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专题圆锥曲线(求轨迹方程)
求轨迹方程的常用方法
(1) 直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系或F(x, y) = 0;
(2) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3) 代入转移法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x o, y o)的变化而变化，并且Q(x o，y o)又在某已知曲线上，贝U可先用x，y的代数式表示x o，y o，再将x o，y o代入已知曲线得要求的轨迹方程.
1. 一个区别一一“轨迹方程”与“轨迹”
“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据.
2. 双向检验一一求轨迹方程的注意点
求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
考向一直接法求轨迹方程
【例1】已知动点P(x, y)与两定点M(—1,0), N(1,o)连线的斜率之积等于常数g0).
(1) 求动点P的轨迹C的方程；
(2) 试根据入的取值情况讨论轨迹C的形状.
［解］(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零, 所以k PM k PN
y . y x+1 x—1
考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程
【例3】如图8-8-2所示，设P 是圆x 2 + y 2= 25上的动点，
4
点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|= 5
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
当 心0且 存1时，是椭圆的轨迹方程; 当 X 0时，是双曲线的轨迹方程； 当 A 0
时，是直线的轨迹方程. 综上，方程不表示抛物线的方程. 【答案】 C 考向二定义法求轨迹方程 【例2】已知两个定圆01和02,它们的半径分别是1和2,且|0102匸4.动圆M 与圆01内切, 又与圆02
外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 【解】 如图所示，以0102的中点0为原点，0102所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. 由 0102匸4,得 01( — 2,0), 02(2,0). 设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆01内切，有|M01|= r — 由动圆 M 与圆 02外切，有 |M02|= r + 2./.|M02—|M01|= 3. •••点M 的轨迹是以01, 02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. 3 2 2 ・£ = 2， c = 2,「・b =_
c —
a ~9 —'
•••点M 的轨迹方程为 1X W-
3 7 —
1 2 . 2
=7.
1
；
6
4
【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A : (x + 2)2
+ — 1与点B(2,0) 分别
求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程. ("△ PAB 的周长为10; (2) 圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心);
(3) 圆P 与圆A 外切，且与直线x = 1相切(P 为动圆圆心)
. y
【解】 ⑴根据题意，知 |FA|+ |PB|+ |AB| = 10，即 |PA|+|PB 匸 6> 4= |AB|, 故P 点轨迹是椭圆，且 2a =6,2c = 4,即a = 3，c = 2，b = ,5. X 2 y 2
因此其轨迹方程为9 + y = 1(尸0)
. (2)设圆 P 的半径为 r ，则 |FA|= r + 1，|PB|= r ，因此 |PA|-|PB|= 1. 图 8-8-
1
由双曲线的定义知, 1
a = 2，c = 2,
b =
因此其轨迹方程为 ⑶依题意，知动点 开口向左，p = 4.因此其轨迹方程为y
P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a = 1,2c = 4,即 2 4 2 1 4x -神二 1 x > 2. P 到定点A 的距离等于到定直线x = 2的距离，故其轨迹为抛物线，且
2
=- 8x.
4
（2）求过点（3,0）且斜率为4的直线被C 所截线段的长度.
【解】（1）设M 的坐标为（x , y ）, P 的坐标为（X P , y r ），由已知
得
'■'P 在圆上，••• x 2
+ 4$ 2= 25,即 C 的方程为 25+16
=
1.
4
4
（2）过点（3,0）且斜率为5的直线方程为y = 5（x - 3），设
直线与
3—何 3 +回 • .x 1 2 , x 2 2
y 2），将直线方程
y =詼―3）代入C 的方程，得£+
x - 3 2 25
即 x 2— 3x — 8=
0.
X P = x ,
5 y p =4y.
C 的交点为 A(x i , y i ), B(X 2,
•线段 AB 的长度为 |AB|=" ： x 1 — X 2
2
+ y 1 — y 2 2
=
1+ 26 X 1— X 22 =
25
41 41 25
X 41
=寸
【对点练习2】（2014合肥模拟）如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1,过原点O 的射线交大圆于点P ,交小圆于 点Q , P 在
y 轴上的射影为 M.动点N 满足PM = ?PN 且PM QN = 0.
（1）求点N 的轨迹方程；
⑵过点A （0,3）作斜率分别为k 1, k 2的直线|1, |2与点N 的轨迹分别 交于E , F 两点，k 1 k 2= — 9.求证：直线EF 过定点.
【解】（1 ）由PM = ?PN 且PM （QN = 0可知N , P , M 三点共线且PM
QN.
过点Q 作QN 丄PM ，垂足为N ，设N(x , y), v|OP|= 3, |OQ|= 1,由相似可知P(3x , y).
2 2
••P 在圆 x 2 + y 2 = 9 上, (3x)2 + y 2 = 9,即£ + x 2= 1.所以点 N 的轨迹方程为 £+ x 2= 1.
y = k 1x + 3,
(2)证明：设 E(X E , y E ), F(X F , y F )，依题意，由
y 2
9
+ x
= 1 (k 1 + 9)x 2 + 6k 1x = 0,①
解得x = 0或x = —
6k 1 k 2
+ 9
所以X E = —6k 1 k 1+ 9,
6k 1
27— 3k 1
yE
=
k1
-
k ?
+9
+ 3
=2+9，
6k 1 27 - 3k1 E
k 1+ 9， k 1 + 9
9
9
vk1k 2=- 9,Ak 2=- ■.用 k 2=-
话替代①中的 k 1,
同理可得F
6k 1
k 1+ 9, 3k 2- 27
k 2
+ 9
显然E , F 关于原点对称，•直线EF 必过原点O.
一、选择题
1.若M , N 为两个定点,
【达标训练】且|MN|= 6,动点P满足PM PN = 0,则P点的轨迹是（
A •圆
B •椭圆
C .双曲线
D •抛物线
1 1
2. 已知点F 4，0，直线I : x = — 4,点B 是I 上的动点•若过B 垂直于y 轴的直线与线
段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是(
)
A .双曲线
B .椭圆
C .圆
D .抛物线
3.
(2014天津模拟)平面
直角坐标系中，已知两点A(3,1), B( —1,3),若点C 满足OC = 2iOA +來金(0为原点)，其中21,位€ R ,且刀+龙=1,则点C 的轨迹是(
)
A .直线
B .椭圆
C .圆
D .双曲线
4.
(2014合
肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆0内一定点，B 是圆周上 一个动点，AB 的中垂线
CD 与OB 交于E ,则点E 的轨迹是(
)
A .圆
B .椭圆
C .双曲线
D .抛物线
5. 设过点P(x , y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称, 且OQ AB = 1,则点P 的轨迹方程是(
A.3x 2 +
1(x >0, y >0)
C . 3x 2 — 2v 2= 1(x >0, y >0)
6•已知动点P 在曲线2x 2 — y = 0上移
动，则点A(0, — 1)与点P 连线中点的轨迹方程是(
)
7. 平面上有三个点 A( — 2, y), B 0, 2 , C(x , y),若AB 丄BC ,则动点C 的轨迹方程是
8. 动圆与。

C 1： x 2 + — 1外切，与O C 2： x 2 + y 2 — 8x + 12 = 0内切，则动圆圆心的轨迹是 9. 已知△ ABC 的顶点B(0,0), C(5,0), AB 边上的中线长|CD 匸3,则顶点A 的轨迹方程为 1 2
a a
10. (2014佛山模拟)在厶ABC 中，A 为动点，B , C 为定点，B — 2, 0 , C 2，0 (a >0),
2
且满足条件sin C — sin B = 2sin A ,则动点A 的轨迹方程是 _________________ .
三、解答题
11. 已知定点F(0,1)和直线l 1： y =— 1,过定点F 与直线I 1相切的动圆的圆心为点C. (1)求动点C 的轨迹方程；
⑵过点F 的直线I 2交轨迹于P , Q 两点，交直线I 1于点R ,求RPRQ 的最小值.
O 为坐标原点，若BP = 2PA , )
B.|x 2-3y 2 = 1(x >0, y >0) D . 3x 2 + 2y 2= 1(x >0, y >0)
B . y = 8x 2
C . 2y = 8x 2— 1
D . 2y = 8x 2 + 1
图 8-8-4
、填空题
— — —— ——
上，M 点满足MB // OA , MAAB = MB BA , M 点的轨迹为曲线 C.
(1) 求C 的方程；
(2) P 为C 上的动点，I 为C 在P 点处的切线，求0点到I 距离的最小值.
13. (2013课标全国卷U )在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2, 在y
轴上截得线段长为2 3.
(1) 求圆心P 的轨迹方程；
(2) 若 P 点到直线y = x 的距离为 乎，求圆P 的方程.
【达标训练】
参考答案
一、选择题
——
1. A.【解析】TPM PN = 0,：PM 丄PN ,「.点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆.
2. D.【解析】由已知：|MF 匸|MB|,由抛物线定义知，点 M 的轨迹是以F 为焦点，I 为准线 的抛物线.
—
—
—
x = 3 入一左, 3. A.I 解析】设C(x,y),因为OC =入OA +龙OB,所以(x,y)=入(3,1)+烈一1,3),即
y = A 1 + 3 ?2,
y + 3x 3y —x
又入+龙=1,所以〔° + —= 1,即x + 2y = 5,所以点C 的轨迹为
直线，故选A.
4. B .【解析】由题意知，|EA|+ |EO|=|EB| + |EO|= r(r 为圆的半径)且r > |OA|,故E 的轨迹为
以O , A 为焦点的椭圆，故选B.
x y ，— 1 x ，=
2x
,
6. C .【解析】设 AP 中点 M(x , y), P(x ，, y ),则 x =
, y =
，二
2
2
y ，= 2y +1,
代入 2x 2 — y = 0,得 2y = 8x 2— 1,故选 C.
12. (2011课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,— 1), B 点在直线y = — 3
解得
y + 3x 為=10
，
3y —
5. A.【解析】设 P(x , y), A(X A ,0),
— —
•・BP = 2PA ,
X = 2 x A — x , y — y B = — 2y ,
B(0, y B ),则 BP = (x , y — y B ), PA = (X A — x ,— y),
3 x A = 2x , 即 2 y B = 3y.
•A 2x , 0 , B(0,3y).
，OQ = ( — x , y), AB =— 2x , 又 Q(—x , y), 则点P 的轨迹方程是|x 2 + 3y 2= 1(x >0, y >0).
3y , 「•OQ AB =^x 2 + 3y 2 = 1,
二、填空题
7. y2= 8x。

【解析】AB= 0, 2 —( —2, y)= 2,—孑,E—C= (x, y)—0, 2 = x, 2 ,
8. 以C i , C 2为焦点的双曲线的右支。

【解析】O C 2的圆心为C 2(4,0)，半径为2,设所求动圆的圆心为 M ，半径为r ，因为动圆与。

C i 外切，又与O C 2内切，所以r >2, |MC i |= r + 1①，|MC 2匸r -2②.由①一②得|MC i |- |MC 2| =3v |C i C 2|= 4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以 C i , C 2为焦点的双曲线的右支.
9. (x - 10)3 4 5 + y 2= 36(尸0).【解析】设 A(x , y),则 D |, 2 ,「阿匸寸纟-5 2+鲁=3, 化简得(x - 10)2
+ y 2= 36,由于A , B , C 三点构成三角形，• A 不能落在x 轴上，即 沪0.
2 2
10. 【答案】普‘ -3* = 1(x > 0且y M 0).【解析】由正弦定理：易暑一■AC Lgx ^IC 1,即|AB|
1 a
—AC|= 2BC|，故动点A 是以B , C 为焦点，㊁为实轴长的双曲线右支.
三、解答题
11. 【解】(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到|1的距离,
•••点C 的轨迹是以F 为焦点，|1为准线的抛物线，•动点C 的轨迹方程为x 2^4y.
(2)由题意知，直线12的方程可设为y = kx + 1(k M 0),与抛物线方程联立消去y ,得x 2- 4kx
—4= 0. 设 P(X 1,y”，Q(x 2,y z ),则 X 1 + X 2= 4k,X 1x z = -4.又易得点 R 的坐标为
2 2 2
•X 2 + k , y 2+ 1 = X 1+ k X 2 + k + (kx 1 + 2)(kx 2+ 2)
=(1 + k 2)x 1X 2 + 2+ 2k (x 1 + X 2) + 右+ 4=- 4(1 + k 2)+ 4k 2+ 2k + 右+ 4= 4 k 2+右 + 8.
vk 2 + k 2>2,当且仅当k 2= 1时取等号,
/•RP RQ >4X 2 + 8= 16,即 RPRQ 的最小值为 16.
12. 【解】(1)设 M(x , y),由已知得 B(x ,- 3).又 A(0,- 1),所以 MA = (-x ,- 1-y),
— — — — —
MB = (0,- 3 — y), AB = (x ,- 2).再由题意可知(MA + MB) AB = 0,
1 2
即(-x ,- 4- 2y) (x ,- 2)= 0,所以曲线 C 的方程为 y =4x 2 — 2.
1 1 1
⑵设P(X 0, y °)为曲线C : y = ”x 2— 2上一点，因为y '=卞，所以l 的斜率为㊁心 1 -
|2y 0— x o |
因此直线l 的方程为y -y 0 = QX 0(x —X 0)，即X 0X -2y + 2y 0- x o = 0.则O 点到l 的距离d =
—,
3 2 4X0+
4 1
■■ 2 4
-2,所以 d = ■=1，X °+ 4+
躺4》2-
••AB 丄BC ,.・・AB BC = 0,二 2,
y-2
X
即/ = 8x. •••动点C 的轨迹方程为y = 8x.
2 k ，
•°.RP RQ = X 1 + k , y 1 + 1 又y 0=
13. 【解】⑴设P(x , y),圆P 的半径为r.
由题设y 2 + 2= r 2, x 2 + 3= r 2,从而y 2 + 2 = x 2+ 3.故P 点的轨迹方程为y 2 — x 2= 1.
故圆 P 的方程为 x 2+ (y + 1)2 = 3 或 x 2+ (y — 1)2 = 3.
2 2
=入整理得x 2 — 字1(治o , x ^±).即动点P 的轨迹C 的方程为x 2—辛1(治o , x ^±).
(2)①当 心o 时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；
② 当一1V 衣o 时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③ 当入=—1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(一1,0), (1,0). ④ 当 疋一1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点). 【对点练习1］已知A , B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线AB 的垂线，垂足为N. — ——
若MN 2= ；AN NB ,其中入为常数，则动点M 的轨迹不可能是(
)
A .圆
B .椭圆
C .抛物线
D .双曲线
【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M(x , y), A( — a,0), —— —— ——
B(a,0)，则 N(x,O).因为 MN 2= :AN NB ,所以 y 2=心+ a)(a — x)，即入 X+ y 2= Xa,
当X= 1时，是圆的轨迹方程；
当X 0 = 0时取等号，所以O 点到I 距离的最小值为2.
|x o — y o |
一2—=
又P 点在双曲线y 2 — x 2= 1 上, |x o — y o |= 1,
从而得2 2
y o — x o = 1.
x o — y o =
由2
y o - -x o = 1
x o — y o =— 1, x o = o ,
由2 2 得
此时, y ° — x 0= 1 y o = 1,
x o = 0,
得
此时，圆P 的半径r = 3.
y o =— 1.
圆P 的半径r = 3. ⑵设P(x o , y o ).由已知得。