高中数学三角函数复习教案

【讲练平台】

例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ= 2 4

m ，求cos θ与tan θ的值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义

解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．

解 由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m 3＋m 2

． 又∵sin θ= 2 4m ， ∴ m 3＋m 2

= 2 4 m ． ∴m=0，m=± 5 ． 当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ； 当m= 5 时，cos θ= － 6 4， tan θ= － 15 3

； 当m= － 5 时，cos θ= －

6 4，tan θ=15 3 ． 点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数

的定义)解决．

例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集

合E ∩F ．

分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之．

解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π2

＜θ＜2π}， ∴E ∩F=｛θ｜π2

＜θ＜π}． 例3 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ2

是哪个象限的角? 解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+

π2＜θ＜2k π+3π2 ，k ∈Z ． ∴k π+ π4＜θ2＜k π+ 3π4，k ∈Z ． ∴θ2

是第一象限或第三象限角． ① 又∵｜sin θ2|= －sin θ2 ， ∴sin θ2＜0. ∴ θ2是第三、第四象限的角． ② 由①、②知， θ2

是第三象限角． 点评 已知θ所在的象限，求

θ2或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错．

第2课 同角三角函数的关系及诱导公式

【考点指津】

掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1， sin α cos α

=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较

少三角函数名称问题）解题 ．

【讲练平台】

例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)

． 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．

解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α)

= sin α·cos α sin α cos α

=1 ． 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方

法．

例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2

)，求cos θ－sin θ的值． 分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条

件，须将cos θ－sin θ进行平方．

解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34

． ∵θ∈(π4 ，π2

)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 3 2

． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值． 变式2 已知cos θ－sin θ= －

3 2 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余

之二．

例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．

分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ

的式子．

解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ

= 25 ． 点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．

2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．

第3课 两角和与两角差的三角函数（一）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，

能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

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例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12

，求cos(α－β)的值 ． 分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cos

β的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边

平方．

解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12

， ② ①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)=

1336

． ∴cos(α－β)= 7259． 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

例2 求 2cos10°-sin20° cos20°

的值 ． 分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函

数值已知，则可将两个角化成一个角．

解 ∵10°=30°－20°，

∴原式=2cos(30°-20°)-sin20° cos20°

= 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30° cos20°

= 3 ． 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．

分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知

式中的角转化成欲求式中的角．

解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，

∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α．

若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．

点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β

看成一个整体