平行线的性质与判定典型例题

1．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．

证明：∵CD平分∠ECF，

∴∠ECD＝∠DCF，

∵∠ACB＝∠DCF，

∴∠ECD＝∠ACB，

又∵∠B＝∠ACB，

∴∠B＝∠ECD，

∴AB∥CE．

2．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗？为什么？

解：AE∥BF．

理由如下：

因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），

所以∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）．

因为∠1＝∠2（已知），

所以∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），

即∠EAB＝∠FBG，

所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．

3．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF．

证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，

∴∠DBC＝∠ECB．

∵∠DBC＝∠F，

∴∠ECB＝∠F，

∴EC∥DF．

4．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．

证明：∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，

∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴DC∥AB．

5．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．

解：AB∥ED，

理由：如图，过C作CF∥AB，

∵∠B＝25°，

∴∠BCF＝∠B＝25°，

∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°，

又∵∠D＝42°，

∴∠DCF＝∠D，

∴CF∥ED，

∴AB∥ED．

6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

解：BC∥AD．理由如下：

∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，

∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，

∴AD∥BC．

7．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．

证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，

∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），

∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），

∴∠2＝∠ACD（两直线平行，错角相等），

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠DCA，

∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．

8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．

（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为135°．

②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为40°．

（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．

解：（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°

∴∠ACE＝45°

∵∠BCE＝90°

∴∠ACB＝90°+45°＝135°

故答案为：135°；

②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°

∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°

∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°

故答案为：40°；

（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°

理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE

又∵∠ACB＝∠ACE+90°

∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE

即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°．

理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；

当EB∥AC时，∠ACE＝45°．

9．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO．

证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，

∴∠AED＝∠AOB＝90°，

∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），

∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，错角相等），

∵∠EDO＝∠CFB，

∴∠BOD＝∠CFB，

∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．

10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：AD∥BC．

证明：∵∠E＝∠F，

∴AE∥CF，

∴∠A＝∠ADF，

∵∠A＝∠C，

∴∠ADF＝∠C，

∴AD∥BC．

11．已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：∠BEF+∠DFE＝180°．

解：∵EG∥HF

∴∠OEG＝∠OFH，

∵∠1＝∠2

∴∠AEF＝∠DFE

∴AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°．

12．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

解：AB∥EF，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，错角相等）