高考总复习5函数的奇偶性和周期性s

第5讲函数的奇偶性和周期性
★知识梳理
1．函数的奇偶性的定义：
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.
1． 函数的周期性命定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

★重、难点突破
重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
难点：函数的奇偶性的判断函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用
重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意
① 若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数； ② 若是奇函数且在处有定义，则
③ 若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若
在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。

)(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f y )(x f T x )()(x f T x f =+)(x f T )0)((1)
()
(0)()()()(≠±=-⇔
=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 0)(=x f )(x f )0()(≠=m m x f )(x f )(x f 0=x 0)0(=f )(x f )()(m f m f ≠-)(x f )(x f )()(m f m f -≠-)(x f
重难点：2．奇偶函数图象的对称性
（1） 若是偶函数，则的图象关于直线对称；
（2） 若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
重难点：3．函数的周期性周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：
（1）函数值之和等于零型，即函数
对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是
（2）函数图象有，两条对称轴型
函数图象有，两条对称轴，即，
，从而得，
故函数的周期是
（3） 两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型
若，则得，所以函数
的周期是；同理若，则的周期是
（4） 分式递推型，即函数满足
由得，进而得
，由前面的结论得的周期是
)(x a f y +=⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )
(x f a x =)(x b f y +=⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f )0,(b )(0)()(b a x b f x a f ≠=+++x )(0)()(b a x b f x a f ≠=+++)()]22([x f a b x f =-+)(x f )(2a b T -=a x =)(b a b x ≠=a x =)(b a b x ≠=)()(x a f x a f -=+)()(x b f x b f -=+)()]22([x f a b x f =-+)(x f )(2a b T -=1±)(1)()(b a b x f a x f ≠=+⋅+)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+)(x f a b T 22-=)(1)()(b a b x f a x f ≠-=+⋅+)(x f )(2a b T -=)(x f )()
(1)
(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=
+)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=
+)
2(1
)2(b x f a x f +-=+1)2()2(-=+⋅+b x f a x f )(x f )(4a b T -=
★热点考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·
； （3）；（4）
题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2] （09年山东梁山）定义在区间上的函数f (x )满足：对任意的， 都有. 求证:f (x )为奇函数；
x
x
-+112|2|1)(2-+-=x x x f ⎩⎨
⎧>+<-=).
0()
1(),0()
1()(x x x x x x x f )1,1(-)1,1(,-∈y x )1()()(xy
y
x f y f x f ++=+
[新题导练]
1．（09广东电白一中）设函数为奇函数，则___________。

2．（高州中学09届训练题）已知函数是定义域为的偶
函数，则的值是（）
A ．0；
B ．；
C ．1；
D ．
3．定义两种运算：，，则
是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）
4．已知函数（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数,又，，求a 、b 、
c 的值.
考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用
[例3]（普宁市城东中学09）已知奇函数是定义在上的减函数，若
，求实数的取值范围。

()()
()a x x x f ++=12
=a b a bx ax x f +++=3)(2]2,1[a a -b a +3
1
1-22b a b a -=
⊕2)(b a b a -=⊗2
)2(2)(-⊗⊕=
x x
x f c
bx ax x f ++=1)(22)1(=f 3)2(<f )(x f )2,2(-0)12()1(>-+-m f m f m
[例4]设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =()的单调递减区间.
[新题导练]
5．（普宁市城东中学09届高三模拟）若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A.；B.
C.；
D.
6．（2007·天津改编）在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
2
1132+-a a ()f x ()0,+∞(3)0f =()0xf x <{303}x x x -<<>或{33}x x x <-<<或0{33}x x x <->或{303}x x x -<<<<或0R ()x f ()()x f x f -=2()x f []2,1()x f []2,3--[]4,3[]2,3--[]4,3[]2,3--[]1,0[]1,2--[]4,3
7．（普宁市城东中学09届高三模拟）定义在R 上的奇函数有最小正周期4，且
时，。

求在上的解析式
考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用
[例5]（09年惠州第三次调研考）已知定义在上的偶函数满足对 于恒成立，且，则 ________
8．（执信中学09届训练题）设是定义在上的正值函数,且满足
.若是周期函数,则它的一个周期是（ ）
.；.；.；.
9．（06年安徽改编）函数对于任意实数满足条件，若则__________
备选例题：（05年广东）设函数
，且在闭区间上，
只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.
★抢分频道
()f x ()0,2x ∈3()91
x x f x =+()f x []2,2-R ()f x (2)()1f x f x +⋅=x R ∈()0f x >(119)f =()x f R ()()()x f x f x f =-+11()x f A 3B 2C 6D 4()f x x ()1)(2=+x f x f ()15,f =-()=-5f )7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在]7,0[.0)3()1(==f f )(x f y =0)(=x f ]2005,2005[-
基础巩固训练：
1．（普宁市城东中学09届月考）已知是定义在R 上的函数，且满足
，则“为偶函数”是（）“2为函数的一个周期”的 ( )
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件；
C ．充要条件；
D ．既不充分也不必要条件
2．（汕头市金山中学09年模拟）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．；
B ．；
C ．；
D ．
3．（09年深圳翠园、宝安中学）设函数 (x ∈R)为奇函数，， ，则（ ）
A ．0；
B ．1；
C ．；
D ．5
4．（湛江市09年高三调研）函数在其定义域内是( )
A. 是增函数又是偶函数；
B. 是增函数又是奇函数
C. 是减函数又是偶函数；
D. 是减函数又是奇函数
5．（中山市09年高三统考）偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（） A ．；B ． C ．；D ．
6．（09年深圳九校联考）已知是定义域为R 的奇函数，若当时，
，则满足的的取值范围是．
)(x f )1()1(x f x f -=+)(x f )(x f ()f x (,1)-∞-3
()(1)(2)2f f f -<-<3(1)()(2)2
f f f -<-<3
(2)(1)()2f f f <-<-3(2)()(1)2
f f f <-<-)(x f 2
1)1(=
f )2()()2(f x f x f +=+=)5(f 2
5
33()2
x x
f x --=()()f x x R ∈(4)(1)0f f -==[0,3]),3[+∞()0xf x <),4()4,(+∞--∞ )4,1()1,4( --)0,1()4,(---∞ )4,1()0,1()4,( ---∞)(x f (0,)∈+∞x ()l
g =f x x ()0>f x x
综合提高训练：
7．设是上的奇函数，，当时，，则为
8．（四会中学高三09年月考）符号表示不超过的最大整数，如，
，定义函数．给出下列四个命题：①函数的定义域是R ，值域为；②方
程有无数个解;③函数是周期函数；④函数是增函数．其中正确命题的序号有（ ）
A ．①④；
B ．③④；
C ．②③；
D ．②④
9.（08年辽宁改编）设是连续的偶函数,且当时是单调函数,
求满足的所有之和
)(x f ),(+∞-∞0)()2(=++x f x f 10≤≤x x x f =)()5.7(f ][x x 3][=π2]08.1[-=-][}{x x x -=}{x ]1,0[2
1
}{=
x }{x }{x ()f x 0x >()f x 0)5
4
()(=++-x x f x f x。