线1C 的距离的最大值为 A B E FC D24．（2016郑州一测）已知函数()21f x x x =--+（1）解不等式()1f x >；（2）当0x >时，函数21()(0)ax x g x a x-+=>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围． 【解析】∵211x x --+>，∴131x <-⎧⎨>⎩，或12121x x -≤<⎧⎨->⎩，或231x ≥⎧⎨->⎩， 解得0x <，∴原不等式的解集为(,0)-∞．（2）∵1()11g x ax x=+-≥-，当且仅当x =“=”成立，∴min ()1g x =-，12,02,()3, 2.x x f x x -<≤⎧=⎨- >⎩∴()[3,1)f x ∈-，∴11-≥,即1a ≥为所求．。
【Ks5u首发】河南省六市2016届高三第一次联考(3月) 数学(理)
2016年河南省六市高三第一次联考试题数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|30},{1,}A x x x B a =-<=，且A B 有4个子集，则实数a 的取值范围是 A ．(0,3) B ．(0,1)(1,3) C ．(0,1) D ．(,1)(3,)-∞+∞2、已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于A C 3、若110a b<<，则下列结论不正确的是 A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+4、向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥ ，则,a b的夹角为A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π5、已知正弦数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则6a = A ．114 B ．32 C ．72D ．1 6、实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则1z ax y =++的最小值为A ．0B ．-2C ．1D ．-17、一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A ．8、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤ 9、已知点12,F F 分布是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点，若21::3:4:5AB BF AF =， 则双曲线的离心率为A ．2B ．4 C10、三棱锥P ABC -中，6,AB BC AC PC ===⊥平面,2ABC PC =， 则该三棱锥的外接球的表面积为A ．253πB ．252πC ．833πD ．832π 11、一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1xy x x =>+的图象上，如图，则此矩形绕x 旋转成的几何体的体积的最大值是A ．πB ．3π C ．4π D ．2π 12、已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A ．1(,ln 2]3B ．1(ln 2,ln 6)3--C ．1(ln 2,ln 6]3--D ．1(ln 6,ln 2)3-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2016届河南省郑州市高三第一次质量预测数学理试题(解析版)解析
河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试理科数学(时间120分钟满分150分)第I 卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1.(2016 郑州一测)设全集 U={x^N *|xW4}，集合 A ={1,4} ,B={2, 4}，则 O B )= ( ) A . {1,2,3} B . {1,2,4}C. {1,3,4}【答案】A【解析】注意全集 U 是小于或等于4的正整数，•••「$ B ={4}, B^ {1,2,3}.2.(2016郑州一测) 设z=1+i (是虚数单位)，则2=() zA .B. 2 -iC. 1 -iD . 0【答案】C2 2【解析】直接代入运算： 2 - _2 . =1 — i .z 1 +iba3. 在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若 ，则cosB =( )<3 cosB sin A八1 m 1c73斗3 A .B.-C.D .2222【答案】B【解析】由正弦定理，得：b a sin B sin A.3cosB sin Av3 cosBsin A• tan B = . 3 , 0 ::: B ：：：二， ・C 兀 …B 二一, cosB _ 132_ x4.(2016郑州一测)函数 f (x) =e cosx 在点(0, f(0))处的切线斜率为( )迈A . 0 B. -1C. 1D .2【答案】C【解析】f (x)二 e x cosx-e x sinx ,k = f (0) = e °(cos0-sinO)=1. 1 x5. (2016郑州一测)已知函数 f(x)=( )X-cosx ，贝y f(x)在［0,2二］上的零点的个数为2( ) A . 1B. 2C. 3D . 4【答案】CD . {2,3, 4}一1【解析】画出y = ( )x和y二cosx的图象便知两图象有3个交点，2••• f (x)在［0,2二］上有3个零点.6. （2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273,则判断框？处应补充的条件为（）A. i 7B. i _7 【答案】B D. i _9］开始H C .【解析】31 33 3^273 .7. （2016郑州一测）设双曲线2 x2a2的一条渐近线为y = -2x ，且=4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为（5 2 2 25 2 彳—x …5y 1 B . 5y …x 1 44【答案】C【解析】•••抛物线的焦点为 （1,0）.A . 25 22y =1 D . — y - 5x = 14正项等比数列 A .b 22i a解得b 21 5 4 5{a n }中的a ,1 (x r x—4x 2亠6x —3的极值点，贝U log 飞a 2016 =•B. 2 D . -1【答案】A【解析】T f （x ） =x -8x 6,. . 2…a 1 04031 =8，… a 2016 =6,• a 2016 0，— a 2016 =6, log 6 a 2016 = 1 .9. （ 2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ 2的等腰直角三 ）2A .3【答案】 【解析】 4 B .3C.A 四面体的直观图如图，1 12 二 V （ 1 2） 2 二3 2 32A10. (2016 郑州一测)已知函数 f(x)— 1 —,g(x)=2x a ，若一为 J,® , X 2[2,3]使得 f (xj 一 g(X 2), 则实数a 的取值范围是（A . a -1B. a —1C. a - 0 D . a —012. （2016郑州一测）已知函数 f （X ）!-x +2x, xK0 若关于 2，右天于 x-2x, x ：： 0x 的不等式[f (x)]2■ af （x ） :: 0恰有1个整数则实数a 的最大值是（A . 2 【答案】【解析】B . 3C. 5D. 8D•••不等式[f (x)]2 af (x) :: 0恰有1个整数解,当 f(x) <0 时，则 x 2 . 依题意[f(3)]2 af (3) ：：0,【答案】Cx [2,3]时，••• g(x)min =2 a = 4 a . 依题意 f(x)min -g(x)min ，二 a 岂 0 . 2 211. （2016郑州一测）已知椭圆 笃+再=1（a 〉b>0 ）的左右焦点分别为F 1、F 2 ,过点F 2 a b 的直线与椭圆交于 代B 两点，若\F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离若.F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形,• AB|=|AF j = m , BF | =(2m .由椭圆的定义可知F 1AB 的周长为4a ,• 4a = 2m , 2m , m = 2(2 -2) a . • AF 2 = 2a -m = (2 72-2) a .vAF 1p|AF 2p=|F 1F 2|2,• 4(2 - .2)2a 2 4(、2 -1)2a 2 =4c 2, • e 2 = 9 - 6、2 , e = \ 6 - ：； 3 .心率为( )2A.-2【答案】D【解析】设|F,F 2| =2&|人只B .2-、,3 C. 5-2D .6-3=4, 1 【解析】••• x • [ ,3],2 当且仅当x=2时，f二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.2 6 213.二项式（X-—）的展开式中，x的系数是___________ .X【答案】60【解析】T r^c6x6'（-2）r x" =（-2）r c6x6'r,令6 -2r =2，解得r = 2 ,二x2的系数为（-2）2。
2016届河南省郑州市一中高三上学期联考数学(理)试题(解析版)
2016届河南省郑州市一中高三上学期联考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知集合{}12>=xx A ，{}1<=x x B ，则=B A （ ）A ．{}10<<x xB ．{}0>x xC ．{}1>x xD ．{}1<x x 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}210x A x x x =>=>，所以{}{}{}0101A B x x x x x x ⋂=>⋂<=<<，故应选A ．【考点】１、集合间的基本运算．2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若复数z 满足29)52(=-z i ，则z =（ ） A ．25i + B ．25i - C ．25i -+ D ．25i -- 【答案】B【解析】试题分析：设z a bi =+，则(25)()i a b i --=，即(25)(52a b a b i --+=，由复数相等的概念可得，2529520a b a b -=⎧⎨+=⎩，解之得2,5a b ==-，所以25z i =-，故应选B ．【考点】1、复数的概念；2、复数的四则运算．3．已知命题p ：“存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02≥x”，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是假命题；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x” B ．p 是真命题；p ⌝：“不存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02<x” C ．p 是真命题；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x” D ．p 是假命题；p ⌝：“任意)1,(-∞∈x ，都有1)3(log 2<x”【答案】C【解析】试题分析：对于命题p ：“存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02≥x ”，因为2log 31>，所以()2log 31x ≥，故命题p 为真命题．由全称命题的否定为特称命题可得，p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x”，故应选C ． 【考点】1、命题及其判断；2、全称命题的否定．4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．π320 B ．π6 C ．π310 D ．π316【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为221142233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ．【考点】1、三视图；2、简单几何体的体积．【思路点睛】本题主要考查三视图求空间几何体的表面积，考查学生计算能力与空间想象能力，属中档题．其解题的关键步骤有两点：其一是能够准确根据已知三视图还原出原空间几何体，这是至关重要的一步；其二是能够根据空间几何体合理地分割空间几何体，运用简单的常见的空间几何体的组合求其表面积，这是求解空间几何体的体积和表面积的常见方法之一．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a （ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．36 【答案】C【解析】试题分析：因为972S =，所以1999722a a S +=⨯=，即1916a a +=，所以58a =，所以2a a a ++=249()(a a a a ++=+，故应选C ．【考点】1、等差数列的基本性质；2、等差数列的前n 项和．6．已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则PQ d +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】 试题分析：如图所示，由题意知，抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，连接PF ，则d PF=．将圆C 化为22(1)(4)4x y ++-=，圆心为(1,4)C -，半径为2r =，则PQ d PQ PF+=+，于是由PQ PF FQ+≥（当且仅当F ,P,Q 三点共线时取得等号）．而FQ为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当F,Q,C 三点共线时取得最小值，且为23CF -=，故应选C ．1、抛物线及其性质；2、圆的标准方程．7．若在nx x )213(32-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ） A ．2135-B ．-135C ．2135D ．135 【答案】C【解析】试题分析：因为nx x )213(32-的展开式的通项为：2251311(3)()3()22rn r r r n rr n r r n n T C x C x x ---+=-=-，展开式中含有常数项需满足：250n r -=，即52rn =，r Z ∈．所以当2r =时，正整数n 取得最小值为5n =，故应选C ．【考点】1、二项式定理的应用．8．若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033m y x y x y x 且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A【解析】试题分析：首先根据已知约束条件画出草图，如下图所示．然后令z x y =+，将其变形为y x z =-+，由图可知，当C 取得最大值时，其过点C ，而点C 的坐标为315(,)2121m m m +--，所以31592121m m m ++=--，即1m =，故应选A ．【考点】1、简单的线性规划问题．9．已知偶函数R x x f y ∈=),(满足：)0(3)(2≥-=x x x x f ，若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x xx x x g ，则)()(x g x f y -=的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B【解析】试题分析：因为函数)()(x g x f y -=的零点个数即函数y f (x )=与函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,lo g )(2x x x x x g 的交点的个数．于是作函数y f (x )=与函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x xx x x g 的图像如下：由图可知，其有3个交点，故应选B ．【考点】1、函数的图像；2、函数的零点与方程．10．已知实数m ，n ，若0≥m ，0≥n ，且1=+n m ，则1222+++n n m m 的最小值为（ ） A ．41 B ．154 C ．81 D ．31 【答案】A【解析】试题分析：因为0≥m ，0≥n ，且1=+n m ，所以1n m =-，所以2222(1)412212(1)122m n m m m n m m m m-+=+=+-+++-++-，于是令41()222f m m m =+-+-，所以'22(6)(32)()(4)m m f m m --=-，令'()0f m =，解之得23m =．当203m ≤<时，'()0f m <；当213m <≤时，'()0f m >；所以当23m =时，()f m 取得极小值即最小值，所以21()34f =，故应选A ．【考点】1、利用导数研究函数的单调性与极值．11．如图，已知椭圆111:221=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（ ） A ．5 B ．5 C ．17 D ．7142【答案】A【解析】试题分析：设椭圆与双曲线的渐近线相交于1122(,),(,)M x y N x y 两点（设M在x 轴上方）以及33(,)A x y ，则由题意知，3OA OM =，即313x x =．于是联立方程组2211x y b y x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可得，2232211a x a b =+；联立方程组22111x y b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得，221221111a x a b =+；即2222119()a b a b +=+，所以224b a =，即225c a =，所以e =A ． 【考点】1、椭圆的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了椭圆的标准方程和双曲线的简单几何性质，考查学生综合运用知识的能力和分析解决问题的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先设出椭圆与双曲线的渐近线的交点1122(,),(,)M x y N x y ，然后由题意可得3OA OM =，再联立方程渐近线方程与圆、与椭圆的方程分别计算出1x ，3x ，最后代入即可得出所求的结果．12．已知数列{}n a 共有9项，其中，191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则数列{}n a 的个数为（ ） A ．729 B ．491 C ．490 D ．243 【答案】B【解析】试题分析：令1(18)i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a ，满足399212812811a a a a b b b a a a a =⋅== ，且1{2,1,}2i b ∈-，18i ≤≤．反过来，由符合上述条件的八项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{}n a ，记符合条件的数列{}n b 的个数为N ，则由题意知，1(18)i i ia b i a +=≤≤中有2k 个12-，2k 个2，84k-个1，且k 的所有可能取值为0,1，2．所以224486861491N C C C C =++=，故应选B ． 【考点】1、数列的概念；2、排列组合．【思路点睛】本题主要考查了数列的概念和排列组合等知识，具有较强的综合性和实用性，渗透等价转化的数学思想，属中高档题．其解题的一般思路为：首先令1(18)i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a ，满足39921212811aa a ab b b a a a a =⋅== ，且1{2,1,}2i b ∈-，18i ≤≤；然后由符合上述条件的八项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{}n a ，最后根据排列组合的知识即可得出所求的结果．二、填空题13．执行下面的程序框图，若输出的结果为21，则输入的实数x 的值是________．【答案】2．【解析】试题分析：当1x >时，21log 2y x ==，所以x =当1x ≤时，112y x =-=，所以32x =，不符合题意．故应填2． 【考点】1、程序框图与算法．14．若随机变量)1,2(~N ξ，且1587.0)3(=>ξP ，则=>)1(ξP ____． 【答案】0．8413．【解析】试题分析：因为)1,2(~N ξ，且1587.0)3(=>ξP ，所以(1)(3)0.P P ξξ<=>=，所以(1)1(1)10.15870.8413P P ξξ>=-<=-=，故应填0．8413．【考点】1、正态分布及其性质．15．已知四面体P ABC -，其中ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，4PA =，则四面体P ABC -外接球的表面积为________． 【答案】64π． 【解析】试题分析：根据已知中底面ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，可得此三棱锥外接球，即以ABC ∆为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球．因为ABC ∆是边长为6的正三角形，所以ABC ∆的外接圆半径为r =ABC ∆的外接圆圆心的距离为2d =，所以球的半径为4R =，所以四面体P ABC -外接球的表面积为2464S R ππ==，故应填64π．【考点】1、球及其表面积；2、空间直线、点的位置关系．【思路点睛】本题考查了球及其表面积的求法和空间直线、点的位置关系等知识点，考查学生空间想象能力与分析解决问题的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先由已知并结合三棱锥和正三棱柱的几何特征得出此三棱锥外接球，即为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球，然后根据空间几何体的特征分别求出棱锥底面半径和球心距，最后由公式R =16．对于函数f(x)，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f --=，则称f(x)为准奇函数．给定下列函数：①11)(-=x x f ；②2)1()(-=x x f ；③3)(x x f =；④x x f cos )(=，其中所有准奇函数的序号是_______． 【答案】①④．【解析】试题分析：对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =--可知，函数()f x 的图像关于(,0)a 对称．对于①，1()1f x x =-，函数()f x 的图像关于(1,0)对称，即①是正确的；对于②，2()(1)f x x =-，函数无对称中心，所以②是错误的；对于③，3()f x x =，函数()f x 的图像关于(0,0)对称，所以③是不正确的；对于④，()cos f x x =，函数()f x 的图像关于(,0)2k ππ+对称，即④是正确的；故应填①④．【考点】1、新定义；2、函数的图像及其性质；3、三角函数的图像及其性质．【思路点睛】本题考查新定义的理解与应用、函数的图像及其性质和三角函数的图像及其性质，属中档题．对于新定义类型题，一般思路为：首先是正确把握已知的定义，即判断函数()f x 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f --=；然后运用函数的性质如对称性等对其进行判断，最后得出结论． 三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量)sin sin ,(C A b a -+=，向量)sin sin ,(B A c -=，且∥： （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设BC 中点为D ，且3=AD ：求a+2c 的最大值及此时ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=．（2）2a c +的最大值为1sin 2S ac B ==．【解析】试题分析：（1）首先结合已知并运用正弦定理即可得到等式：222a c b ac +-=，然后由余弦定理即可得出角B 的余弦值，最后由三角形内角的范围可得角B 的大小；（2）首先设出BAD θ∠=，然后结合（1）的结论并运用正弦定理可得出sin BD θθ=+，进而得出24sin ,sin a BD c AB θθθ===+，再由辅助角公式可得26sin )6a c πθθθ+=+=+，最后由三角函数的图像及其性质可得出其最大值，并相应的求出,a c ，进而得出ABC ∆的面积即可．试题解析：（Ⅰ）因为//m n，故有()(sin sin )(sin sin )0a b A B c A C +---=， 由正弦定理可得()()()0a b a b c a c +---=，即222a cb ac +-=， 由余弦定理可知2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为(0,)B π∈，所以3B π=． （Ⅱ）设BAD θ∠=，则在BAD ∆中，由3B π=可知2(0,)3πθ∈，由正弦定理及AD =有22sin sin()sin 33BD AB ADππθθ===-； 所以22si n ,2s in ()3c3B D A B πθθθ==-=+，所以24sin ,sin a BD c AB θθθ===+，从而22c o s 6s6a c πθθθ+=+=+由2(0,)3πθ∈可知5(,)666πππθ+∈，所以当62ππθ+=，即3πθ=时，2a c +的最大值为a c ==以1sin 22S ac B ==．【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图像及其性质；4、辅助角公式．【方法点睛】本题主要正弦定理、余弦定理、三角函数的图像及其性质和辅助角公式，渗透数形结合和化归的数学思想，属中档题．解答第一问的过程中最关键的步骤是运用正弦定理将三角恒等式转化为只含有边或角的等式关系；解答第二问的过程中最关键的步骤是：能够运用正弦定理建立边与角的正弦的关系，并能借助于辅助角公式求其最值． 18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）记X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望．【答案】（Ⅰ）0.015a =； 2212s s >；（Ⅱ）()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=；（Ⅲ）X 的分布列为X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【解析】试题分析：（Ⅰ）由各个小矩形的面积和为1，先求出a ，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此可得出21s 与22s 的大小关系；（Ⅱ）首先设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱；然后分别求出事件A 和事件B 的概率，最后由相互独立事件的概率乘法计算公式即可得出所求的结果；（Ⅲ）首先由题意可知X 的可能取值为0，1，2，3，然后运用相互独立重复试验的概率计算公式分别计算相应的概率，最后得出其分布列即可．试题解析：（Ⅰ）由各小矩形的面积和为1可得：(0.0100.0200.0a ++++⨯=，解之的0.015a =；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030-箱，故2212s s >． （Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则()0.200.10P A =+=，()0.100.200.3P B =+=．所以()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=．（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．0033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=， 1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=，2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=．X所以 的数学期望．【考点】1、离散型随机变量的均值与方差；2、相互独立事件的概率乘法公式；3、频率分布直方图．【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的均值与方差和相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．这类题型是历年高考的必考题型之一，其解题的关键有二点：其一是认真审清题意，掌握二项分布与几何分布，并区分两者的适用范围；其二是掌握离散型随机变量的分布列和均值的求法以及频率分布直方图的性质的应用． 19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，41tan =∠EAB ．（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE 体积最大时，求二面角D-AE-B 的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）二面角D AE B --的余弦值为． 【解析】试题分析：（1）首先由AB 是直径可得，AC BC ⊥；然后由⊥CD 平面ABC 可得⊥CD 平面ABC ，于是由线面垂直的判定定理可得⊥BC 平面ACD ，进而可得⊥DE 平面ACD ；最后由面面垂直的判定定理即可得出所求的结论；（2）首先建立适当的空间直角坐标系并写出相应的点的坐标，然后利用空间法向量的定义分别求出面DAE 的法向量为1n 和面ABE 的法向量2n，最后运用121212cos ,n n n n n n =即可得出所求的结果． 试题解析：（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以AC BC ⊥，因为⊥CD 平面ABC ，所以BC CD ⊥，因为C AC CD = ，所以⊥BC 平面AC D ，因为BE CD //，BE CD =，所以BCDE 是平行四边形，DE BC //，所以⊥DE 平面ACD ，因为⊂DE平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面ACD ．（Ⅱ）依题意，1414t a n =⨯=∠⨯=EAB AB EB ，由（Ⅰ）知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131 BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， 当且仅当22==BC AC 时等号成立．如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D，E ，A B ，则(22,0)AB =-，(0,0,1)BE =，DE =，1,)DA =-设面D A 的法向量为1(,,)n x y z =，110n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴1(10,22)n =， 设面ABE的法向量为2(,,)n x y z =，220n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n = ，121212cos ,6n n n n n n ∴===，可以判断12,n n与二面角D AE B --的平面角互补 ∴二面角D AEB --的余弦值为-【考点】1、面面垂直的判定定理；2、空间向量法求二面角．20．已知离心率为22的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 是圆1)1(22=+-y x 的圆心，过椭圆上的动点P 作圆的两条切线分别交y 轴于,M N （与P 点不重合）两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求线段MN 长的最大值，并求此时点P 的坐标．【答案】（1）1222=+y x ；（2）． 【解析】试题分析：（1）根据圆的方程可得其圆心坐标，即椭圆的右焦点；根据椭圆的离心率即可求得a ，最后根据,,a b c 的关系即可求得b ，进而得出椭圆的标准方程；（2）首先设出00(,)P x y ，),0(m M ，),0(n N ，然后把椭圆的方程与圆的方程联立可求得其交点的横坐标，进而推断0x 的取值范围，把直线PM 的方程化简并根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM 和PN 的距离，求得0x 和0y 的关系式，进而求得m n +和mn 的表达式，进而求的MN ．把点P 代入椭圆方程并根据弦长公式求得MN ，记204()2(2)f x x =--，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数()f x 的值域，进而求得当0x =MN 取得最大值，进而得出0y ，最后得出点P 的坐标即可．试题解析：（1）圆心坐标(1,0)，所以1c =，又22=c a ，∴2=a ，故1b =,故椭圆方程为1222=+y x ． (2)设00(,)P x y ，),0(m M ，),0(n N ，22221222(1)1x y x x x y ⎧+=⎪⇒==⎨⎪-+=⎩∴)22,0()0,2[0-⋃-∈x直线PM 的方程0)(00000=+--⇒-=-mx y x x m y x x my m y ∴2)2(1)(||002022000=-+-⇒=+-+-x m y m x x m y m x m y ，同理02)2(0020=-+-x n y n x∴,m n 是方程02)2(0020=-+-x t y t x 两实根，由韦达定理：2200-=+x y n m 200--=x x mn20202020020202)2(42)12x ( )2(8444-)||||--==+--+=+=-=x y x x y x mn n m n m MN （令2-42)(x x f -= ，)2,2()2,4[--⋃--∈x ，显然由()f x 的单调性知2max )222(42)(---⨯-=x f ∴122||max -=MN ，此时20-=x ，故P 点坐标为（02-，），即椭圆左顶点．【考点】1、椭圆的标准方程；2、椭圆与直线相交的综合问题． 21．已知函数m mx x x f +-=ln )(． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 在),0(+∞∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：)1(1)()(+<--a a a b a f b f ．【答案】（1）当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x -=-=>，得1(0,)x m ∈，]由'11()0mxf x m x x -=-=<，得1(,)x m ∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m∈，单调递减区间为1(,)m +∞；（2）1m =；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）首先求出函数()f x 的定义域并求导'()f x ，然后分两种情况进行讨论：0m ≤和0m >，并分别求出'()0f x >或'()0f x <所对应的自变量的取值范围，即函数()f x 的单调增区间和单调减区间；（2）由（1）知：当0m ≤时，显然不符合题意；当0m >时，此时函数的最大值为ln 1m m --，于是构造函数()ln 1g x x x =--，然后对其进行求导并分析其单调性，进而得出其函数的最小值，从而得出实数m 的值；（3）首先将()()f b f a b a --变形可得ln111ba baa ⋅--，然后根据（2）中的结论可得不等式ln 1x x ≤-，(0,)x ∈+∞，最后运用该不等式进行放缩即可得出所证明的结论．试题解析：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞，当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x -=-=>，得1(0,)x m∈，]由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m ∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m +∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0m ≤时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当0m >时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=--，只需ln 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--，则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞，得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．∴min ()(1)0g x g ==，()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m =．（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111bf b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1b a >，所以有 0ln 1b b a a<<-， 即ln11ba b a<-．则2ln1111111(1)(1)1ba a ab a a a a a a a a --⋅-<-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立． 【考点】1、导数在研究函数的最值与单调性中的应用；2、导数证明不等式中的应用．22．选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点．（Ⅰ）求∠ADF 的度数；（Ⅱ）若AB=AC ，求AC ：BC ． 【答案】（1）45ADF ∠=︒；（2）AC BC =． 【解析】试题分析：（1）首先由切割线定理可得EAC B ∠=∠，然后由DC 是ACB ∠的平分线可得DCB ACD ∠=∠，进而得出AFD ADF ∠=∠，最后由BE 为⊙O 的直径即可得出所求的结果；（2)首先由题意可得ACE ∆∽BCA ∆，然后结合已知可确定30B ACB ∠=∠=︒，即可得出结论． 试题解析：（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠，因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠，所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE ，所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF ．（2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆，所以ABAEBC AC =，在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以30B ACB ∠=∠=︒，ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ． 【考点】1、切割线定理；2、三角形的相似． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty tx 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点． （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【答案】 （1）||AB =（2）2||=PM ．【解析】试题分析：（1）首先设出B A ,对应的参数分别为21,t t ，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程可得01042=-+t t ，由韦达定理可得12t t +，12t t ，最后由12||||AB t t =-即可得出所求的结果；（2）利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩把点P 的极坐标化为直角坐标，线段AB 中点M 所对的参数122t t t +=，即可得出点M 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．试题解析：（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数），代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-，所以点P 在直线l ，中点M对应参数为2221-=+t t ，由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ．【考点】1、极坐标与直角坐标的相互转化；2、参数方程化直角坐标方程． 24．选修4-5：不等式选讲已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =． （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++． 【答案】 详见解析．【解析】试题分析：（1）利用基本不等式a b +≥可得，c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，然后将其相乘即可得出证明的结论；（2）利用已知将111a b c++变形为a bb c a ++，运用基本不等式即可得到ab bc ab ac ac bc +≥+≥+≥试题解析：(1) c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证． （2）ac bc ab cb a ++=++111 b c ab bc ab 222=≥+，a c b a ac ab 222=≥+，c c ab ac bc 222=≥+相加得证．【考点】1、基本不等式的应用；2、综合法．。
河南省郑州市高三数学第一次质量检测试题 理
2016年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题ADBCC BDA AA DD二、填空题 13.60； 14.;24π 15. 3;216.42 2.+三、解答题（共70分）17.⑴解：由已知条件:1(1)221,nS n n n=+-⨯=-22n S n n ∴=------2分 当2n ≥时，()()221=22114 3.-⎡⎤=------=-⎣⎦n n n a S S n n n n n当1n =时，111,a S ==而4131⨯-=，43n a n ∴=-，------6分 ⑵解：由⑴可得()(1)(1)43,=-=--n n n n b a n -----7分 当n 为偶数时，()1591317......4342,2n nT n n =-+-+-++-=⨯= ---9分 当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)2 1.n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+ ---11分综上，2,(2,),21,(21,).N N **⎧=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩n n n k k T n n k k --------12分18.⑴解：设下周一有雨的概率为p ，由题意，20.36,0.6p p ==， -------2分 基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36,(15)0.24,(10)0.24,(7.5)0.16,P X P X P X P X ======== 所以基地收益X 的分布列为：-------6分基地的预期收益()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，基地的预期收益为14.4万元.---------8分 ⑵设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），--------10分()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.------12分X 20 15 10 7.5 p0.36 0.24 0.24 0.1619.⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， 因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .-----4分⑵解：因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF I 平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，------6分以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设,DA a DE b ==，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ，(,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-u u u r u u u r u u u r，因为BE DF ⊥，所以22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅==--⋅=-=u u u r u u u r ，2b a =，--8分设平面EBC 的法向量(,,)m x y z =u r ， 由20,m BE ax ay az m BC ax ay⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩u r u u u ru r u u u r得到m u r 的一个解为(1,1,2)m =u r ，注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)n =r，--10分而1cos ,,2||||⋅<>==⋅u r ru r r ur r m n m n m n 所以，平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60o .12分20.⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，2222(1)3(1)x y x y ++=-+， -----2分 整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，为所求.-----4分⑵解：由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+，由2,y x y x t =-⎧⎨=-+⎩，解得点22(,)22t t P +-，-----6分由圆的几何性质，221||||||||2NP CD ED EP ==-，而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22||()2EP =，解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-.由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x 解得21,21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或21,2 1.⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩x y 不失一般性，设2222(1,1),(1,1)2222C D --+--， --9分由22410,(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩消y 得：2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴ 方程⑴的两根之积为1，所以点A 的横坐标22A x =+，又因为点22(1,1)22C --在直线1:10l x my --=上，解得21m =+， 直线1:(21)(1)l y x =--，所以(22,1)A +，--11分同理可得，(22,1)B -，所以线段AB 的长为22. --12分21.⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2()x mf x x-'=，当0m ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；--2分当0m >时，()()()x m x m f x x+-'=；当0x m <<时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减；当x m >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增.综上：当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；当0m >时，函数()f x 的单调增区间是(,)m +∞，减区间是(0,)m .----4分⑵解：令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数， ----5分当0m =时，21(),02F x x x x =-+>，有唯一零点；当0m ≠时，(1)()()x x m F x x--'=-， 当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；--7分当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>，所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>， (22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点； ----9分当01m <<时，0x m <<或1x >时()0F x '<，1m x <<时()0F x '>， 所以函数()F x 在(0,)m 和(1,)+∞单调递减，在(,1)m 单调递增，意到ln 0m <，所以()(22ln )02mF m m m =+->，而(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点. ---11分 综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ---12分22.⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，∠=∠=EFC CDA ∠+∠BAE CBA ，AE 平分BAC ∠，所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =.---4分 ⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，所以CEA DEC ∆∆:， 即2,CE DE EC EA EA CE DE==，---6分 由⑴知，3EC EF ==，所以92EA =， ---8分 所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=. ---10分23.⑴解：()π22cos 2cos sin 4ρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，----------2分 即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.----------5分⑵解：1C 的直角坐标方程为320x y ++=，由⑴知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离()2213233213d +++==+， ----------8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为33222++.----------10分24.⑴解：当2x >时，原不等式可化为211x x --->，此时不成立；当12x -≤≤时，原不等式可化为211x x --->，即10x -≤<， 当1x <-时，原不等式可化为211x x -++>,即1x <-，-----3分 综上，原不等式的解集是{}|0x x <．-----5分⑵解：因为1()121g x ax a x=+-≥，当且仅当a x = 所以min ()21g x a =，-----7分12,02,()3,2x x f x x -<≤⎧=⎨->⎩，所以()[3,1)f x ∈-，∴211a ≥,即1a ≥为所求．---10分。
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X p
20 0.36
15 0.24
10 0.24
7.5 0.16
-6 分
E ( X ) 20 0.36 15 0.24 10 0.24
E (Y ) E ( X ) 1.6 a ，
综上，当额外聘请工人的成本高于 1.6 万元时，不外聘工人；成本低于 1.6 万元时，外聘工人；成本恰为 1.6 万
mn 1 , 所以，平面 EAD 与 EBC 所成锐二面角的大小为 60 .12 分 而 cos m, n | m || n | 2
20.⑴解：设曲线 E 上任意一点坐标为 ( x, y ) ， 由 题意， ( x 1) 2 y 2
2 2
2a ，--8 分
m BE ax ay 2az 0, 设平面 EBC 的法向量 m ( x, y, z ) ， 由 得到 m 的一个解为 m (1,1, 2) ， 注意到 m BC ax ay 平面 EAD 的法向量 n (0,1, 0) ，--10 分
2 2
当 n 2 时， an S n S n 1 =2n n 2 n 1 n 1 4n 3.
当 n 1 时， a1 S1 1, 而 4 1 3 1 ， an 4n 3 ，------6 分 ⑵解：由⑴可得 bn (1) n an (1) n 4n 3, -----7 分
元时，是否外聘工人均可以.------12 分 19.⑴证明：设 EC 与 DF 交于点 N ，连结 MN ，在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 中点， 因为 M 为 EA 中点，所以 MN ∥ AC ，又因为 AC 平面 MDF ， MN 平面 MDF ，所 以 AC ∥平面 MDF .-----4 分 ⑵解：因为平面 CDEF 平面 ABCD ，平面 CDEF 平面 ABCD CD ， DE 平 面 CDEF ， DE CD ， 所以 DE 平面 ABCD ，------6 分 以 D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设 DA a, DE b ， B ( a, a, 0), E (0, 0, b), C (0, 2a, 0), F (0, 2a, b) ，
2n, (n 2k , k N ), 综上， Tn --- -----12 分 2n 1, (n 2k 1, k N ).
18.⑴解：设下周一有雨的概率为 p ，由题意， p 0.36, p 0.6 ，
2
-------2 分
基地收益 X 的可能取值为 20,15,10, 7.5 ， 则 P ( X 20) 0.36, P ( X 15) 0.24, P ( X 10) 0.24, P ( X 7.5) 0.16, 所以基地收益 X 的分布列为： -----基地的预期收益 ， 所以，基地的预期收益为 14.4 万元.---------8 分 ⑵设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元， 则其预期收益 E (Y ) 20 0.6 10 0.4 a 16 a （万元） ，--------10 分
当 n 为偶数时， Tn 1 5 9 13 17 ...... 4n 3 4
n 2n, 2
---9 分
当 n 为奇数时， n 1 为偶数 Tn Tn 1 bn 1 2(n 1) (4n 1) 2n 1. ---11 分
BE ( a, a, b), DF (0, 2a, b), BC ( a, a, 0) ，因为 BE DF ，
所以 BE DF ( a, a, b) (0, 2a, b) b 2 2a 2 0 ， b
3 ( x 1) 2 y 2 ，
2 2
-----2 分
整理得 x y 4 x 1 0 ，即 ( x 2) y 3 ，为所求.-----4 分 ⑵解：由题知 l1 l2 ，且两条直线均恒过点 N (1, 0) ，设曲线 E 的圆心为 E ，则 E (2, 0) ，线段 CD 的中点为 P ， 则直线 EP ： y x 2 ,设直线 CD ： y x t ， 由
由圆的几何性质， | NP |
| EP |2 (
பைடு நூலகம்
| 2t | 2 ) ，解之得 t 0 或 t 3 ，又 C , D 两点均在 x 轴下方，直线 CD ： y x .由 2
2 2 , , x 1 x 1 x 2 y 2 4 x 1 0, 2 2 解得 或 y x, y 2 1 y 2 1. 2 2
y x 2, t 2 t 2 ，解得点 P ( , ) ，-----6 分 2 2 y x t
1 t2 t 2 2 | CD | | ED |2 | EP |2 ，而 | NP |2 ( 1) 2 ( ) ， | ED |2 3 ， 2 2 2
2016 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 参考答案 一、选择题 ADBCC 二、填空题 13.60； 14. BDA AA DD
24
;
15.
3 ; 2
16. 4 2 2.
三、解答题（共 70 分） 17.⑴解：由已知条件:
Sn 1 (n 1) 2 2n 1, S n 2n 2 n -----2 分 n