大学物理力矩转动定律转动惯量

圆盘对P 轴的转动惯量
JP

1 mR2 2
mR2
P R Om
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc

1 12
mL2
J

Jc

m( L)2 2

1 3
mL2
O1
O1’
d=L/2
O2
O2’
19
计算转动惯量的几条规律
1、对同一轴可叠加： J Ji i
Jc J
2、平行轴定理： J Jc md 2
地位相同。 (4) 适用于转轴固定于惯性系中的情
况。
22
用转动定律解决的两类问题
第一类: 由角量运动,求力矩。(微分法) 第二类: 由力矩及初始条件,求刚体运动。(积分法)
y
y
x
h
O
Q
x
O
L
3
例题
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积
元 dA Ldy，作用在此面积元上的力
百度文库
dF pdA pLdy
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
L
4
例题
令大气压为 p0 ，则 p p0 g(h y)
dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
h dF O
dy 代入数据，得：
y
M 2.141012 N m
Q
6
转动定律
（1）单个质点 m与转
轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin θ
M rFt mr2 M mr2
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
7
转动定律
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
（3）求 J
Jc mR2
J 2 R2 m d mR 2
0 2
相当于质量为m的质点对轴的J
14
例题
例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量
解：可视圆盘由许多小圆环组成。
CR m
（1） 选微元d m
dm ds
2rdr

m
R2
2
rdr
(2) 求 d J
利用上题结果 dJ = r2 dm
质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV：体积元
13
例题
例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量
CR m
dm （1） 选取微元 dm
dm dl m Rd m d
2 R
2
（2）求 d J
dJ R2dm R2 m d 2
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z
Jz Jx Jy
mC 质心 d
xi
yi ri
y
x
Δ mi
1 2
m
R2
R
1 4
mR
2
20
讨论
竿
子
长
些
还
是
短
些
更
稳
飞轮的质量为什么
？
大都分布于外轮缘？
21
转动定律的说明
M J
(1) M J , 与M 方向相同。
(2) 为瞬时关系。
(3) 转动中 M J与平动中 F ma
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
8
转动定律
Mij M ji
Mij 0
j
内力矩为零
z
M ij
O

Fjex
F in ij F in ji
Fi ex
r 0
(3) 求 J
J
r 2dm
m
Rr2
0
m
R2
2
rdr

1 mR 2 2
dr
J 1 mR 2
2
15
例题
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
对质心轴 dm dx m dx
l
x
A
C
m
x
0 dx
L
L
2
2
对边缘轴
J
A

1 3
ml2
dJ x2dm x2 dx

p0Lh
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
5
例题
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
y

1 2
p0 Lh 2

1 6
gLh3

(3) 刚体内作用力和反作用力的力 矩互相抵消。
M ij
rj
j

O
d ri
i Fji
Fij
M ji
Mij M ji
2
例题
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深
100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.
求作用在大坝上的力，以及这个力对通
过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
L
Jc
dJ
2 L
x2
dx
m
2
1 ml 2
12
对质心轴
Jc

1 12
ml2
质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。 16
转动惯量
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度 有关。 （2）与刚体的几何形状及体密度 的分
布有关。 （3）与转轴的位置有关。 表4-2中的几种特殊形状的转动惯量需要记忆
10
转动定律 M J
（1）M 0， ω不变
（2） M
J （3） M J J d
dt
11
转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
转动惯量的单位：kg·m2 J 的意义：转动惯性的量度 .
12
转动惯量的计算
J 的计算方法
质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
讨论
(1) 若力F 不在转动平面内，把力分解为平
行和垂直于转轴方向的两个分量

F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩
M
z
k

r

F
z


F
k
O rFz
F

M z rF sin
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1
讨论
(2) 合力矩等于各分力矩 的矢量和 M M1 M2 M3
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平行轴定理
质量为m的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
18
平行轴定理 J Jc md2
M ji mi
Mej ( mjrj2 )α J mjrj2
j
j
转动惯量
J r2dm 9
转动定律
转动定律
M J
文字描述
z
M ij
O

Fjex
F in ij F in ji
Fi ex
M ji mi
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。