山东科技大学概率论卓相来岳嵘第二章习题解析

习 题 二

1. 一袋中装有5只球，编号依次为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大的号码，写出随机变量X 的分布律.

解 以X 表示取出的3只球中的最大的号码，由古典概型易知X 的分布律为

2.一批产品包括10件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止. 假定每件产品被取到的机会相同，求抽取次数X 的分布律.

解 抽取产品为伯努里试验，设事件A ={取到正品}，103(),11313

P A p q p ==

=-= 事件{}X k =表示前1k -次均取到次品，而第k 次首次取到正品，则X 的分布律

3. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p ，当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X 的分布律.

解 由题设可知，自动生产线生产产品（废品与合格品）为贝努里试验，事件{}X k =表示首次出现废品之前已生产k 个合格品，而生产合格品的概率为1p -，则在两次调整之间生产的合格品数X 的分布律为

{}(1),(0,1,2,)k P X k p p k ==-=

4. 将一颗骰子抛掷两次，X 表示两次中得的小的点数，求X 的分布律. 解 样本空间{(1,1),(1,2),

,(1,6),(2,1),,(2,6),,(6,1),,(6,6)}S =

随机变量X 的所有取值为1,2,3,4,5,6,X 的分布律

5. 试确定常数c ，使得下列函数成为分布律： （1）{}n k ck k X P ,,2,1, ===； （2）{},0,1,2,,,0.!

k P X k c

k n k λλ===>， λ为常数.

解 （1）{},1,2,

,P X k ck k n ===

11310

{}(,(1,2,)

1313

k k P X k q p k --====）

由

n

1

1k ck ==∑ 得2

(1)c n n =+

（2）{},0,1,2,,,,0.!

k P X k c

k n k λλ===>

由

k

e 1k k c c λλ∞

===∑！ 得c e λ-

=

6. 设在三次独立试验中，A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率为27

19，求A 在一次试验中出现的概率.

解 设A 在一次试验中出现的概率为p ，在三次独立试验中，A 出现的次数为X 则~,)X b p （3.X 的分布律为

33{}(1)k k k P X k C p p -==- 0,1,2,3k =.

已知A 至少出现一次的概率为

319{1}1{0}1(1)27P X P X p ≥=-==--=

， 1

3

p = 7. 一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率是0.1，问在同一时刻

（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2） 至多有3个设备被使用的概率是多少？ （3） 至少有1个设备被使用的概率是多少？

解 设在同一时刻被使用设备的个数为X ，则)1.0,5~（b X .X 的分布律为

k k k C k X P -==55)9.0()1.0(}{ 5,,1,0 =k .

于是(1) 恰有2个设备被使用的概率为

223

5{2}(0.1)(0.9)0.0729P X C ===

(2) 至多有3个设备被使用的概率是

445

555{3}1{4}{5}1(0.1)(0.9)(0.9)0.40906P X P X P X C C ≤=-=-==--=

(3) 至少有1个设备被使用的概率是

5{1}1{0}10.90.40951P X P X ≥=-==-=

8. 甲、乙进行投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.今各投3次.求 （1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率.

解 设各投3次甲、乙两人投中的次数分别为X Y 、，则

~,0.6)~,0.7)X b Y b （3、（3.

X 的分布律为 33{}(0.6)(0.4)k k k

P X k C -== 0,1,2,3k =.

{0}0.064,{1}0.288,P X P X ==== {2}0.432,{3}0.216,P X P X ====

Y 的分布律为 33{}(0.7)(0.3)k k k P Y k C -== 0,1,2,3k =

{0}0.027,{1}0.189,P Y P Y ==== {2}0.441,{3}0.343,P Y P Y ====

（1）两人投中次数相等的概率为3

{}{,}0.32076k P X Y P X k Y k ===

===∑

（2）甲比乙生产投中次数多的概率. 3

{}{,}0.243k P X Y P X k Y k =>=

=<=∑

9. 设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.,20定为不合格不能出厂。现该厂新生产了(2)n n ≥ 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1）全部能出厂的概率α；

（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β； （3）其中至少有两件不能出厂的概率θ；

解 记A =“仪器需调试”，B =“仪器能出厂”，A =“仪器能直接出厂”， AB =“仪器经调试后能出厂”

，B A AB =+，()0.3P A =， ()0.8P B A =， ()()()0.30.80.24P AB P A P B A ==⨯=

()()()0.70.240.94P B P A P AB =+=+=

设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X 作为所生产的n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布，即(,0.94)X

B n ，因此

（1）()0.94n

P X n α===

（） （2）222

(2)0.94

0.06n n P X n C β-==-=（）（） （3）1

1

1{2}1{1}{}

10.94

0.060.9410.060.940.94n n

n n n

P X n P X n P X n C n θ--=≤-=-=--==-=-（）-（）（）-（）