直线方程的两点式和截距式

直线教案直线方程的两点式和截距式教案

教学目标

1．让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程．

2．通过这节课的学习，让学生学会较灵活的求直线方程的方法，能够一题多法，一题妙法．

3．培养学生的数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础．

教学重点与难点

关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形，是本节课的重点和难点．

教学过程

(先回顾点斜式方程的推导过程，因为点斜式是推导两点式的基础．)

师：上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？

生：点斜式是y-y

1=k(x-x

1

)，x

1

，y

1

是直线l的某一定点P1的坐标，k是这

条直线的斜率．点斜式的推导过程主要依据是直线上任意一点P(x，y)与这条直

线上一个定点P

1(x

1

，y

1

)所确定的斜率相等，并且就是此直线

y-y

1

=k(x-x

1

)．

(此回答可以找两个左右的同学回答，不够的，老师再概括，一定要说清楚．) 老师再使用投影仪，要学生求直线的方程，题目如下：

1．A(8，-1)，B(-2，4)；

2．A(6，-4)，B(-1， 2)；

3．A(x

1，y

1

)，B(x

2

，y

2

)(x

1

≠x

2

)．

(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程．)

师：请你说出上述练习的求解过程及答案．

(学生Ⅰ、Ⅱ略)

生Ⅲ：首先利用直线的斜率公式求出斜率k，然后利用点斜式写出

师：这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？

生：可以直接用上述答案作为求直线方程的公式．

(老师应适时表扬该学生)

就比较对称和美观，体现了数学美．由于这个方程是由直线上两点确定的，我们可以把这种直线方程取一个什么名字？

生：可以叫做直线方程的两点式．

(教师引导学生对下述问题进行分析)

生：不同，因为后者y

1≠y

2

，所以后者不能表示倾斜角是90°的直线．

师：这个问题提得好，但后者形式对称，整齐，便于记忆及应用，所以采用后者作为公式。

师(启发)：两点式公式里面的x

1≠x

2

，y

1

≠y

2

，哪些直线不能用公式表示？

生：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示．

师(启发学生)：若x

1=x

2

，y

1

=y

2

，使得x

1

-x

2

=0，y

1

-y

2

=0，而x

1

-x

2

，y

1

-y

2

作

为分母，使两点式的直线方程没有意义，所以不能表示斜率是0°或90°的直线，因此为了完整，就应该写成：

这个形式有点繁，能记住吗？

生：如果把两点式变成(y-y

1)(x

2

-x

1

)=(x-x

1

)(y

2

-y

1

)，那么就可以用它来求过

平面上任意两已知点的直线方程．

师：非常好，请你给同学们说明一下，为什么要化成这种形式？

生：因为x

1-x

2

=0，或y

1

-y

2

=0时作分母，方程没有意义，如果x

1

-x

2

，y

1

-y

2

不作为分母，直线方程是有意义的，所以也就可以表示斜率为0°或90°的直线方程，那也就可以表示过平面上任意两已知点的直线方程．(老师应充分肯定学生的回答)

≠x

2，y

1

≠y

2

)，对一条具体直线来说，(x

1

，y

1

)和(x

2

，y

2

)可以用直线上两个

不同的点代替．

师：我们推导两点式是通过点斜式推导出的，还可不可以通过其它途径来进行推导？

生：还可以通过斜率相等来推导，在直线AB上任取一点P(x，y)，

(下面用投影仪映出下列练习题，应用和巩固学过的知识．)

练习1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程：

(1)P(0，-3)，P

2

(2，1)；

(2)A(0，6)，B(6，0)；

(3)C(-7，-8)，O(0，0)；

(4)P

1(a，0)，P

2

(0，b)(a≠0，b≠0)．

练习2 三角形的3个顶点是A(2，1)，B(0，7)，(-4，-1)，求这个三角形3条中线所在的直线方程．

(要学生说出答案，好的应加以表扬．)

这个方程形式非常对称、美观，其中a是横截距，b是纵截距．我们把这个式子叫做直线方程的截距式．

生(问)：a、b表示截距，是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离呢？

师：a、b表示截距，是直线与坐标轴交点的横坐标和纵坐标，而不是距离．

师：请同学观察，通过截距式有没有不能表示的直线方程？

生：有，与x轴或y轴的截距为零的时候，即截距式不表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线．

师：回答得很好，截距式的左边是两项的和，其中一项是以横坐标x为分子，横截距a为分母的分数，另一项是以纵坐标y为分子，纵截距b为分母的分数；右边是1．

(用投影仪映出一些练习题，巩固学过的直线方程．)

练习3 说出下列直线的截距式方程：

1)横截距是3，纵截距是5；

2)横截距是10，纵截距是-7；

3)横截距是-4，纵截距是-8；