(完整版)高中数学数列知识点整理(可编辑修改word版)

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高中数学数列知识点总结(精华版)

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..一、数列1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的,在这里,只强调有“次序〞,而不强调有“规律〞.因此,如果组成两个数列的数一样而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2.通项公式:如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即af(n)n.3.递推公式:如果数列a n的第一项〔或前几项〕,且任何一项a n与它的前一项a〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示,即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2),n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中,a11,a n2a n1,其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a;②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、n*a2(nN)nn156,那么在数列{}a的最大项为__〔答:n125〕;2、数列{}a的通项为nana n,其中a,b均为正数,那么a n与a n1的大小关系为___〔答:bn1aa n1〕;n23、数列{a}中,a是递增数列,XX数的取值X围〔答:3〕;ann,且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在以下图中,并且对任意a(0,1),由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN),那么该函数的图象是〔〕〔答:A〕neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义:如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。

(完整版)高中数学数列知识点整理

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1数列中a n 与S n 之间的关系:a nS ‘(n 1)注意通项能否合并。

S n & i ,(n 2).2、等差数列:⑴定义:如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即a n - a n 1=d , (n >2, n € N ), 那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项:若三数 a 、A b 成等差数列或a n pn q (p 、q 是常数)⑷前n 项和公式:n n 1 S n n^d2⑸常用性质: ① 若 mn p q m,n, p,q N ,贝U a m a n a p a q;② 下标为等差数列的项 a k ,a k m ,a k 2m ,,仍组成等差数列; ③ 数列 a n b ( ,b 为常数)仍为等差数列;④ 若{a n }、{0}是等差数列,则{ka n }、{ka n pb n } (k 、p 是非零常数)、{a p nq }( p,q N )、,…也成等差数列。

⑤单调性: a n 的公差为d ,则:i) d 0 a n 为递增数列; ii) d 0 a n 为递减数列; iii) d 0a n 为常数列;⑥数列{a n }为等差数列 a n pn q ( p,q 是常数)⑦若等差数列 a n 的前n 项和S n ,则S k 、S 2kS k 、S 3k S 2k …是等差数列。

3、等比数列⑴定义:如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项:若三数a 、Gb 成等比数列G 2 ab, ( ab 同号)。

反之不一定成立。

数列⑶通项公式:a n a 1(n 1)d a m (n m)dn a-i a n2⑶通项公式:a nn 1n maga m q⑷前n 项和公式:a 1 1 q n S i1 qa 1 a n q 1 q⑸常用性质①若m n pq m,n, p,q N , 则 am ana p a q;② a k ,a k m ,a k 2m ,为等比数列, 公比为 q k (下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③ 数列a n (为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;正项等比数列 a n ;则lg a n 是公差为lg q 的等差数列;④ 若a n 是等比数列,则 ca n , a n 2 ,a n r(r Z )是等比数列,公比依次是⑤ 单调性:a i 0,q 1或印 0,0 q 1 a “为递增数列; a i 0,0 q 1或q 0,q1a .为递减数列;q 1 a n 为常数列; q 0a n 为摆动数列;⑥ 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结 数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常称为首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项,所以数列的一般形式可以写成: ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 2.从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 3.各项相等的数列叫做常数列;4.从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列; 知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义:我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和,称为数列{}n a 的前n 项和,记作n S ,即n n a a a S +++= 21。

2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系:⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列,这时A 叫做b a 与的等差中项。

1.根据等差中项的定义:b A a ,,是等差数列,则2b a A +=;反之,若2ba A +=,则b A a ,,是等差数列。

2.在等差数列{}n a 中,任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11,则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项;反之,n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立,则数列{}n a 是等差数列。

(完整版)高考数学专题《数列》超经典

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高考复习序列-----高中数学数列一、数列的通项公式与前n 项的和的关系①11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩(注:该公式对任意数列都适用)②1(2)n n n S S a n -=+≥ (注:该公式对任意数列都适用) ③12n n S a a a =+++L (注:该公式对任意数列都适用) ④s n+1−s n−1=a n+1+a n (注:该公式对任意数列都适用) 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列⑴ 通项公式与公差:定义式:d a a n n =--1一般式:()q pn a d n a a n n +=⇔-+=11 推广形式: ()n m a a n m d =+-ma a d mn --=⇔;⑵ 前n 项和与通项n a 的关系:前n 项和公式:1()n n n a a s +=1(1)n n na d -=+211()2d n a d n =+-.前n 项和公式的一般式:应用:若已知()n n n f +=22,即可判断为某个等差数列n 的前n 项和,并可求出首项及公差的值。

n a 与n S 的关系:1(2)n n n a S S n -=-≥(注:该公式对任意数列都适用)例:等差数列12-=n S n ,=--1n n a a (直接利用通项公式作差求解) ⑶ 常用性质:①若m+n=p+q ,则有 m n p q a a a a +=+ ;特别地:若,m n p a a a 是的等差中项,则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差数列;②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++,⋅⋅⋅)仍是等差数列;③{}n a 为公差为d 等差数列,n S 为其前.n .项和..,则232,,m m m m m S S S S S --,43m m S S -,...也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2d ,即m 2d=(S 2m -S m )- S m ;B 、 对于任意已知S m ,S n ,等差数列{}n a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结导语:数列是以正整数集为定义域的函数,是一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

下面是我整理的高中数学数列知识点总结,供参考。

数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。

图像法;c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时,A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系:A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式:Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

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高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题: ① 已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角,求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题: ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形 式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中:ABC,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、 三角公式: (1) 倍角公式: (2) 两角和、差公式:1正弦定理:a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理: b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义:a n 1 and ( d 为常数),通项公式: a n ai n 1 d(2)等差中项: x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和: S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质: a n 是等差数列① 任意两项间的关系式; a n = a m + (n — m )d (m 、n € N ) ② 若 m n p q ,贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列,公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列,可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列,且前n 项和分别为S n , T n ,则空 乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn ( a,b 为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值;或者求出a .中的正、负分界项,a o即:当a ,, d 0,解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义:也a nq ( q 为常数,q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质: a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ,贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy(要注意!)(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列,公比为ql注意:由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时,a 1 S i ; n 2 时,a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法 如:数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解:n 1时, n 2时,為 2 1 / 1尹214 2n①-②得:寺a n2,…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ,代入得S n[练习]数列a n 满足S n a 1 n 2 时,a nS n S n 14,求 a n又S 4 , • S n 是等比数列,S n 4(2)叠乘法如:数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o,求a n,用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……[练习]数列a n中,a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数,可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如:a11,an 12a n求a n 2由已知得:1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列,11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2,求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附:公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ,求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列, 也不是等比数列的数列,若将这类 数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。

高中数学数列知识点归纳

高中数学数列知识点归纳

高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如,1,2,3,4,5……就是一个自然数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。

数列的一般形式可以写成 a₁,a₂,a₃,…,aₙ,…,其中 aₙ 是数列的第 n 项。

我们用{aₙ} 来表示一个数列。

二、数列的分类1、按项数分类(1)有穷数列:项数有限的数列。

例如,数列 1,2,3,4,5 就是一个有穷数列。

(2)无穷数列:项数无限的数列。

比如自然数列 1,2,3,4,……就是一个无穷数列。

2、按项的大小变化分类(1)递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列。

例如,数列 1,2,4,8,16,……就是一个递增数列。

(2)递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列。

比如数列 10,8,6,4,2 就是一个递减数列。

(3)常数列:各项都相等的数列。

例如,数列 3,3,3,3,……就是一个常数列。

(4)摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列。

比如数列 1,-1,1,-1,1,……就是一个摆动数列。

三、数列的通项公式如果数列{aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如,数列 1,3,5,7,9,……的通项公式为 aₙ = 2n 1 。

通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项,也能让我们更深入地了解数列的性质。

四、数列的递推公式如果已知数列{aₙ} 的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

例如,已知数列{aₙ} 的首项 a₁= 1 ,且 aₙ = aₙ₋₁+ 2 (n ≥2 ),则可以依次求出 a₂= a₁+ 2 =3 ,a₃= a₂+ 2 = 5 ,……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。

高一数学必修一 - 数列知识点总结

高一数学必修一 - 数列知识点总结

高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

如果数列的公差为d,则数列的通项公式为:$a_n = a_1 + (n-1)d$,其中$a_n$为第n项,$a_1$为首项,n为项数。

b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

如果数列的公比为r,则数列的通项公式为:$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$,其中$a_n$为第n项,$a_1$为首项,n为项数。

2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。

根据数列的类型,可以通过公式求解任意项。

b. 公差和公比对于等差数列,公差是指相邻两项之间的差值。

公差可以用于确定数列的特征和性质。

对于等比数列,公比是指相邻两项之间的比值。

公比可以用于确定数列的特征和性质。

c. 首项和末项首项是数列中的第一项,通常用$a_1$表示。

末项是数列中的最后一项,通常用$a_n$表示。

d. 项数项数是数列中项的个数,通常用n表示。

e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解:$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$,其中$S_n$表示前n项和。

f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解:$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$,其中$S_n$表示前n项和。

3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用,其中一些常见的应用包括:a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等,帮助人们进行财务规划和计算。

b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题,如运动物体所经过的位置、速度等的计算。

c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测,帮助人们了解和预测事物的发展趋势。

总结数列是数学中非常重要的概念,常见的数列包括等差数列和等比数列。

数列高考知识点归纳(非常全)

数列高考知识点归纳(非常全)

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列;依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法); 数列通项:()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时,总有 1,()n n a a d d +-=常,d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1)、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数,其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2)、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-,即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ,则以 m a 为第一项,n a 是第n-m+1项,公差为d ; 若n<m ,则 m a 以为第一项时,n a 是第m-n+1项,公差为-d.3)、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列,则12(2)p q a a a p q d +=++- ,12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题:在等差数列中,若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=. 3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++,相加得 12n n a a S n +=, 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠,是n 的二次函数。

高中数列知识点大全

高中数列知识点大全

高中数列知识点大全ps:整理不易,点赞支持已完结的地方:一、等差数列二、斐波那契数列三、数列的通项公式四、数列的放缩尚未完结的地方:一、等比数列的部分例题二、拓展:提丢斯数列(全国卷考到了)三、周期数列的部分例题四、求和可能要个目录一、等差数列1、等差数列的基本概念和基本公式如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列。

(1)递推关系:a_{n+1}-a_{n}=d(常数),或 a_{n}-a_{n-1}=d(n\inN^\ast且n\geq2)。

(2)通项公式:a_{n}=a_1+(n-1)d 。

推广形式: a_{n}=a_m+(n-m)d (当 d\ne0 时, a_n 是关于 n 的一次函数)(3)求和公式:S_{n}=\dfrac{n\left( a_{1}+a_{n}\right) }{2}=na_{1}+\d frac{n\left( n-1\right) }{2}d (当 d\ne0 时, S_n 是关于 n 的二次函数,且常数项为零)例题:2011 湖北文 92、等差数列的主要性质等差数列的性质主要包括以下12个方面。

(1)若 n+m=p+q ,则 a_n+a_m=a_p+a_q 。

(反之不一定成立,如常数数列)(2)等差中项:若三个数 a,b,c 成等差数列,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,即 2b=a+c ,可将这三个数记为:b-d , b ,b+d 。

例题一:例题二(3) a_k,a_{k+m},a_{k+2m},…构成以 md 为公差的等差数列。

(4)在等差数列中依次取出若干个n项,其和也构成等差数列,即S _ { n } , S _{ 2 n } - S _ { n } , S _ { 3 n } - S _ { 2n } , \dots \ldots 也为等差数列,公差为n^2d ;图示理解:\underbrace { a _ { 1 } , a _{ 2 } , \cdots , a _ { m } } _ { s _{ m } },\underbrace { a _ { m + 1 } , a _ { m+ 2 } , \cdots , a _ { 2 m } } _ { s _ { 2 m }- s _ { m } },\underbrace { a _ { 2m + 1 } , a _ { 2m + 2 } , \cdots , a _ { 3 m } } _ { s _ { 3 m } - s _ { 2m } },(5)两个等差数列\left\{ a _ { n } \right\}与\left\{ b _ { n } \right\}的和差的数列 \left\{ a _ { n } \pm b _ { n } \right\} ,\left\{ pa _ { n } \pm qb _{ n } \right\} 仍为等差数列。

高中数学数列知识点归纳

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高中数学数列知识点归纳一、数列的概念与性质1.数列的定义:数列是一组按照一定规律排列的实数,通常用{a1, a2,a3,...}表示。

2.数列的分类:根据项的性质,数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等;根据项之间的关系,数列可分为等差数列、等比数列、几何数列等。

3.数列的性质:数列具有交换性、结合律、分配律等基本运算性质。

二、等差数列1.等差数列的定义与性质:等差数列是相邻两项之差为一个常数的数列。

2.等差数列的通项公式:an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。

3.等差数列的前n项和公式:Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * [2a1 + (n-1)d]。

4.等差数列的求和公式应用:求解等差数列前n项和的最值、求解等差数列中的未知量等问题。

三、等比数列1.等比数列的定义与性质:等比数列是相邻两项之比为一个常数的数列。

2.等比数列的通项公式:an = a1 * q^(n-1),其中a1为首项,q为公比。

3.等比数列的前n项和公式:Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

4.等比数列的求和公式应用:求解等比数列前n项和的最值、求解等比数列中的未知量等问题。

四、其他数列1.几何数列:几何数列是相邻两项之比为一个常数的数列,通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

2.调和数列:调和数列是相邻两项之比为根号下n的数列,通项公式为an = a1 * (n^(1/2))^(n-1)。

3.Fibonacci数列:Fibonacci数列是满足递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)的数列,具有递归关系。

五、数列的递推关系与迭代1.递推关系的定义与性质:递推关系是利用数列的前几项求解后续项的关系。

2.迭代的方法与应用:迭代是求解递推关系的一种方法,可用于求解数列中的未知量、求解数列的极限等。

六、数列的极限与连续1.数列极限的定义与性质:数列极限是数列趋于某个值的过程,具有唯一性、无穷小性等性质。

高中数学数列知识点.总结(精华版)

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. .一、数列1. 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.⑵在数列中同一个数可以重复出现.⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念.⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列2. 通项公式:如果数列a n 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即 a f (n)n .3. 递推公式:如果已知数列a n 的第一项(或前几项),且任何一项a n 与它的前一项a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ,n 1那么这个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中,a1 1, a n 2a n 1 ,其中na n 2a n 1是数列a n 的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式①S n a1 a2 a ;②nS (n 1)1a n .S S (n 2)n n 15. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.①递增数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .②递减数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, .④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N .⑥无界数列: 对于任何正数M , 总有项a 使得a n M .n1、已知n*a 2 (n N )nn 156,则在数列{ }a 的最大项为__(答:n125);2、数列{ }a 的通项为nana n ,其中a,b 均为正数,则a n 与a n 1 的大小关系为___(答:bn 1a a n 1);n23、已知数列{ a } 中, a 是递增数列,求实数的取值范围(答:3);a n n ,且{ } nn n4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中,并且对任意a( 0,1) ,由关系式a n 1 f (a n )1* 得到的数列{ }a 满足a n 1 a n (n N ) ,则该函数的图象是()(答:A)neord 完美格式. .二、等差数列1、等差数列的定义:如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。

高中数列知识梳理(打印版)

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数列知识梳理⏹数列的概念
数列的函数特性:数列是一种特殊的函数数列的相关概念
数列的分类
按项数分类:有穷数列、无穷数列
按项与项间的大小关系:递增数列、递减数列、常数列
按其他标准分类:有界数列、摆动数列
⏹等差数列
等差数列的有关概念
等差数列与一次函数的关系
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的常用性质
等差数列{an }的前n和Sn的性质
等比数列
等比数列的有关概念
等比数列中的函数关系
等比数列的前n项和
等比数列的性质
等比数列的常用性质
等比数列{an }的前n和Sn的性质
数列求和
公式法
分组(并项)法求和
错位相减法求和
裂项相消法求和
倒序相加法求和
数列的综合应用
数列与函数的综合
数列是一种特殊的函数,它的图象是一些孤立的点,此类问题大部分要归于对函数性质的研究,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想求解
数列与不等式
1.判断数列中的不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者借助数
列对应的函数的单调性比较大小
2.数列中的恒成立问题,可转化为函数求最值问题解决.
3.数列中的不等式证明问题,可构造函数进行证明,或者采用放缩法进行
证明
数列在实际应用中的常见模型:等差模型、等比模型、递推数列模型。

高中数学数列知识点归纳

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高中数学数列知识点归纳摘要:一、数列的定义与性质1.等差数列的定义与性质2.等比数列的定义与性质二、数列的求和公式1.等差数列的前n 项和公式2.等比数列的前n 项和公式三、数列的应用1.高考数学中数列的知识点考察2.数列在实际问题中的应用正文:高中数学数列知识点归纳数列是高中数学中的一个重要知识点,它在历年的高考中都占有重要的地位。

本文将对数列的定义、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。

一、数列的定义与性质1.等差数列的定义与性质等差数列是指一个数列,它的相邻两项之差是一个常数,这个常数称为公差。

等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中a1 是首项,d 是公差,n 是项数。

等差数列的前n 项和公式为:sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

2.等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列,它的相邻两项之比是一个常数,这个常数称为公比。

等比数列的通项公式为:an = a1 * q^(n-1),其中a1 是首项,q 是公比,n 是项数。

等比数列的前n 项和公式为:sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),当q = 1 时,等比数列变为等差数列。

二、数列的求和公式1.等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和公式为:sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

2.等比数列的前n 项和公式等比数列的前n 项和公式为:sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),当q = 1 时,等比数列变为等差数列。

三、数列的应用1.高考数学中数列的知识点考察高考数学中,数列是一个重要的考点,主要考察等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式,以及数列的求和、递推关系、极限等。

2.数列在实际问题中的应用数列在实际问题中有很多应用,如在金融领域,等比数列可以用来计算复利的未来值;在生物领域,等差数列可以用来描述种群数量的增长;在物理领域,等差数列可以用来描述匀速运动的速度等。

(完整版)高中数学等差数列性质总结大全

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等差数列的性质总结1. 等差数列的定 : a n a n 1 d ( d 常数)( n 2 );2.等差数列通 公式:a n a 1 (n 1)ddn a 1 d (n N * ) ,首 : a 1 ,公差 :d ,末 : a n实行:a na m( n m)d .从而 da nam ; n m3.等差中(1)若是 a , A , b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中 .即: Aa b 或 2 A a b2(2)等差中 :数列 a n 是等差数列2a na n-1an1 (n2) 2a n 1a nan 24.等差数列的前n 和公式:S nn( a 1 a n ) na 1 n(n 1) dd n 2 (a 1 1 d)n An 2 Bn22 2 2(其中 A 、 B 是常数,所以当 d ≠ 0 , S n 是关于 n 的二次式且常数 0)特 地,当 数 奇数2n 1 , a n 1 是 数2n+1 的等差数列的中S2n2n 1a 1a2 n 12n 1 a n 1 ( 数 奇数的等差数列的各 和等于 数乘以中 )125.等差数列的判断方法 (1) 定 法:若 a n a n 1 d 或 a n 1 a nd ( 常数 n N )a n 是等差数列.(2) 等差中 :数列a n 是等差数列2a na n -1 a n 1 (n2)2a n1a na n 2 .⑶数列 a n 是等差数列 a nkn b (其中 k, b 是常数)。

(4)数列 a n 是等差数列S nAn 2 Bn , (其中 A 、 B 是常数)。

6.等差数列的 明方法定 法:若 a nan 1d 或 a n 1 a nd ( 常数 nN )a n 是等差数列.7. 提示:( 1)等差数列的通 公式及前n 和公式中,涉及到5 个元素: a1、 d 、 n 、 a n 及 S n,其中a、 d称作1基本元素。

只要已知5 个元素中的任意3 个,即可求出其余2 个,即知3 求 2。

(完整word版)高中数学数列公式大全(很齐全哟)

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一、高中数列基本公式:1、一般数列的通a n与前 n 和 S n的关系: a n=2、等差数列的通公式: a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d ( 此中 a1首、a k已知的第 k ) 当 d≠0 , a n是对于 n 的一次式;当d=0 , a n是一个常数。

3、等差数列的前n 和公式: S n=S n =S n=当 d≠0 ,( a1≠0),S n是对于 n 的二次式且常数S n=na1是对于 n 的正比率式。

0;当d=04、等比数列的通公式: a n= a 1 q n-1 a n= a k q n-k ( 此中 a1首、 a k已知的第 k , a n≠0)5、等比数列的前 n 和公式:当 q=1 , S n=n a1 ( 是对于 n 的正比率式 ) ;当 q≠1 , S n=S n=三、高中数学中相关等差、等比数列的1、等差数列 {a n} 的随意m的和组成的数列S m、S2m-S m、S3m-S 2m、S4m - S 3m、⋯⋯仍等差数列。

2、等差数列 {a n} 中,若 m+n=p+q,3、等比数列 {a n} 中,若 m+n=p+q,4、等比数列 {a S3m-S 2m、S4m - S n}的随意m的和组成的数列3m、⋯⋯仍等比数列。

S m、S2m-S m、5、两个等差数列{a n } 与{b n} 的和差的数列{a n+b n} 、{a n -b n} 仍等差数列。

6、两个等比数列{a n } 与{b n} 的、商、倒数成的数列{a n b n} 、、仍等比数列。

7、等差数列 {a n} 的随意等距离的组成的数列仍等差数列。

8、等比数列 {a n} 的随意等距离的组成的数列仍等比数列。

9、三个数成等差数列的法:a-d,a,a+d;四个数成等差的法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的法:a/q,a,aq;四个数成等比的法:a/q3,a/q,aq,aq3(什么?)11、 {a n}等差数列,(c>0)是等比数列。

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必修5 第二章 数列 (复习1)一 、等差数列知识点1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起, 那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

2、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;说明:等差数列 的单调性: 为数列当 为常数列, 为递减数列。

3、等差中项的概念:定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差其中A = a ,A ,b 成等差数列⇔ 。

4、等差数列的前n 和的求和公式: 。

5、等差数列的性质:(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是AP ,如:1a ,3a ,5a ,7a ,……;3a ,8a ,13a ,18a ,……;(3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,n a = ,d = ()m n ≠;(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则 ; 说明:设数列{}n a 是等差数列,且公差为d ,(Ⅰ)若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 奇-S 偶nd =; ② 1n n S aS a +=奇偶; (Ⅱ)若项数为奇数,设共有21n -项,则①S 偶-S 奇n a a ==中;②1S nS n =-奇偶。

6、数列最值(1)10a >,0d <时,n S 有最大值;10a <,0d >时,n S 有最小值;(2)n S 最值的求法:①若已知n S ,可用二次函数最值的求法(n N +∈);②若已知n a ,则n S 最值时n 的值(n N +∈)可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

变式训练1, 根据各题的条件,求等差数列{}n a 的前n 项和n S ,(1)12,5,10a d n === (2)12,6,12n a a n =-==(3)102,5,8a d n =-=-=2. 在1和15之间插入25个数,使得所得到的的27个数成等差数列。

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⎨ p+nq 数列1、数列中a n 与S n 之间的关系:a =⎧S1n S -S , (n = 1), (n ≥ 2). 注意通项能否合并。

⎩n n-12、等差数列:⑴定义:如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即a n -a n-1=d ,(n≥2,n∈N+),那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项:若三数a、A、b 成等差数列⇔A =a +b 2⑶通项公式:a n =a1 + (n -1)d =a m + (n -m)d或a n =pn +q ( p 、q是常数).⑷前n 项和公式:S n =na1+n (n -1)d =n (a1+a n)2 2⑸常用性质:①若m +n =p +q (m, n, p, q ∈N +),则a m +a n =a p +a q ;②下标为等差数列的项(a k,a k+m,a k+2m, ),仍组成等差数列;③数列{a n+b}(,b为常数)仍为等差数列;④若{a n }、{b n }是等差数列,则{ka n } 、{ka n +pb n }{a }( p, q ∈N *) 、,…也成等差数列。

⑤单调性:{a n}的公差为d,则:ⅰ)d>0⇔{a n}为递增数列;ⅱ)d<0⇔{a n}为递减数列;ⅲ)d=0⇔{a n}为常数列;( k 、p 是非零常数)、⑥数列{ a n }为等差数列⇔a n =pn +q (p,q 是常数)⑦若等差数列{a n }的前n项和S n ,则S k 、S2k -S k 、S3k-S2k…是等差数列。

3、等比数列⑴定义:如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项:若三数a、G、b 成等比数列⇒G2=ab, (ab 同号)。

反之不一定成立。

k k +m k +2m ⎨ ⑶通项公式: a = a q n -1 = a q n -mn 1 ma (1- q n )a - a q⑷前n 项和公式: S n =⑸常用性质11- q = 1 n1- q①若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ),则 a m ⋅ a n = a p ⋅ a q ;② a , a , a , 为等比数列,公比为 q k(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列{a n } (为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列;正项等比数列{a n } ;则{lg a n } 是公差为lg q 的等差数列;④若{a }是等比数列,则{ca },{a 2}⎧ 1 ⎫n n n⎨ a ⎬ ⎩ n ⎭{a r }(r ∈ Z ) 是等比数列,公比依次是 q ,q 2 1q r ., , nq⑤单调性:a 1 > 0, q > 1或a 1 < 0, 0 < q < 1 ⇒ {a n }为递增数列; a 1 > 0, 0 < q < 1或a 1 < 0, q > 1 ⇒ {a n }为递减数列; q = 1 ⇒ {a n } 为常数列; q < 0 ⇒ {a n } 为摆动数列;⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦若等比数列{a n }的前n 项和 S n ,则 S k 、 S 2k - S k 、 S 3k - S 2k … 是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,公式法:若已知数列的前n 项和 S n 与a n 的关系,求数列{a n }的通项a n 可用公式 a n = ⎧S 1S - S , (n = 1) , (n ≥ 2) 构造两式作差求解。

⎩ nn -1用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即a 1 和a n 合为一个表达,(要先分 n = 1 和 n ≥ 2 两种情况分别进行运算,然后验 证能否统一)。

累加法:形如 a n +1 = a n + f (n ) 型的递推数列(其中 f (n ) 是关于n 的函数)可构造:类型Ⅲ 类型Ⅱ 类型Ⅰ⎪ ⎪ ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨ n -2⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)将上述n - 1个式子两边分别相加,可得: a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1 , (n ≥ 2)①若 f (n ) 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;② 若 f (n ) 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若 f (n ) 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;④若 f (n ) 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和.累乘法:形如 a= a ⋅ f (n )⎛ a n +1 =⎫f (n ) 型的递推数列(其中 f (n ) 是关于n 的函数)可构n +1⎧ a n⎪ a n⎪ ⎝ an⎭= f (n -1) ⎪ n -1 ⎪ a n -1造: ⎪ a f (n - 2)⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n - 1个式子两边分别相乘,可得: a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1 , (n ≥ 2)有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。

构造数列法:㈠形如 n +1 n q (其中 q 均为常数且 0 )型的递推式:(1) 若 p = 1时,数列{ a n }为等差数列;(2) 若q = 0 时,数列{ a n }为等比数列;(3) 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:法一:设 a n +1 += p (a n + ) ,展开移项整理得 a n +1 = pa n + ( p -1),与题设类型Ⅴ 类型Ⅳ =⎩ ⎭a n +1 = pa n + q 比较系数(待定系数法)得=q , ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q ) ⇒ a + q = p (a + q ) ,即p -1 n +1 p -1 n p -1 n p -1n -1 p -1⎧a + q ⎫构成以 a + q为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公 ⎨ n p -1⎬ 1p -1 ⎩ ⎭ ⎧ q ⎫ 式求出⎨a n + p -1⎬的通项整理可得 a n .法二:由 a= pa+ q 得 a = pa+ q (n ≥ 2) 两式相减并整理得 a n +1 - a n= p , 即 n +1nnn -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以 a 2 - a 1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出 a n .㈡形如 a n +1 n 1) 型的递推式:⑴当 ) 为一次函数类型(即等差数列)时:法一:设 a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ,通过待定系数法确定 A 、B 的值,转化成以 a 1 + A + B 为首项,以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ,再利用等比数列的通项 公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得 a n .法二:当 f (n ) 的公差为 d 时,由递推式得: a n +1 = pa n + f (n ) ,a n = pa n -1 + f (n -1) 两式相减得: a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ,令b n = a n +1 - a n 得:b n = pb n -1 + d 转化为类型Ⅴ㈠求出 b n ,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出 a n .⑵当 ) 为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设 a n +f (n ) = p [a n -1 + f (n -1)],通过待定系数法确定的值,转化成以a 1 + f (1) 为首项,以 p 为公比的等比数列{a n + f (n )} ,再利用等比数列的通项公式求出{a n + f (n )} 的通项整理可得 a n .法二:当 f (n ) 的公比为q 时,由递推式得: a n +1 = pa n + f (n ) ——①,a n = pa n -1 + f (n -1) ,两边同时乘以q 得 a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②,由①②两式相n +1 n n +1 n 1 n +1 nn +减得 a- a q = p (a - qa ) ,即 a n +1 - qa n = p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三:递推公式为 a = pa + q n (其中 p ,q 均为常数)或 a = pa + rq n(其中p ,q, r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ,得:a n +1= p • an + , qn +1q q n q引入辅助数列{b }(其中b =a n),得: b = p b + 1 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。

nnq nn +1q n q⑶当 f (n ) 为任意数列时,可用通法:在 a= pa + f (n ) 两边同时除以 p n +1 可得到 a n +1 = an + f (n ) ,令 a n = b ,则 n +1 np n +1 p n p n +1 p n nb = b f (n ) ,在转化为类型Ⅲ(累加法),求出b之后得 a = p n b .n +1 n p n +1n n n对数变换法:形如 a = pa q ( p > 0, a > 0) 型的递推式: 在原递推式 a= pa q 两边取对数得lg a= q lg a + lg p ,令b = lg a 得:n +1n +1nnnb n +1 = qb n + lg p ,化归为 an +1 = pa n + q 型,求出b n 之后得 a =10b n .(注意:底数不一定要取 10,可根据题意选择)。

倒数变换法:形如 a n -1 - a n = pa n -1a n ( p 为常数且 p ≠ 0 )的递推式:两边同除于 a n -1a n ,转化为1 = 1 + p 形式,化归为 a = pa + q 型求出 1 的表达式,再求a ;a n a n -1n +1 n n a n还有形如a= ma n 的递推式,也可采用取倒数方法转化成 1 = m 1 + m 形式,化归 n +1 pa + q a q a pn 为 a n +1 = pa n + q 型求出 1 的表达式,再求a n .a nn +1 n形如 a n +2 = pa n +1 + qa n 型的递推式:用待定系数法,化为特殊数列{a n - a n -1} 的形式求解。

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