概率论与数理统计练习题第七章答案

概率论与数理统计练习题

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第七章 参数估计（一）

一、选择题：

1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计

2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）

122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355

X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2

2

90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ]

（A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：

1．如果1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2

ˆθ的期望与方差一定满

足 1212ˆˆˆˆ,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1

~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参

数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ-

3．假设总体X 服从正态分布2

12(,),,,(1)n N X X X n μσ> 为X 的样本，

1

2

211()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C =

12(1)

n -

三、计算题：

1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，

已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ

456()2(1)22.5

')1(0.6

L L θθθθθθθθ=⋅-=-==

解：该样本的似然函数.为令得三 、

2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0

x X f x θθ

⎧≤≤⎪

=⎨⎪⎩其它

(0)θ>的样本,

试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ

3．设总体X 的概率密度为(1)01()0x x f x θ

θ⎧+<<=⎨

⎩

其它

，其中1θ>-是未知参数，

12,,,n X X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

*4. 设12,,,n x x x 为来自正态总体2

0(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2σ>0未知，

X 和S 2分别表示样本均值和样本方差。（1）求2

σ的极大似然估计 2σ；（2），计算 22E D σ

σ和。(考研题 2002)

11212ˆˆ()2,()2()2222.(;,,),0,1,,;,,( 1,2,3,),max{,,,}2(1)2).(n n i n n i n E X X X E E X X L X X X i n L L X X X i n X X X θθθθθθθθθθθθθθθθ--==⇒===⋅=∴=<≤=⋯==⋯= 的一个无偏估计为似然函数为：显然是的一个单值递减函数.要使（）达到极大，就要使达到最小，但不能小于每一个所以的极大似然估计量为：、1

01

111

31

(1),2

12121ˆ,..211()(1)ln ()ln(1)ln ln ()ln ()ln 01ˆ1ln n i i n

i

i n

i i L n

i

i EX x x dx X X X EX X X

L x L n x d L n d L x d d n x θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

θ====+=⋅+=

++--==

=+--=+=++=+=+=--⎰∏∑∑∑ ①用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，即得故的矩估计量为②设似然函即则

，令得、数

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第七章 参数估计（二）

一、选择题：

1．设总体X 服从正态分布2

~(,)X N μσ，其中μ未知,2σ已知，12,,,n X X X 为样本，

1

1n

i

i X X n ==∑，则

μ

的置信水平为0.95的置信区间是

[ D ]

（A

）0.95

0.95

(,X Z X Z -+ （B

）0.05

0.05

(,X Z X Z -+

（C

）0.975

0.975

(,X Z X Z -+ （D

）0.025

0.025

(,X Z X Z -+

2．设总体2

~(,)X N μσ，对参数μ或2σ进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]

（A

X （B

X （C ）2

1n

i i X X σ=⎛⎫- ⎪⎝

⎭∑ （D ）1n X X -

二、计算题：

1．设总体X 的方差为2

)3.0(，根据来自X 的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。

2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布2

~(,)X N μσ，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差2σ的0.90的置信区间。

0.0250.025(,)(21.525,22.075).

X Z X Z -+=二、22222/21/222

0.0520.9521(1)(1)(,).

(1)(1)

10,75.73,0.1,(9)16.919,(9) 3.325.

(40.284,204.984).

1n S n S n n n S ααμσαχχαχχσ------=====解：未知，求置信水平为的置信区间为 这里 代入得的置信区间为三、.