直线方程的两点式和截距式

直线教案直线方程的两点式和截距式教案
教学目标
1．让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程．
2．通过这节课的学习，让学生学会较灵活的求直线方程的方法，能够一题多法，一题妙法．
3．培养学生的数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础．
教学重点与难点
关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形，是本节课的重点和难点．
教学过程
(先回顾点斜式方程的推导过程，因为点斜式是推导两点式的基础．)
师：上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？
生：点斜式是y-y
1=k(x-x
1
)，x
1
，y
1
是直线l的某一定点P1的坐标，k是这
条直线的斜率．点斜式的推导过程主要依据是直线上任意一点P(x，y)与这条直
线上一个定点P
1(x
1
，y
1
)所确定的斜率相等，并且就是此直线
y-y
1
=k(x-x
1
)．
(此回答可以找两个左右的同学回答，不够的，老师再概括，一定要说清楚．) 老师再使用投影仪，要学生求直线的方程，题目如下：
1．A(8，-1)，B(-2，4)；
2．A(6，-4)，B(-1， 2)；
3．A(x
1，y
1
)，B(x
2
，y
2
)(x
1
≠x
2
)．
(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程．)
师：请你说出上述练习的求解过程及答案．
(学生Ⅰ、Ⅱ略)
生Ⅲ：首先利用直线的斜率公式求出斜率k，然后利用点斜式写出
师：这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？
生：可以直接用上述答案作为求直线方程的公式．
(老师应适时表扬该学生)
就比较对称和美观，体现了数学美．由于这个方程是由直线上两点确定的，我们可以把这种直线方程取一个什么名字？
生：可以叫做直线方程的两点式．
(教师引导学生对下述问题进行分析)
生：不同，因为后者y
1≠y
2
，所以后者不能表示倾斜角是90°的直线．
师：这个问题提得好，但后者形式对称，整齐，便于记忆及应用，所以采用后者作为公式。

师(启发)：两点式公式里面的x
1≠x
2
，y
1
≠y
2
，哪些直线不能用公式表示？
生：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示．
师(启发学生)：若x
1=x
2
，y
1
=y
2
，使得x
1
-x
2
=0，y
1
-y
2
=0，而x
1
-x
2
，y
1
-y
2
作
为分母，使两点式的直线方程没有意义，所以不能表示斜率是0°或90°的直线，因此为了完整，就应该写成：
这个形式有点繁，能记住吗？
生：如果把两点式变成(y-y
1)(x
2
-x
1
)=(x-x
1
)(y
2
-y
1
)，那么就可以用它来求过
平面上任意两已知点的直线方程．
师：非常好，请你给同学们说明一下，为什么要化成这种形式？
生：因为x
1-x
2
=0，或y
1
-y
2
=0时作分母，方程没有意义，如果x
1
-x
2
，y
1
-y
2
不作为分母，直线方程是有意义的，所以也就可以表示斜率为0°或90°的直线方程，那也就可以表示过平面上任意两已知点的直线方程．(老师应充分肯定学生的回答)
≠x
2，y
1
≠y
2
)，对一条具体直线来说，(x
1
，y
1
)和(x
2
，y
2
)可以用直线上两个
不同的点代替．
师：我们推导两点式是通过点斜式推导出的，还可不可以通过其它途径来进行推导？
生：还可以通过斜率相等来推导，在直线AB上任取一点P(x，y)，
(下面用投影仪映出下列练习题，应用和巩固学过的知识．)
练习1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程：
(1)P(0，-3)，P
2
(2，1)；
(2)A(0，6)，B(6，0)；
(3)C(-7，-8)，O(0，0)；
(4)P
1(a，0)，P
2
(0，b)(a≠0，b≠0)．
练习2 三角形的3个顶点是A(2，1)，B(0，7)，(-4，-1)，求这个三角形3条中线所在的直线方程．
(要学生说出答案，好的应加以表扬．)
这个方程形式非常对称、美观，其中a是横截距，b是纵截距．我们把这个式子叫做直线方程的截距式．
生(问)：a、b表示截距，是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离呢？
师：a、b表示截距，是直线与坐标轴交点的横坐标和纵坐标，而不是距离．
师：请同学观察，通过截距式有没有不能表示的直线方程？
生：有，与x轴或y轴的截距为零的时候，即截距式不表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线．
师：回答得很好，截距式的左边是两项的和，其中一项是以横坐标x为分子，横截距a为分母的分数，另一项是以纵坐标y为分子，纵截距b为分母的分数；右边是1．
(用投影仪映出一些练习题，巩固学过的直线方程．)
练习3 说出下列直线的截距式方程：
1)横截距是3，纵截距是5；
2)横截距是10，纵截距是-7；
3)横截距是-4，纵截距是-8；
练习4 已知Rt△ABC的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，BC在y轴正方向上，(如图1-20)，求斜边AB所在的直线方程．
答案如下：练习3：
1)5x+3y-15=0；
2)7x-10y-70=0；
3)3x+4y+12=0；
练习4：4x-3y+12=0．
(下面再出示几道例题，可以用投影仪或小黑板的形式，进一步巩固和应用所学的知识．)
例1 三角形的顶点是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0， 2)，求这个三角形3条边所在直角的方程．
师：求这个三角形3条边所在直线的方程，可以采用什么方法？
生：三角形的 3个顶点 A(-5， 0)， B(3，-3)，C(0， 2)，所以这个三角形3条边所在直线可以利用两点式来求．
师：回答得非常好．但我们已经学过4种(点斜式、斜截式、两点式、截距式)求直线方程的方法，本题这个三角形3条边所在直线的求法，能否可以用其它方法解题，以使得求解直线方程更简单、更方便？
生：根据A、B、C坐标的特征，求AB所在直线的方程应选用两点式，求BC 所在直线的方程应选用斜截式；求AC所在直线的方程应选用截距式．
(上面这一段可以找几个学生回答完整．)
(板书解题过程)
解AB所在直线的方程，由两点式得：
即 3x+8y+15= 0；
BC所在直线的方程，由斜截式得：
即 5x+3y-6=0；
AC所在直线的方程，由截距式得：
即 2x-5y+ 10= 0．
例2 已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．
师：通过对题意的分析，有没有同学说怎样求正方形各边及对称轴所在直线的方程？
生：图中各点的坐标都可以求出，所以各直线均可通过两点式求出．
师：很好．但能不能结合题目本身的特点，采用更直接、更方便的方法来求这直线的方程？
生：由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ，MN，x轴，y轴则不能用截距式，其中PQ，MN 应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出．
(板书解法，可由学生完成．)
解因为|AB|=4，
对称轴方程分别为x±y=0，x=0，y=0．
三、小结：
让学生小结两点式和截距式的已知条件，直线方程及应用范围．
四、布置作业：
1．求经过下列每两点的直线方程：
(1)(1，-4)，(3，4)；
(2)(7，-5)，(-3， 10)；
(3)(-3， 0)，(0，-3)；
(4)(0，0)，(3，5)．
2．已知三角形的3个顶点是A(-4，-1)， B(6，4)，C(0，-4)，求三角形 3条边和3条中线所在的直线方程．
3．菱形的两条对角线分别等于8和6，并且分别放置在x轴上和y轴上，对角线的交点和原点重合，求菱形各边所在直线的方程．
4．根据下列所给的条件，求直线的方程：
(1)经过(-7，9)，并且倾斜角是135°；
(3)经过(0，10)，并且sinα=(α是倾斜角)；
(4)经过(-2，5)，(2，-2)；
设计说明
长篇大论了一番，只是为了让读者非常清楚地了解授课的详细过程，实际上，这节课的结构非常清晰明了，大致如下：
1．复习点斜式方程及推导过程，通过点斜式导出两点式．
2．进一步讨论两点式的几种变式，以及各种变式对是否能表示几种特殊直线的影响．
3．由两点式导出截距式．
4．通过习题巩固和应用所学知识．
计算机技术的发展日新月异，将计算机引进课堂是大势所趋，有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学，以提高教学效果，激发学生兴趣，达到事半功倍的效果．如本节课的两点式的公
常会被学生忽视．老师就可以制作多媒体课件，以加深学生的印象．介绍如
下：在直角坐标系中，给出两个已知点A(x
1，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，但A点B点的坐
标受变量控制，即是可变的，坐标系中显示A、B两点决定的直线，且显示相对应的两点式表示的直线方程，当A、B两点不断任意变化时，直线和直线方程也
随之不断变化(通过动感引发学生的兴趣)，并伴随悦耳的音乐声，只有当x
1=x
2
或y
1=y
2
时，直线依然存在，而直线方程显示“不存在”(并不断闪烁)，伴以刺
耳的提示音，且变幻的画面停滞不前，须用鼠标点击才能继续运转．对于两点式的其它变式也可以同样如法炮制．通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣，达到意想不到的效果，学生学过以后也会终生难忘．。