(完整版)高中数学数列知识点整理(可编辑修改word版)

⎨ p+nq 数列

1、数列中a n 与S n 之间的关系：

a =⎧S1

n S -S , (n = 1)

, (n ≥ 2). 注意通项能否合并。

⎩n n-1

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a n －a n-1

=d ，（n≥2，n∈N+），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a、A、b 成等差数列⇔A =a +b 2

⑶通项公式：a n =a1 + (n -1)d =a m + (n -m)d

或a n =pn +q ( p 、q是常数）.

⑷前n 项和公式：

S n =na

1

+

n (n -1)

d =

n (a1+a n)

2 2

⑸常用性质：

①若m +n =p +q (m, n, p, q ∈N +)，则a m +a n =a p +a q ；

②下标为等差数列的项(a k,a k+m,a k+2m, )，仍组成等差数列；

③数列{a n+b}（,b为常数）仍为等差数列；

④若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n +pb n }

{a }( p, q ∈N *) 、，…也成等差数列。

⑤单调性：{a n}的公差为d，则：ⅰ）

d>0⇔{a n}为递增数列；ⅱ）

d<0⇔{a n}为递减数列；ⅲ）

d=0⇔{a n}为常数列；

( k 、p 是非零常数)、

⑥数列{ a n }为等差数列⇔a n =pn +q （p,q 是常数）

⑦若等差数列{a n }的前n项和S n ，则S k 、S2k -S k 、S3k-S2k…是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数

列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a、G、b 成等比数列⇒G2=ab, （ab 同号）。反之不一定成立。

k k +m k +2m ⎨ ⑶通项公式： a = a q n -1 = a q n -m

n 1 m

a (1- q n )

a - a q

⑷前n 项和公式： S n =

⑸常用性质

1

1- q = 1 n

1- q

①若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则 a m ⋅ a n = a p ⋅ a q ；

② a , a , a , 为等比数列，公比为 q k

(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列{

a n } （为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；正项等比数列{a n } ；则

{lg a n } 是公差为lg q 的等差数列；

④若{a }是等比数列，则{ca }，{a 2

}

⎧ 1 ⎫

n n n

⎨ a ⎬ ⎩ n ⎭

{a r }(r ∈ Z ) 是等比数列，公比依次是 q ，q 2 1

q r .

， ， n

q

⑤单调性：

a 1 > 0, q > 1或a 1 < 0, 0 < q < 1 ⇒ {a n }为递增数列； a 1 > 0, 0 < q < 1或a 1 < 0, q > 1 ⇒ {a n }为递减数列； q = 1 ⇒ {a n } 为常数列； q < 0 ⇒ {a n } 为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦若等比数列{a n }的前n 项和 S n ，则 S k 、 S 2k - S k 、 S 3k - S 2k … 是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法

观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，

公式法：若已知数列的前n 项和 S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用

公式 a n = ⎧S 1

S - S , (n = 1) , (n ≥ 2) 构造两式作差求解。

⎩ n

n -1

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1 和a n 合为一个表达，（要先分 n = 1 和 n ≥ 2 两种情况分别进行运算，然后验 证能否统一）。

累加法：

形如 a n +1 = a n + f (n ) 型的递推数列（其中 f (n ) 是关于n 的函数）可构造：

类型Ⅲ 类型Ⅱ 类型Ⅰ

⎪ ⎪ ⎧a

n - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1

⎨ n -2

⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)

将上述n - 1个式子两边分别相加，可得： a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1 , (n ≥ 2)

①若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

② 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

④若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.

累乘法：

形如 a

= a ⋅ f (n )

⎛ a n +1 =

⎫

f (n ) 型的递推数列（其中 f (n ) 是关于n 的函数）可构

n +1

⎧ a n

⎪ a n

⎪ ⎝ a

n

⎭

= f (n -1) ⎪ n -1 ⎪ a n -1

造： ⎪ a f (n - 2)

⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = a

f (1) ⎩ 1 将上述n - 1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1 , (n ≥ 2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

构造数列法：

㈠形如 n +1 n q （其中 q 均为常数且 0 ）型的递推式：

（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列;

（2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列;

（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等

比数列来求.方法有如下两种：

法一：设 a n +1 +

= p (a n + ) ,展开移项整理得 a n +1 = pa n + ( p -1)

,与题设

类型Ⅴ 类型Ⅳ =