人教课标版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程章末复习课》教学设计

《圆锥曲线与方程》章末复习课

一、思维导图

二、例题讲解

例1：已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+. （1）当m 为何值时,直线与椭圆相切; （2）求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程. 答案：（1）2

m =±

;（2）y x =. 解析：【知识点】直线与椭圆的位置关系

【解题过程】联立方程组2241x y y x m

⎧+=⎨=+⎩,消去y ,整理得225210x mx m ++-=,

222420(1)2016m m m ∆=--=-

（1）由0∆=得220160m -=,

解得m =. （2）由韦达定理得122

1225

15m x x m x x ⎧

+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩

, ∴

弦长l ===当0m =时,l

取得最大值为5

, 此时直线方程为y x =.

点拨：用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系,是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.

例2：过点(4,1)Q 作抛物线28y x =的弦AB ,恰被Q 所平分, （1）求AB 所在直线方程; （2）求AB 的长.

答案：（1）4150x y --=;（2

解析：【知识点】直线与抛物线、焦点弦.

【解题过程】（1）法一：设以(4,1)Q 为中点的弦AB 端点的坐标为

1122(,),(,)A x y B x y ,而斜率k 显然存在,于是 2118y x = ①

2228y x = ②

128x x += ③ 122y y += ④

由①-②得,121212()()8()y y y y x x +-=-所以121212

8

4y y k x x y y -=

==-+

所以所求弦AB 所在直线方程为14(4)y x -=-,即4150x y --=. 法二：设弦AB 所在直线方程为(4)1y k x =-+,1122(,),(,)A x y B x y

由28(4)1

y x y k x ⎧=⎨=-+⎩消去x ,得 283280ky y k --+=,由韦达定理得,128y y k

+=

又122

y y +=,所以4k =

∴所求弦AB 所在直线方程为14(4)y x -=-,即4150x y --=.

（2）284150

y x x y ⎧=⎨--=⎩消去x 得22300y y --=,设1122(,),(,)A x y B x y 则

212121221111()416

1156AB y y y y y y k =+

-=++-=

点拨：因为所求弦通过定点Q ,所以求弦AB 所在的直线方程关键是求出斜率k ,又由于Q 点是所求弦AB 的中点,所以所求斜率与,A B 点坐标有关.注意弦的中点问题灵活利用点差法解题.

例3.设椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率2

2e =,右准

线l ,,M N 是l 上的两个动点,120F M F N ⋅=.

（1）若12||||25F M F N ==求,a b 的值;

（2）证明：当||MN 取最小值时,1

2FM F N +与12F F 共线.

答案：（1）2,a b ==（2）见解题过程. 解析：【知识点】椭圆的几何性质.

【解题过程】由条件可得22122,(,0),,0)a b F F =,所以l 的方程x =.

设12,),,)M y N y ,则1122322(

,),(,)22

F M a y F N a y ==,由120F M F N ⋅=得2123

02y y a =-<. ①

（1）由12||||25F M F N === ②

= ③

由①②③三式,消去12,y y ,并求得24a =,故2,a b ==（2）2222

21212

121212||()2226MN y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=,当且仅当

122y y a =-=

或212

y y a =-=时,||MN . 此时,121212(22,)(22,0)2FM F N a y y a F F +=+==,故12FM F N +与12F F 共线. 点拨：此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆中的待定系数,考察了向量的综合应用,设而不求的消元思想在圆锥曲线问题中的灵活应用.学生需熟悉椭圆各基本量间的关系,并能数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,要求较高.

例4．已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.

（1）若线段AB 中点的横坐标是1

2

-,求直线AB 的方程;

（2）在x 轴上是否存在点M ,使MA MB ⋅为常数？若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：（1）10x -+=或10x ++=;（2）见解题过程. 解析：【知识点】直线与椭圆.

【解题过程】（1）依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =+, 将(1)y k x =+代入5322=+y x , 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=

设1122() () A x y B x y ，，，， 则4222

122364(31)(35)0 (1)

6. (2)

31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪

⎨+=-⎪+⎩

， 由线段AB 中点的横坐标是1

2-, 得2122312312x x k k +=-=-+,

解得3

k =±

,适合(1). 所以直线AB 的方程为

10x -+=,或

10x +=. （2）假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使MA MB ⋅为常数. ① 当直线AB 与x 轴不垂直时,由（Ⅰ）知

22121222635

. (3)3131

k k x x x x k k -+=-=++，

所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++

22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++

将(3)代入,整理得

22

2222114

(2)(31)2(61)5333131

m k m m k MA MB m m k k -+--

--⋅=+=+++ 22

1614

2.33(31)

m m m k +=+--+ 注意到MA MB ⋅是与k 无关的常数,从而有7

61403m m +==-，, 此时

4

.9

MA MB ⋅=

②当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A B ，

的坐标分别为11⎛

⎛-- ⎝

⎝、,