陈畅之原子物理学第四讲：薛定谔方程以及氢原子精细结构的涵义,电子自旋,原子壳层结构汇总

薛定谔方程得出两个结论！
L l l 1
角Baidu Nhomakorabea量量子化
类氢原子中电子的轨道角动量大小为（跟原子核电量Z无关）
l 0,1, 2, ( n 1) 角量子数l——决定电子的轨道角动量 L 的大小
角动量的空间量子化
解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是
Lz ml ml 0, 1, 2, l
l 2, d轨道，ml 2
l 2, d轨道，ml 2
海森堡求出的氢原子能级图
E / eV
l=2, d亚能级（5个方向） -1.51-ΔE(3,2) l=1, p亚能级（3个方向） -1.51-ΔE(3,1) l=0, s亚能级（1个方向） -1.51-ΔE(3,0) -3.40-ΔE(2,1) l=1, p亚能级（3个方向）
(类)氢原子的量子力学处理
氢原子的薛定谔方程
( r , , )
电子在原子核的库仑场中运动：
定态薛定谔方程：
2 2 e2 [ ] (r ) E (r ) 2 40r
Ze 2 U 4 0 r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
2
氢原子在球坐 1 2 1 1 标下的定态薛 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r sin 定谔方程： r r sin r r
2 2 2 1 2 Ze 1 1 [ 2 (r ) (sin ) 2 2 r E ] 2 2 2 r r r 4 0 r sin r sin
不同l对应的角动量方向有 2l 1个， 在z方向的投影 lz (0,1,.... l ),
l 0,1, 2, ( n 1) 角量子数l——决定电子的轨道角动量 L 的大小
L l l 1
对应的投影量子数，磁 量子数ml 0,1,.... l
不同l亚轨道对应不同的角动 量大小，与原子核无关 ！ 13.6 但是对氢原子，对应第 n能级的第l亚能级的能量 2 E (n, l )(eV ) n
名字s. p.d . f .g.h.i. j.k
比如，n=4，第三激发态，对应的能量大约-0.85eV,亚轨道有4个，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角 动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微 影响
单电子L和S耦合后的总角动量J大小
j s
L l (l 1) S s(s 1)
对于一个电子s＝1/2,所以对于轨道角动量的量子数l而言：
J
j( j 1)( j必须大于零 )
1 对 l 0, j ; 2 1 1 对 l 0, j l , l 2 2
量子数ml ——决定轨道角动量在Z方向投影
对同一个 l 角动量Z方向分量可能有 2l+1个不同值
轨道角动量大小量子化
原子中电子处在n能级的等价的轨道角动量大小为
l 0,1, 2, ( n 1) 角量子数l——决定电子的轨道角动量 L 的大小
L l l 1
关于刚体转动相关知识的回顾
z
水星
金星
地球 23度
火星 25度
木星 3度
土星 27度
天王星 95度
海王星 30度
冥王星 120度
0.1度 177度
z
电子自旋 C 55度 125度 55度 125度 55度 125度
电子自旋向上
电子自旋向下
一个电子既拥有类似公转形成的角 动量L，叫做轨道角动量L ，大小量 子化，方向也是量子化的，又有自 转形成的角动量S，大小和方向也是 量子化的，这两个矢量L和S共同作 用，相互影响，形成了一个总角动 量J,这个过程叫做耦合,不是简单的 经典力学中的矢量合成！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的 轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
比如，n=2，第一激发态，
z Lz

L 2
0

亚能级有2个，亚能级l=0,取名s轨道，
对应的L=0，能量值[-3.40-ΔE(2,0) ]eV
，

13.6 (eV ) n2
但是轨道角动量大小却不一定相同，而 且跟n无关，与原子核的电量质量无关！ 比如，n=1，基态对应能量大约-13.6eV, 亚轨道只有一个，对应的轨道量子数l=0, 取名s轨道，对应的角动量L=0！
比如，n=2，第一激发态，对应的能量大约-3.4eV,亚轨道有2个，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角 动量大小L= 2 ！
宏观太阳系运动中的轨道角动量即为公转角动量，可 以连续取值的，方向是公转平面的法线方向！右手螺 旋法则！
公转角动量大小 L 转动惯量I 角速度 m r2 m vr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏 观一样，方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些 特定值跟l有关,可能存在的方向为2l+1个！
1.51
3.40
E n ,l
n=3 n=2
l有两个取值,0和1
l有3个取值,0和1和2
l=0, s亚能级（1个方向）
-3.40-ΔE(2,0)
13 .6 2 E ( n, l ) n
同一种n,l，对应着同样的能量，但是存 在2l+1个公转的法线量子化方向，为了 描述这些分离的法线方向，用 ml= (-l,-l+1,...0,1,2,l) 数字表示这些方向！
乌仑贝克 导师埃伦菲斯特 古兹米特
宏观中的刚体自旋转运动对应的自旋角动量S
对圆盘或陀螺绕中心轴 的自旋角动量 1 1 2 S m R m vR 2 2
电子自旋向上
电子自旋向下
量子力学求解出的
自旋角动量： S s(s 1)
1 s 2
• 狄拉克方程推出了一个结论， 所有的电子都聚具备相同大小 • 的自旋角动量S= 3 ！
2
0
虽然在n=3对应的亚能级l=2也就是d能级对应的角动量可能的方向有5个， 但这五个方向的运动状态中的电子对应的角动量大小都 是 L 2(2 1) 6 ，而且这五个方向对应的能量都完全一样 大小，是【-1.51-ΔE(3,2)】eV
ml 0, 1,
l 2, d轨道，ml 0
1926年，海森堡解得氢原子的能量为 n 3 13.6 13.6 2 E n , l 2 4 (eV ) n l 1 4 n 2 13.6 2 E (n, l ) n e2 1 4 0 c 137 能量与主量子数 n和公转对应的l 能量有 关 n = 1 ，2 ，3 ，……，l=0,1,…n-1
一个绕着中心公转的质 点m每秒钟转过的角度叫做 角速度
则这个转动的角动量 L J 0 m R2 m vR, 方向沿着公转平面的法 线方向！
什么是轨道角动量？对应着行星公转运动
氢原子核内部电子运动的等效的轨道角动量也可类比行星的公转角 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数l来自于薛定谔方程求解
亚能级l=1,取名p轨道角动量大小L= 2 ！这时的角动量的指向方 向和一个特定方向z之间的夹角只能取3个值45度，90度，和135度！ (1,0,1) 所以对应的z方向的投影lz也就只有3个值 ，但是这 三个方向对应的能量大小是一样的都是[-3.40-ΔE(2,1)]eV
又比如，n 3, 第二激发态下有 3个亚轨道， l 0,1,2 对于l 2，d轨道等效角动量大小 L 2(2 1) 6
2
z Sz
2
3 S 2
而且，自旋的轴的方向，
0
2
也就是自旋角动量的方向
只有两个取向,与一个特定方向的夹角 只能取55度和125度！没有其他值！
1 1 从而投影到z轴方向的分量Sz只有两个值， , 2 2 为了描述这两个方向，用ms=±1/2量子数来表达
太阳系各大行星的自旋方向
s, p,d, f, g... S,P,D,F,G...
0,1,2,3,4...
举例说明：
• 氢原子，n=1,只有一个亚能级s能级，即l=0，
过程条件限制的必然结果！
L l l 1
~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1 名字s. p.d . f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n 个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等， 都大约等于
13.6 (eV ) 2 n
但是对应的角动量方向却只能跟特定方 向有分离的特定的（2*2+1）个，即5个 夹角！35.5度，66.5度，90度，115度， 144.5度！
z Lz
2
2
即角动量在z 轴上投影大小仅能取 分立的5种取值 LZ=Lcosθ
L 6
磁量子数ml有5种取值
Lz 0, , 2 Lz ml
狄拉克方程和电子的 自旋
1928年狄拉克把相对论引进了量子力学，建立了相对论形 式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方程。这一方程具 有两个特点：一是满足相对论的所有要求，适用于运动速 度无论多快电子；二是它能自动地导出电子自旋的结论。
其实，在狄拉克方程推导电子具有自旋的三 年前.1925年，为了解释一个重要的实验现象， 当时两位不到25岁的荷兰大学生乌仑贝克和 古兹米特大胆地提出电子的自旋运动的假设， 这纯粹是为了实验结果凑出来的，没有任何 理论依据！这个实验非常重要，以后会给大 家讲解！
13.6 1 2 n 3 E (n, l ) 4 ( ) n 137 l 1 4 2
13.6
n=1
l只有一个取值 l=0, s亚能级 -13.6-ΔE(1,0) 1个方向
小结：电子运动的轨道角动量（公转）
原子中电子处在n能级的等价的轨道角动量有n个， 大小为
天才神童，德国海森堡，19011976,20岁博士毕业（曾经为纳 粹原子弹负责人）
s,p,d,f,g,h,i,j.....------0,1,2,3,4,5,6,7.....
玻尔模型氢原子能级图 海森堡求出的氢原子能级图
E n ,l
13 .6 2 E ( n, l ) n
E / eV
n=3
l有3个取值,0和1和2
海森堡
l=2, d亚能级 3d -1.51-ΔE(3,2)
l=1, p亚能级 3p
l=0, s亚能级 3s
-1.51-ΔE(3,1)
-1.51-ΔE(3,0)
氢原子 能级跃迁 示意图
n=2
l有两个取值,0和1
l=1, p亚能级 l=0, s亚能级 2s
2p -3.40-ΔE(2,1) -3.40-ΔE(2,0)
氢原内电子的跃迁规则： Δl=±1，对n没有限制
E n ,l 13 .6 2 E ( n, l ) n
但是海森堡的理论计算出来 的能级对应的计算的发射光 子频率与光谱精确测量的时 候略有误差！
n=1
l只有一个取值 l=0, s亚能级 -13.6-ΔE(1,0) 1s
关于氢原子内部电子的 轨道角动量的方向问题（即等效于 公转平面的法线方向）
氢原子核内部电子运动的等效的轨道角动量也可类比行星的公转角 动量，但是电子轨道角动量大小是非连续取值的！角量子数l来
自于薛定谔方程求解过程条件限制的必然结果！
L l l 1
~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
比如，n=3，对应能量大约-1.51eV,亚轨 道只有3个，对应的轨道量子数l=0,取名 s轨道，对应的角动量L=0！l=1,取名p轨 道轨道角动量大小L= 2！ l=2,取名d轨 道，L= 6 ；