工程力学 第20章动量矩定理习题解

C1
A
MA
FQ
1
mg
m
3
0.5m
0.5m
20-4 传动轴由电动机带动。电动机和传动装置用胶带相连接，如图所示。在电动机轴
上作用一转矩 M。电机轴和安装其上的滑轮的转动惯量为 J1，传动轴和安装其上的滑轮的 转动惯量为 J2。电机上滑轮的半径为 r1，由电机到传动装置的传速比为 i，胶带质量为 m。 轴承的摩擦可略去不计，试求电机轴的角加速度。
aCx
=
FT R(R cosα − r) m(R2 + ρO2 )
xO
=
1 2
aCxt 2
=
1 2
⋅
FT R(R cosα − r)
m( R 2
+
ρ
2 O
)
t2
20-10 图示重物 A 的质量为 m，当其下降时，借无 重且不可伸长的绳使滚子 C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳 子跨过定滑轮 D 并绕在滑轮 B 上。滑轮 B 与滚子 C 固结 为一体。已知滑轮 B 的半径为 R，滚子 C 的半径为 r，二 者总质量为 m′ ，其对与图面垂直的轴 O 的回转半径为 ρ 。
由 LOz = Lz 得
ω=
mlv0 (1 − cosϕ )
J z + m(l 2 + r 2 + 2lr cosϕ )
20-7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销 A 处的衬套管，并使连杆绕 这细杆的水平轴线摆动，如图 a、b 所示。摆动 100 次半周期 T 所用的时间为 100T = 100s。 另外，如图 c 所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离 AC = d，将连杆水平放置，在点 A 处用杆悬挂，点 B 放置于台秤上，台秤的读数 F = 490N。已知连杆质量为 80kg，A 与 B 间 的距离 l=1m，十字头销的半径 r = 40mm。试求连杆对于通过重心 C 并垂直于图面的轴的转 动惯量 JC。
mg(d + r)
（1）
(b)
J A = JC + m(d + r)2
（2）
由图（b）：
∑MA
=
0
，d
=
Fl mg
=
5 8
= 0.625 m
代入（1）、（2），注意到周期 T = 2s ，得
JC
=
mg(d + r) π2
− m(d
+ r)2
=
m(d
+
r
g )[π2
− (d
+ r)]
= 80× 0.665× ( 9.8 − 0.665) π2
的关系。轴承摩擦略去不计。 解：系统（圆盘、质点）所
受外力对 z 轴之矩为零，故系统 对 z 轴动量矩守恒。质点的速度
v = v0 + ve
ve = OM ⋅ ω
习题 20-6 图
D
F
FDE θ
d3
l3
B
FCx C
FCy
F2′
(b)
FD′ E Eθ
FS2
F
FN2
FC′x FC′y
C
FN1 G FS1
= 17.45kg⋅ m2
20-8 图示圆柱体 A 的质量为 m，在其中部绕以细绳，绳的一端 B 固定。圆柱体沿绳 子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度 h 时圆柱体中心 A 的速度υ和
-121-
绳子的拉力 FT。 解：法 1：图（a）
maA = mg − FT J Aα= FT r aA = rα
（1） （2） （3）
JA
=
1 2
mr 2
解得
FT
=
1 3
mg
（拉）
aA
=
2 3
g
（常量）
（4）
由运动学
vA =
2a A h
=
2 3
3gh （↓）
法 2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心 C 用动
量矩定理：
JCϕ = mgr
（5）
JC
=
JA
+ mr 2
=
3 mr 2 2
FT
又
ϕ = aA
F
图（d）： ∑ mO1 = 0 ， FN2 = FN1 ， Fs 2 = Fs1
图（e）： (J + mr 2 )α = M − mgr − Fs′1 ⋅ 2R
M − mgr − 2RfF l1l2l3
α=
d1d 2 d 3
J + mr 2
r(M − mgr − 2RfF l1l2l3 )
am = rα =
图（b）： ∑ mC = 0
FDE
cosθ
=
l3 d3
F2
=
l1l3 d1d3
F
∑ Fx = 0 ， FCx = FDE cosθ
图（c）： ∑ mO2 = 0
F2
O1
d1 A
l1
FN 2
=
l2 d2
FD′ E
cosθ
=
l1l2l3 d1d 2 d 3
F
(a)
临界： Fs1
=
fFN 2
=
f
l1l2l3 d1d 2 d 3
求：重物 A 的加速度。
习题 20-9 图
α1 O aCx
mg
x FT
F FN (a)
-122-
习题 20-10 图
解：法 1：对轮：
JOα = TR − Fr
（1）
m′aO = F − T
（2）
对 A：
maA = mg − T
（3）
mg
α
又： aA = aH绳 = aτH轮
以 O 为基点：
aτH轮
试求：
1、设 F 为一定值，求重物的加速度； 2、F 至少为多大，可以刹住滚筒；
2R
D
E
θ
d3
D
C
d3
α rR
F
O
G
O2
a m O1
l2
d2
F
d1
l1
-119-
mg
习题 20-5 图
3、掣动时间要求小于 t1，问 F 需多在？ 解：原题图改画如图。
（1）图（a）：
∑ mO1
=
0
，
F2
=
l1 d1
F
解：将皮带从中间断开，设下半部质量为
m1，上半部质量为 m2，对 1、2 轮分别用动量 矩定理：
(J1 + m1r12 )α1 = (T2′ − T1′)r1 + M
(J 2 + m2r22 )α2 = −(T2 − T1)r2 τ = α1 = r2
α 2 r1
（1） （2）
m1 + m2 = m
解：1、 LO = m1r1ω ⋅ r1 + m2r2ω ⋅ r2
M O = m1gr1 + m2 gr2
代入
d LO dt
= M O ，并注意到
dω dt
=α
( ) ( ) m1r12 + m2r22 α = m1r1 − m2r2 g
α = m1r1 − m2r2 g m1r12 + m2r22
运动。试求滚子轴 O 的运动方程。 解：滚子作平面运动，轴 O 水平直线平移，图（a）：
maCx = FT cosα − F
mρO2α1 = FR − FTr 纯滚： aCx = Rα1 代入（2）
（1） （2） （3）
mρ O2
⋅
aCx R
= FR − FTr
解（1）、（4）联立，消去 F，得
（4）
+
a
n H轮
=
aO
+
a
n HO
+ aτHO
aτH = aτHO − aO = Rα − rα = (R − r)α （→）
aA = (R − r)α （↓）
由上四式联立，得（注意到 JO = m′ρ 2 ）
（4）
· aO
E
F
FHN
T
a H绳
T′
aA
aA
=
⋅α
=
5 12
g
M
A
=
FOy
⋅l
−
mg
⋅
l 2
+
FIτ⋅
l 3
=
11 12
mgl
−
1 2
mgl
+
m ⋅ aτC1
⋅
l 3
= 5 mgl + m ⋅ 5 g ⋅ l = 5 mgl = 5 × 50 × 9.8 = 272 N⋅ m
12
12 3 9
9
FOy mg
D
2mg
FOx
αd
(a)
FIτ FOy
O
a2 = r2α
（3）
T2 = m2 (a2 + g)
由(1)、(2)、(3)、(4)得
（4）
Foy = T1 '+T2 ' = m1 (g − r1α ) + m2 (a2 + g)
习题 20-2 图
m2 g (a)
( ) = (m1
+ m2 )g
− (m1r1
−
m2 r2
)
⋅
m1r1 m1r12
即
d1d2d3 < − v0
J + mr 2
t1
M − mgr + v0 (J + mr 2 )
即 F > d1d2d3 ⋅
rt1
2Rfl1l2l3
2Rf
20-6 水平圆盘 可 绕铅垂 轴 z 转动，如图所示。其对 z 轴 的转动惯量为 Jz。一质量为 m 的 质点，在圆盘上作匀速圆周运 动，圆周半径为 r，速度υ0 圆心 到盘心的距离为 l。开始运动时， 质点在位置 A，圆盘角速度为 零。试求圆盘角速度ω与角 ϕ 间
A d +r
θ
C
..
θ
B
习题 20-7 图
mg (a)
解：图（a）， θ << 1 时， J Aθ = −mg(d + r)θ J Aθ+ mg(d + r)θ = 0
θ+ mg(d + r) θ = 0 JA
A
C
B
d
F
ωn =
mg(d + r) JA
l
mg
T = 2π= 2π J A
ωn
即 3ml 2α = 5 mgl
2
α= 5 g 6l
aτD
=
5 l ⋅α 6
=
25 36
g
由质心运动定理：
习题 20-3 图
3m ⋅ aτD = 3mg − FO y
FO y
=
3mg
− 3m
25 36
g
=
11 12
mg
=
449
N（↑）
ω
=
0
，
a
n D
=
0，
FOx = 0
2、图（b） aτC1
=
l 2
工程力学（2）习题全解
第 20 章 动量矩定理及其应用
20-1 计算下列情形下系统对固定轴 O（图 a、b）；相对轮心 O（图 c）的动量矩。 1.质量为 m，半径为 R 的匀质圆盘以角速度 ωO 转动； 2.质量为 m，长为 l 的匀质杆在某瞬时以角速度 ωO 绕定轴 O 转动； 3.质量为 m，半径为 R 的匀质圆柱上固结质量为 m/2 的细杆。圆柱作纯滚动，轮心速度 为 vO 。
− m2r2 + m2r22
g
=
⎡ ⎢(m1 ⎣
+ m2 ) −
m1r1 − m2r2 2 m1r12 + m2 r22
⎤ ⎥ ⎦
g
20-3 图示匀质细杆 OA 和 EC 的质量分别为 50kg 和 100kg，并在点 A 焊成一体。若此 结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，铰链 O 处的约束力和杆 EC 在 A 处的弯
-118-
矩。不计铰链摩擦。
解：1、图（a）： 令 m=mOA=50kg，则 mEC=2m 质心 D 位置：l=1m
d = OD = 5 l = 5 m 66
刚体作定轴转动，初瞬时ω=0
J Oα
=
mg
⋅
l 2
+
2mg
⋅l
JO
=
1 3
ml 2
+
1 12
⋅ 2m ⋅ (2l)2
+
2ml 2
=
3ml 2
r
C
aA
=
2 3
g
（同式（4））
再由 maA = mg − FT
得
FT
=
1 3
mg
（拉）
vA =
2a A h
=
2 3
3gh （↓）
习题 20-8 图
r
aA
α
A
mg
vA (a)
20-9 匀质滚子的质量为 m，半径为 R，放在粗糙的
水平地板上，如图所示。在滚子的鼓轮上绕以绳，在绳上
作用有常力 FT，作用线与水平方向夹角为α 。已知鼓轮的 半径为 r，滚子对轴 O 的回转半径为 ρO ，滚子由静止开始
（当 m1r1 − m2r2 < 0 ，与图示反向） 2、显然： FOx = 0
FOy = T1'+T2 '
α
FON
ω T1′ T1 a1
m1 g
FOx T2′
T2 a2
m1a1 = m1g − T1 a1 = r1α T1 = m1(g − r1α )
（1） （2）
m2a2 = T2 − m2 g
解：1、
LO
=
J Oω O
=
1 2
mR 2ω O
（顺）
2、
LO
=
J Oω O
=
1 3
ml 2ωO
（逆）
习题 20-1 图
3、 LO
=
1 mR 2 ⋅ υO
2
R
+ m ⋅ 3R ⋅ 7R ⋅ vO 24 4 R
=
37 32
mRυ
O
（顺）
20-2 质量为 m1、m2 的两重物分别系在两柔软不可伸长的绳子上，如图所示。两绳分 别绕在半径为 r1 和 r2 并固结在一起的鼓轮上。重物受重力作用而运动，试求鼓轮的角加速 度α和轴承的约束力。鼓轮和绳的质量均可不计。
代入上式，解得
FO2y r2
α2
FO2x O2
m2g
T2
T1
T2′
T1′
FO1y M O1 FO1x
α1
=
J1 +
M
J2 i2
+ mr12
习题 20-4 图
m1g
α1
(a)
20-5 图示双刹块式掣动器，滚筒转动惯量为 J，外加 转矩为 M，提升重物质量为 m，刹车时重物速度为υ0，其 它尺寸如图所示。闸块与滚筒间的动滑动摩擦系统为 f。
d1d2d3 （常数）
J + mr2
（2） am < 0 可刹住滚筒，即
M − mgr − 2RfF l1l2l3 < 0 d1d 2 d 3
F > (M − mgr)d1d2d3 2Rfl1l2l3
（3）要求掣动时间 t < t1 则
v = v0 + at1 < 0
a < − v0 t1
r(M − mgr − 2RfF l1l2l3 )
O2
O1
(c)
(d)
M FN′ 2
Fs′2
α r
Fs′1 FN′ 1
m
am
mg
(e)
vO
ve
M
rϕ A
O
l
x (a)
Biblioteka Baidu
-120-
vr = v0
设质心在 A 位置为起始位置，则
LOz = mv0 (l + r)
在任意瞬时
Lz = J zω+ M z (mv)
= J zω + M z (mv0 ) + mz (mve ) = J zω + mv0 (l cosϕ + r) + m(l 2 + r 2 + 2lr cosϕ )ω