陕西师范大学数学分析、高等代数2007真题
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陕西师大 2007 年硕士研究生入学考试数学分析、高等代数试卷
一、计算题（30 分） 1、 lim
1 1 1 n sin ； n 1 2 n 23 n n 1
n m ； （m,n 正整数） m x 1 1 x 1 xn
2、 lim
3、
1 e dx ；
0 x 2
R x2 y2 R2
xe x
4、 lim
x
ydx xdy
2 xy y 2来自2；5、设 f x 1 x sin x ，求 f x , f x 1 .
2
二、解答题（30 分） 1、设函数 f 在 R , 上有定义， f 0 1 ，且满足条件：
2 3 3
三、 （15 分）已知三级方阵 B 的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解
x1 2 x 2 2 x3 1 2 x1 x 2 x3 2 且 r B 2 。 3 x x x 1 2 3 1
（1） 求 的值； （2） 设 A 为此线性方程组的系数矩阵，求 AB 。
证明（1） f 在（0，0）点连续且偏导数存在；（2） f 在（0，0）点不可微. 5、设函数 f 在 a, b 上连续，证明
lim
1 x f t h f t dt f x f a x a, b . h 0 h a
6、设函数 f 在 0,1 0,1上连续且 f x, y f y, x x, y 0,1 ，证明
0 0 A 0 0
求 A 的若当标准型。 九、 （20 分）设 R
2
22
是 2 级实方阵构成的欧氏空间，其内积为
A, B aij bij , A aij 22 , B bij 22 R 22
2 i 1 j 1
又设 A1
dx f x, y dy dx f 1 x,1 y dy .
1 x 1 x 0 0 0 0
一、（10 分）计算行列式
2
5
1
2
3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2
二、 （15 分）证明：如果 ( x x 1) | f1 ( x ) xf 2 ( x ) ，那么 ( x 1) | f1 ( x) ， ( x 1) | f 2 ( x) .
f .
3 2
第 1 页 共 3 页
3、设函数 f 在 a, b 上连续且单调递增，证明：
ab xf x dx 2 f x dx .
b b a a
4、设函数
x2 y , ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0, ( x, y ) (0,0)
求满足（1）中条件的可逆矩阵 Q 。 五、 （15 分）设 A 是 m n 实矩阵， B 是 n 级实方阵， B 是 n m 实矩阵，如果 AB 2 A, BC 0, 且
r A n. 证明：矩阵 B T AT A CC T 为正定矩阵。
六、 （15 分）设 V1 , V2 是线形空间 V 的两个非平凡子空间，证明：在 V 中存在 使 V1 , i 1,2. 七、 （25 分）设 A 为三级方阵，有三个不同的特征值 1 , 2 , 3 , 对应的特征向量分别为 1 , 2 , 3 , 令
x2 xn ，证明： 2! n!
（1）当 n 为偶数时， f x 在 R 上无零点； (2) 当 n 为奇数时， f x 在上 R 有且只有一个零点。 2、设 0 a b ，函数 f 在 a, b 上可导，证明：存在两点 , a, b 使得
f a 2 ab b 2
f x y f x f y x, y R ，
试求 f x . 2、求幂级数
1
n 1
n
n 2 x n 的收敛区间与和函数。
2 2
3、求 a, b 使得
a bx x dx 最小。
3 1
三、证明题（90 分） 1、设 f x 1 x
1 1 0 1 , A , 求由 A1 , A2 生成的子空间 W L A1 , A2 的正交补空间 W 的一组标 2 0 0 1 1
准正交基。
第 3 页 共 3 页
n
四、 （20 分）矩阵的列向量是线性无关的，就称该矩阵为列满秩的。 （1）设 A 是 m n 矩阵，则 A 是列满秩的充分必要条件是存在 m n 可逆矩阵 Q 使
En A Q 0 。
第 2 页 共 3 页
（3） 已知
1 1 1 2 1 0 A 1 1 0 4 1 1 5 3 1
1 2 3 。
（1）证明 不是 A 的特征向量； （2）证明 ， A , A （3）若 A
3 2
线形无关；
A ，计算行列式 2 A 3E ，其中 E 是三阶单位矩阵。
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
八、 （15 分）已知
一、计算题（30 分） 1、 lim
1 1 1 n sin ； n 1 2 n 23 n n 1
n m ； （m,n 正整数） m x 1 1 x 1 xn
2、 lim
3、
1 e dx ；
0 x 2
R x2 y2 R2
xe x
4、 lim
x
ydx xdy
2 xy y 2来自2；5、设 f x 1 x sin x ，求 f x , f x 1 .
2
二、解答题（30 分） 1、设函数 f 在 R , 上有定义， f 0 1 ，且满足条件：
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三、 （15 分）已知三级方阵 B 的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解
x1 2 x 2 2 x3 1 2 x1 x 2 x3 2 且 r B 2 。 3 x x x 1 2 3 1
（1） 求 的值； （2） 设 A 为此线性方程组的系数矩阵，求 AB 。
证明（1） f 在（0，0）点连续且偏导数存在；（2） f 在（0，0）点不可微. 5、设函数 f 在 a, b 上连续，证明
lim
1 x f t h f t dt f x f a x a, b . h 0 h a
6、设函数 f 在 0,1 0,1上连续且 f x, y f y, x x, y 0,1 ，证明
0 0 A 0 0
求 A 的若当标准型。 九、 （20 分）设 R
2
22
是 2 级实方阵构成的欧氏空间，其内积为
A, B aij bij , A aij 22 , B bij 22 R 22
2 i 1 j 1
又设 A1
dx f x, y dy dx f 1 x,1 y dy .
1 x 1 x 0 0 0 0
一、（10 分）计算行列式
2
5
1
2
3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2
二、 （15 分）证明：如果 ( x x 1) | f1 ( x ) xf 2 ( x ) ，那么 ( x 1) | f1 ( x) ， ( x 1) | f 2 ( x) .
f .
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3、设函数 f 在 a, b 上连续且单调递增，证明：
ab xf x dx 2 f x dx .
b b a a
4、设函数
x2 y , ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0, ( x, y ) (0,0)
求满足（1）中条件的可逆矩阵 Q 。 五、 （15 分）设 A 是 m n 实矩阵， B 是 n 级实方阵， B 是 n m 实矩阵，如果 AB 2 A, BC 0, 且
r A n. 证明：矩阵 B T AT A CC T 为正定矩阵。
六、 （15 分）设 V1 , V2 是线形空间 V 的两个非平凡子空间，证明：在 V 中存在 使 V1 , i 1,2. 七、 （25 分）设 A 为三级方阵，有三个不同的特征值 1 , 2 , 3 , 对应的特征向量分别为 1 , 2 , 3 , 令
x2 xn ，证明： 2! n!
（1）当 n 为偶数时， f x 在 R 上无零点； (2) 当 n 为奇数时， f x 在上 R 有且只有一个零点。 2、设 0 a b ，函数 f 在 a, b 上可导，证明：存在两点 , a, b 使得
f a 2 ab b 2
f x y f x f y x, y R ，
试求 f x . 2、求幂级数
1
n 1
n
n 2 x n 的收敛区间与和函数。
2 2
3、求 a, b 使得
a bx x dx 最小。
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三、证明题（90 分） 1、设 f x 1 x
1 1 0 1 , A , 求由 A1 , A2 生成的子空间 W L A1 , A2 的正交补空间 W 的一组标 2 0 0 1 1
准正交基。
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n
四、 （20 分）矩阵的列向量是线性无关的，就称该矩阵为列满秩的。 （1）设 A 是 m n 矩阵，则 A 是列满秩的充分必要条件是存在 m n 可逆矩阵 Q 使
En A Q 0 。
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（3） 已知
1 1 1 2 1 0 A 1 1 0 4 1 1 5 3 1
1 2 3 。
（1）证明 不是 A 的特征向量； （2）证明 ， A , A （3）若 A
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线形无关；
A ，计算行列式 2 A 3E ，其中 E 是三阶单位矩阵。
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
八、 （15 分）已知