大学物理-静电场及矢量分析

θ
4πε0 r 2
drS2＇ dΩ
Φe
q 4πε0
dΩ q ε0
静电场及矢量分析
dS
en
+
dS
dΩ
17
静电场及矢量分析
点电荷在闭合曲面外
dΦ1 E1 dS1 0
dΦ2 E2 dS2 0
dΦ1 dΦ2 0
SE dS 0
q
E2
+
dS2
dS1 E1
18
静电场及矢量分析
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r 的高斯面
E dS E 4 r2
s
q 0
q
E 4 r 2 0
r
a.rR时，高斯面内电荷
q
d
V
4 3
r3
E r
3 0
b.rR时，高斯面内电荷 q 4 R3
3
E
R3 3 0
1 r2
R
30
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
E
-
+
4
静电场及矢量分析 一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
5
静电场及矢量分析 带电平行板电容器的电场线 +++++++++++++
-------------
6
静电场及矢量分析
一 电场线
1 规定
(1) 切线方向为电场强度方向 典型电场
(2) 疏密表示电场强度的大小
的电场线 分布图形
2 特点
(1) 始于正电荷，止于负电荷，非闭合线.
密度为 ，求距平面为r处某点的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
2ES σS
E
ε0
E
E σ
S
2ε0
27
静电场及矢量分析
E σ 2ε0
σ
σ
E
EE
E
28
静电场及矢量分析
无限大带电平面的电场叠加问题
σ
σ
ε0
0
ε0
σ
0
ε0
0
29
高斯定理的应用
静电场及矢量分析
例4 均匀带电球体的电场。球半径为R，体 电荷密度为,球内外的电容率均为。
静电场及矢量分析
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
1
静电场及矢量分析 正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
2
静电场及矢量分析 一对等量正点电荷的电场线
+
+
3
静电场及矢量分析 一对等量异号点电荷的电场线
有电荷的代数和除以 ε0 .
分正负
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
20
静电场及矢量分析
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度为所有电荷在高斯面上的总 电场强度.
(3) 电场强度通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅高斯面内电荷对电场强度通量有贡献.
Φe
E dS
静电场及矢量分析
三 高斯定理
1 高斯定理的导出 在点电荷q的电场中，通过求电场强度通
量导出.
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
15
点电荷位于球面中心
E
4
q
πε0
R
2
Φe
E dS
S
4
q πε0 R 2
dS
S
q
ε0
静电场及矢量分析
dS
+
R
16
点电荷在闭合曲面内
dΦe
q
4πε0r q
2 dS cos dS＇
1
S
ε0
n
qin i
i 1
21
静电场及矢量分析
(5) 连续带电体的高斯定理
Φe
S
E
dS
1 ε0
V
dV
22
静电场及矢量分析
四 高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为： 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
(2) 任何两条电场线不相交.
7
静电场及矢量分析
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
E匀 垂强直电平场面，时.
SS
Een
E
Φe ES
8
静电场及矢量分析
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ，
E与平面夹角 θ.
Φe ES cos θ ES
r
3 0 R3 1 30 r 2
rR rR
E Er 关系曲线
静电场及矢量分析 R
R
3 0
r 2
O
R
r
31
静电场及矢量分析
例5. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内 有一半径为r的空腔，证明空腔内为均匀电场。
证明：取以r'为半径，o'为心的高斯球面
用高斯定理：
S
en
Sθ
E
9
静电场及矢量分析
d非S匀强dS电 e场n ，曲dΦ面e S
.
E
cos θdS
E
dS
Φe
dΦe
E dS
S
en
θ
E
dS
S
10
静电场及矢量分析
非均匀电场，闭合曲面S .
Φe
E dS
S
E cosθdS
S
“穿出”θ 90 “穿进”θ 90
E
θ
en
S
en
θ
E
11
23
静电场及矢量分析
例1 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
解 对称性分析：球对称
高斯面：闭合球面
(1) 0 r R
S
E dS
0
~~
?
E 0
S
O
Rr
Q
24
静电场及矢量分析
(2) r R
E
dS
E
4r 2
Q
S2
ε0
E
Q 4πε0r 2
QE
4π 0 R 2
点电荷系的电场
E dS S
S E1 dS
S E2 dS
S En dS
Φe1 Φe2 Φen
Φ out ei
0
E
Φin ei
E dS
S
1 ε0
qiin
1 n
ε0 i1
qiin
dS
s qi
19
静电场及矢量分析
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
5
Φe Φei 0 i 1
y
P
N
S1
en
o
zM
S2 en E
R
x
en Q
13
静电场及矢量分析
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
Q 4πห้องสมุดไป่ตู้0r 2
o Rr
r
OQ
s
25
静电场及矢量分析
例2 设有一无限长均匀带电直线，单位长
度上的电荷，即电荷线密度为，求距
直线为r 处的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
E
dS
E
2πrh
λh
S
ε0
E λ
2πε0r
+
E
+
h r +o
+
y
x+
26
静电场及矢量分析
例3 设有一无限大均匀带电平面，电荷面
静电场及矢量分析
例0 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量.
解
5
Φe Φei i 1
Φe1 Φe2
y
P
N
S1
en
o
zM
S2 en E
R
x
en Q
12
静电场及矢量分析
Φe1
s1
E
dS
ES1
cos
π
ES1
Φe2 s1 E dS ES2 cosθ ES1