高二数学必修五第三章不等式单元测试题
人教版数学高二B版必修5单元检测第三章不等式
数学人教B必修5第三章不等式单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是()．A．若ac＞bc，则a＞bB．若a2＞b2，则a＞bC．若11a b>，则a＜bDa＜b2．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系为()．A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是()．A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x＞5或x＜－1}C．{x|－1＜x＜5}D．{x|－1≤x≤5}4．若实数x，y满足不等式组1,1,33,x yx yx y-≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则该约束条件所围成的平面区域的面积是()．A．3 B．2C．2 D．5．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，2|0xB xx-⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则A∩B＝()．A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}6．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是11|23x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a＋b的值等于()．A．－10 B．－14 C．10 D．147．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2) B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)8．如果log3M＋log3N≥4，则M＋N的最小值是()．A．4 B．18 C．D．99．当变量x，y满足约束条件,34,y xx yx m≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是()．A．－4 B．－3C．－2 D．－110．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是()．A．{x|－1＜x＜0} B．{x|x＜0或1＜x＜2}C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．设x＞0，y＞0且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为________．12．设变量x，y满足约束条件3,1,23,x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．13．已知()1,0, 0,0, xf xx ≥⎧=⎨<⎩则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．14．要挖一个底面积为432 m2的长方体鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m(宽的两端)、4 m(长的两端)的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．15．在R上定义运算：x y＝(1－x)y，若不等式(x＋a)(x－a)＜1对任意实数x 都成立，则a的取值范围是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|(12)x2－x－6＜1}，B＝{x|log4(x＋a)＜1}，若A∩B＝，求实数a的取值范围．17．(本小题满分15分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．参考答案1. 答案：D A 中，若c ＜0，则不等式不成立；B 中，若a ，b 均小于0或a ＜0，则不成立；C 中，若a ＞0，b ＜0，则不成立；D 中，一定有a ≥0，b ≥0，平方法则一定成立．也可以取特殊值代入进行检验．2. 答案：A M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，所以M ＞N .3. 答案：B 不等式化为x 2－4x －5＞0，所以(x －5)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞5.4. 答案：C 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故||AB =||AC =故所求面积为122S =⨯=. 5. 答案：B 由于A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}＝{x |－1≤x ≤1}，2|0x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭＝{x |0＜x ≤2}，故A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1}∩{x |0＜x ≤2}＝{x |0＜x ≤1}．6. 答案：B 由题意知，12-，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，由韦达定理得，11,23112,23b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩ 解之，得a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.7. 答案：C 当a ＝2时，不等式即－4＜0显然成立，当a －2≠0时，需要满足a －2＜0，且Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0⇒－2＜a ＜2，所以－2＜a ≤2.8. 答案：B 由题意知，M ＞0，N ＞0，M ·N ≥81，∴M ＋N≥≥18，当且仅当M ＝N ＝9时等号成立．9. 答案：A 作出可行域，平移直线x －3y ＝0，可知当目标函数经过直线y ＝x 与x ＝m 的交点(m ，m )时，取得最大值，由m －3m ＝8，得m ＝－4.10. 答案：C 由题意可画出偶函数f (x )的图象，如图所示，由f (x －1)＜0，数形结合法可得，－1＜x －1＜1，∴0＜x ＜2.11. 答案：322+ 11112()(2)3322x y x y x y x y y x+=++=++≥+，当且仅当2x y y x=且x ＋2y ＝1，即222y -=，21x =-时，等号成立． 12. 答案：7 z ＝2x ＋3y233z y x =-+，求截距的最小值，画出可行域如图阴影部分所示，可知把直线23y x =-平移到经过点(2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×2＋3×1＝7.13. 答案：{x |x ≤1} 分类讨论：①x ≥0时，f (x )＝1，则不等式变为x ＋x ≤2，∴x ≤1，∴0≤x ≤1；②x ＜0时，f (x )＝0，则不等式变为x ·0＋x ≤2，∴x ≤2，∴x ＜0.综上所述，不等式的解集为{x |x ≤1}．14. 答案：24 m 18 m 设长方体鱼池的底面长为x m ，则宽为432x m ，则占地总面积y ＝(x ＋8)(432x ＋6)＝4328x ⨯＋6x ＋480≥768，当且仅当43286x x⨯=，即x ＝24时取得最小值．则宽为4321824=.15.答案：(12-，32)由题意可得(x＋a)(x－a)＝(1－x－a)(x－a)＜1恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，故1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得13 22a-<<.16.答案：分析：首先根据条件解出两个集合中的不等式，然后把集合对应的区间在数轴上表示出来，可以根据数轴判断a满足的条件．解：由(12)x2－x－6＜1，得x2－x－6＞0，∴x＞3或x＜－2.∴A＝{x|x＞3或x＜－2}．由log4(x＋a)＜1，得0＜x＋a＜4，∴B＝{x|－a＜x＜4－a}．∵A∩B＝，∴2, 4 3.aa-≥-⎧⎨-≤⎩∴1≤a≤2即为所求．17.答案：解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分36x批，每批价值为20x元，由题意得f(x)＝36x·4＋k·20x.由x＝4时，f(x)＝52，得161805 k==.∴f(x)＝144x＋4x(0＜x≤36，x∈N＋)．(2)能．理由：由(1)知f(x)＝144x＋4x(0＜x≤36，x∈N＋)，∴144()448f x xx≥⨯=(元)．当且仅当1444xx=，即x＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，就可以使资金够用．。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(有答案解析)
一、选择题1．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．952．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+3．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．18．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,119．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-10．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+11．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A．BC ．1D ．212．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题13．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.15．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 16．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．18．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 19．已知0,0ab >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.20．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x yx+的取值范围是__________． 三、解答题21．设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.24．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？25．已知函数()245y x x x R =-+∈.（1）求关于x 的不等式2y <的解集；（2）若不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()0f x m =≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.2．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=， 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即3133,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为843+ 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．A解析：A【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6； 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．C解析：C 【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x =-，利用线性规划即可求解. 【详解】解：由2z x y =-得122z y x =-， 作出x ，y 满足约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-， 得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.8．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.9．D解析：D 【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133zy x =-， ∴当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大； 由图象可知，当133zy x =-过点A 时，在y 轴截距最大，由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D .【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.10．C解析：C【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y t t （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．11．D解析：D【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．B解析：B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题13．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ． 代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-.故答案为：4-【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最 211- 【分析】由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-， ()2717134343343x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-， 所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立， 因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7【分析】根据题中条件，由1222()2212y x y x y y x x y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=， 当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点 解析：10【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322z y x =-+， 由图象可知当直线322z y x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22z y x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a ++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 18．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解 解析：1[,)4+∞. 【分析】 利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】 因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】 本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先解析：3【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++， 又由()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)]()992962222222a a b b a b a b a b a b +++++++⋅+=++≥+⨯=+++++++，当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22(2)a b +=+时等号成立， 即z 的最小值为962+，所以2+a b 的最小值是623+.故答案为623+.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.20．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大；联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ， 联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤， 所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.三、解答题21．（1）13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭；（2）62a -≤≤． 【分析】 （1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果； （2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围.【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以 2 3x x ==，是方程20x ax b -+=的解 由韦达定理得： 5 6a b ==，， 故不等式210bx ax -+>为26510x x -+>，解不等式26510x x -+>得其解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭（2）当3b a =-时，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围为62a -≤≤．【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立；（2）0a <时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立．22．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12t -= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩ 因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点， 令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根， 只有()21682102021t t t x t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：12t -=， 综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．23．（1）1；（2）9.【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值； （2）先求得141b a +=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值．【详解】 （1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<， 即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --，又不等式的解集为{|02}x x <<，所以2(2)2m --=，解得1m =；（2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=，所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为9．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 24．（1）最多调整500名员工从事第三产业；（2）(]0,5．【分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．【详解】（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤，即最多调整500名员工从事第三产业；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23500x ax -≤2110002500x x x +--， 所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(]0,500x ∈时恒成立，因为210004500x x+≥=， 当且仅当21000500x x =，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤，所以a 的取值范围为(]0,5．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，属于常考题. 25．（1）{|13}x x <<；（2）()24.，【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数245y x x =-+的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于m 的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解.【详解】(1)由2y <得2430x x -+<，即13x <<，所以2y <的解集为{|13}x x <<；(2)不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立3min m y ⇔-<，由()224521y x x x =-+=-+得y 的最小值为1， 所以31m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<，所以实数m 的取值范围为()2,4.【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.26．（1）4m ≤；（2）94． 【分析】（1）函数()0f x m =≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解；（2）由（1）可得21432a b a b +=++，然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值．【详解】（1）函数()0f x m =≥恒成立， 即+130x x m +--≥恒成立， 设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b +=++， 所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=， 当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立， 所以74a b +的最小值为94． 【点睛】 本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.。
高中数学必修5第三章《不等式》单元测试题
高中数学必修5第三章《不等式》单元测试题班级 姓名 座号 分数 一、选择题（3⨯15=45分）1、若,0<<b a 下列不等式成立的是 ( )A 22b a <B ab a <2 C1<a b D ba 11< 2、若,,n m y x >>下列不等式正确的是 ( )A n y m x ->-B yn xm > Cmyn x > D x n y m ->- 3、设,01,0<<-<b a 那么下列各式中正确的是 ( )A 2ab ab a >>B a ab ab >>2C 2ab a ab >>D a ab ab >>24、若角βα,满足22πβαπ<<<-,则βα-的取值范围是 ( )A )0,(π-B ),(ππ-C )2,23(ππ-D ),0(π 5、不等式0322>-+x x 的解集是 （ ）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是 （ ）A ⎩⎨⎧>∆>00aB ⎩⎨⎧<∆>00aC ⎩⎨⎧>∆<00aD ⎩⎨⎧<∆<00a7、设,0>>y x 则下列各式中正确的是 ( )A y xy y x x >>+>2 B x xy yx y >>+>2 C xy y y x x >>+>2 D x xy y x y >≥+>28、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1 B21 C 22D 419、下列不等式的证明过程正确的是 ( )A 若,,R b a ∈则22=⋅≥+b a a b b a a b B 若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+C 若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x D 若,-∈R x 则222x x -+>= 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方12、在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（ ）13、如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数 m 的取值范围是 （ ） A ．)22(，- B ．（－2，0）C ．（－2，1）D ．（0，1）14、若n n n f -+=1)(2，1)(2--=n n n g ，nn 21)(=ϕ，+∈N n ，则),(n f )(n g ，)(n ϕ的大小关系是 ( ) A ．<)(n f )(n g <)(n ϕ B ．<)(n f )(n ϕ<)(n g C ．)(n g <)(n ϕ<)(n f D ．)(n g <)(n f <)(n ϕ15、给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ）A ．32B ．21 C ．2 D ．23二、填空题（3⨯5=15分）16、不等式0121>+-x x的解集是 . 17、三角形三边所在直线方程分别为,033512,3,0343=++==--y x y y x 用不等式组表示三角形内部区域（包含边界）为 .18、数,x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ，最小值是 。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(答案解析)
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ）A ．32-B ．28-C ．2D ．32．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．323．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b +的最小值为（ ） A ．15 B．8+C ．16 D．8+4．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ） A ．2B ．-2C ．1D ．-1 5．已知0 < a < 1，则141a a +-的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．9D ．10 6．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋ 7．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ） A ．[1,7] B ．[5,13]- C ．[5,7]- D ．[1,13] 8．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．23 B ．43C ．2D ．4 9．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a > 11．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1b B ．a 2>b 2 C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c | 12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <B ．M N >C ．M ND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b +-≥+恒成立，则m 的范围为_______.15．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.16．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________. 17．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 18．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.19．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______. 20．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值；（2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值． 22．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米.求：（1）写出x 与y 的关系式；（2）求出仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？23．已知定义在R 上的函数()()2232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值；（2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围.24．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ． （1）求m ；（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．25．已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+（其中a ∈R ）.（1）当a ＝－1时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若()1f x ≥-的解集为R ，求实数a 的取值范围.26．已知2()3(5)f x x a a x b =-+-+．（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数,a b 的值；（2）若对任意实数,(2)0a f <恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可.【详解】作出x，y满足约束条件2030x yx y mx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x-4y得344zy x=-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线，当直线经过点A时，直线的纵截距4z-最小，z最大.由3x y mx+-=⎧⎨=⎩，解得A(3，m－3)，故()max33439z m=⨯--=，解得3m=.故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y=；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z=为参数).2．C解析：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y+=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x yx y-+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=， 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即3133,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为843+ 故选：D.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ， 代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.5．C解析：C【分析】利用“1”变形为()1411a a a a ⎛⎫+-+⎡⎤⎪⎣⎦-⎝⎭，再利用基本不等式求最值. 【详解】由01a <<，根据均值不等式得14144(1)[(1)]55249111a a a a a a a a a a -⎛⎫+=-++=+++= ⎪---⎝⎭，当且仅当4(1)1a a a a -=-，即23a =时有最小值9. 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A【分析】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，利用基本不等式可求得（x 9x+）min ＝6，从而可得实数m 的取值范围． 【详解】 当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x +恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，当x ＞0时，x 9x +≥=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6，故选A ．【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．7．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β）=（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．8．C解析：C【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=，∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>， ∴121121414(2)4422444n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4n m m n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ．【点睛】 本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．9．B解析：B【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10．C解析：C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11 a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， ab b a=，故D 错误；故选C. 11．C解析：C【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案.【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b >，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的； 当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.12．A解析：A【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各 解析：6【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案.【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++= 则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．【分析】由可得然后利用基本不等式可求出而不等式恒成立等价于小于等于最小值从而可求出的范围【详解】解：因为所以当且仅当即时取等号因为不等式恒成立所以小于等于最小值所以故答案为：【点睛】易错点睛：利用基解析：32m ≤ 【分析】由21a b +=可得1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭322a b b b a b +=+++，然后利用基本不等式可求出11322b a b +≥+1102m b a b +-≥+恒成立，等价于m 小于等于112b a b++最小值，从而可求出m 的范围 【详解】解：因为21a b +=， 所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭ 1122a b b b a b +=++++ 322a b b b a b+=+++333222≥+=+=+当且仅当2a b b b a b +=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b+-≥+恒成立， 所以m 小于等于112b a b ++最小值，所以32m ≤，故答案为：32m ≤【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：(),4-∞【分析】 由参变量分离法可得知，不等式4a x x <+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x <+，由基本不等式可得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，4a <. 因此，实数a 的取值范围是(),4-∞.故答案为：(),4-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.16．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在 解析：2-【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =-+，根据直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y =-+取得最小值时的最优解，代入计算即可. 【详解】 作出不等式组10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y =-+，当直线32z x y =-+经过可行域的顶点()2,1A 时，直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，即min 32122z =-⨯+=-. 故答案为：2-.【点睛】思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.17．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()3199933366212b a a a b b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+⋅=⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.18．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重 解析：14【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=， 所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为14. 故答案为：14【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义. 19．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案 解析：56π 【分析】 由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，化简得tan 23θ=即可得解.【详解】设不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b 为方程()2220x x θ-+=的两个根， 1a ，1b为方程()224sin 210x x θ++=的两个根，由韦达定理得2a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，2sin 2θ=-即tan 2θ= 又 ,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()2,2θππ∈， 所以523πθ=即56πθ=. 故答案为：56π. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.20．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】由函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解.【详解】由题意，函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，令()11x x g x ee --=+因为110,0x x e e -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16． 【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值．【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-， 1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩． （2）由于()12f =，0a >，0b >，则可知232a b +-+=，得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b a a b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立， 所以19a b+的最小值为16. 【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．（1）()320408029x y x x -=<<+；（2）面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【分析】（1）由已知条件得出4090203200x y xy ++=，即可得出x 与y 的关系式； （2）化简得出()16991782929S x x ⨯⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件可求得x 的值.【详解】（1）由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40245203200x y xy +⨯+=， 即492320x y xy ++=，解得320429x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，所以，x 与y 的关系式为()320408029x y x x -=<<+； （2）()33822932043383382229292929x x x S xy x x x x x x x x -+-⎛⎫==⋅=⋅=⋅-=- ⎪++++⎝⎭()()169291699169916992169217829292929x x x x x x x +-⨯⨯⨯=-=--=-+-+++()16991782917810029x x ⨯⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立， 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.【点睛】本题考查基本不等式的应用，建立函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）3；（2）[2,)-+∞【分析】（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为2452x x a x -+≥--求解.【详解】（1）()()()()223221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ， 因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，所以1230+=-=x x a ，解得3a =（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，所以()()2245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立， 因为2x >，所以20x -> 所以2452x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立， 而24512222-+⎛⎫-=--+≤- ⎪--⎝⎭x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号，所以 2a ≥-，所以a 的取值范围[2,)-+∞.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.24．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)x x +--的最小值； （2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．【详解】解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497x x x x +-=-+=--， 当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立， 故47=m ． （2）由（1）知4,7m =，若不等式2407ax ax -+ 的解集为R ，则 当0a = 时，407恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩， 解得1607a <， 综上，1607a ， 所以a 的取值范围为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．25．（1）(2)(62)-∞--+∞，，；（2）99a -+≤【分析】（1）当0a =时，解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）化简不等式()1f x ≥-，对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，由()0f x <得，2420x x --+<， 所以2420x x +->，所以不等式的解集为(2)(62)-∞-+∞，，；（2）因为()1f x ≥-解集为R ，所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立，当0a =时，得321x -+-≥，不合题意；当0a ≠时，由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立，得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以99a -+≤【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.26．（1）29a b =⎧⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由题意知，1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根，即可得到方程3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得即可． （2）若()20f <恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b 的不等式，解不等式可求出实数b 的取值范围；【详解】解：（1）由()0f x >，得23(5)0x a a x b -+-+>．23(5)0x a a x b ∴---<又()0f x >的解集为(1,3)-，所以1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根 3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧∴⎨---=⎩29a b =⎧∴⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩（2）由(2)0f <，得122(5)0a a b -+-+<即2210120a a b -+->又对任意实数a ，(2)0f <恒成立，即2210120a a b -+->，对任意实数a 恒成立，2(10)42(12)0b ∴∆=--⨯-<，解得12b <-， ∴实数b 取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．12．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D4．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．15．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．-1B ．2C ．4D ．56．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225497．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+8．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．14B ．4C ．18D ．89．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．210．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b >D ．33a b >12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题13．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．15．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面，则ab 的最小值为_______． 18．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．19．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的3倍．若存在正实数x ，y 使得12(2)(1)AC AB AD x y=-+-成立，则x y +的最小值为___________． 20．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________．三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 22．解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>. 23．已知函数()243f x ax ax =--(1)当a=-1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若对于任意的x ∈R,均有不等式f(x)≤0成立,求实数a 的取值范围.24．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．25．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝3，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），光线QR 经过ABC 的重心，若以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）AP 等于多少？（2）D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，求x ，y 所满足的不等式组，并求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围．26．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C++≥转化为y kx b≤+（或y kx b≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4．C解析：C【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x=-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y=-得122zy x=-，作出x，y满足约束条件424x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线122zy x=-，由图象可知当直线122zy x=-过点C时，直线122zy x=-的截距最大，此时z最小，420xx y=⎧⎨--=⎩，解得()4,2A.代入目标函数2z x y=-，得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0. 故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2．z ∴的最小值为13222+=．故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．6．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩.画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．8．C解析：C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值． 【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ． 【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；(,0)2a b ab a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．9．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-，表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.10．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．C解析：C【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案.【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11.故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解.【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y +=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯ 1211(132)(1312)5553y x x y ⨯≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5.故答案为：5.【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.14．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值 解析：23【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c，则由图可知12c ≥，即2c ≥，将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122z y x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.15．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小，此时z 最大，由22 22x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ ，得A （1，0）． 代入目标函数z=x-2y ，得z=1-2×0=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最 解析：12- 【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝， 若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 实数m 的最小值为：12-， 故答案为12-． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x 2+mx +m ≥0在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y ＝x 2+mx +m 在x ∈[1，2]上的最值问题． 17．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由 解析：13【解析】分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值. 详解：2c cosB ＝2a ＋b ，由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++化简得：2sin cos sin 0B C B +=， 又0,sin 0B B π<，得1cos 2C =-，0C π<<，得23C π=，则△ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，∴2229ab ab a b +≤，即13ab ≥， 故ab 的最小值是13. 故答案为13. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.18．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】由函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解.【详解】由题意，函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，令()11x x g x ee --=+因为110,0x x e e -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．【分析】由面积比得再利用三点共线可得出的关系从而利用基本不等式可求得的最小值【详解】如图设与交于点由得所以又三点共线即共线所以存在实数使得因为所以所以又因为所以当且仅当即时等号成立所以的最小值为故答【分析】由面积比得3BM MD =，再利用,,A M C 三点共线可得出,x y 的关系，从而利用基本不等式可求得x y +的最小值．【详解】如图，设AC 与BD 交于点M ，由1sin 231sin 2ABCADC AC BM AMB S BM S DM AC DM AMD ⋅∠===⋅∠△△得3BM MD =，所以1313()4444AM AB BM AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+， 又,,A M C 三点共线，即,AM AC 共线，所以存在实数k 使得AC k AM =， 因为12(2)(1)AC AB AD x y =-+-，所以11242314k x k y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以327x y +=， 又因为0,0x y >>，所以1321321()()(5)5777y x x y x y x y x y ⎛+=++=++≥+= ⎝，当且仅当32y x x y =，即x =，y =时等号成立． 所以x y +．故答案为：57+．【点睛】本题考查向量共线定理，考查基本不等式求最值，解题关键是利用平面向量共线定理得出,x y 的关系，然后用“1”的代换，凑配出定值，用基本不等式求得最小值．20．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最 解析：4【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B +的最小值得解. 【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--.所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>. 所以121121414(2)()(4)[4]4222A B A B A B A B A B B A B A+=⨯+⨯+=++≥+⋅=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）20k =，()16002440,010L x x x =--≥+；（2）30万元. 【分析】（1）0x =，28,y =代入已知模型求出k ，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得 利润函数；（2）利用基本不等式求最值．【详解】（1）由题意，可知当0x =时，28,y =283010k ∴=-， 解得20k =203010y x ∴=-+ 又每件产品的销售价格为801601.5y y +⨯元， ()801601.580160y L y y x y ⎛⎫+∴=⨯-++ ⎪⎝⎭4080y x =+-2040803010x x ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-+ ()16002440,010x x x =--≥+ （2）0x ≥，()1016001600101070101010x x x x ∴+=++++-≥== 当且仅当16001010x x =++时等号成立， 2440702370y ∴≤-= max 2370y ∴=故该工厂计划投入促销费为30万元时，才能获得最大利润，最大利润为2370万元.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 22．答案见解析【分析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->，再对a 进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案；【详解】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<， （3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >， （4）当14a =时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠， （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >， 综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞ 0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小.23．（1）()1,3； （2）3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）解一元二次不等式得结果，（2）先讨论0a =时的情况，再根据二次函数图象确定0a ≠时，参数满足的条件，最后求并集得结果.【详解】（1）当1a =-时，不等式()0f x >，即2430x x -+->，即2430x x -+<，即()()130x x --<，解得13x <<，故不等式()0f x >的解集为()1,3.（2）①当0a =时，()30f x =-≤恒成立；②当0a ≠时，要使得不等式()0f x ≤恒成立，只需0,0,a <⎧⎨∆≤⎩即()()20,4430,a a a <⎧⎪⎨--⨯⨯-≤⎪⎩ 解得0,30,4a a <⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩即304a -≤<.综上所述，a 的取值范围为3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 研究形如20ax bx c ++>恒成立问题，注意先讨论0a =的情况，再研究0a ≠时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果.24．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =． 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， 由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，， 作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．25．（1）||1AP =；（2）x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为32955)1030，． 【分析】（1）建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，R ，2P 四点共线可得直线的方程，由于过ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值；（2）先求出,,RQ PR PQ 所在直线的方程，即得x ，y 所满足的不等式组，再利用数形结合求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围． 【详解】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示． 则(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ．设ABC ∆的重心为E ，则E 点坐标为(1,1)，设P 点坐标为(,0)m ，则P 点关于y 轴对称点1P 为(,0)m -， 因为直线BC 方程为30x y +-=， 所以P 点关于BC 的对称点2P 为(3,3)m -，根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，∴12E P E P k k =， 即113113mm -+=+-， 解得，1m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，故舍去．∴1m =． 所以||1AP =.（2）由（1）得2P 为(3,2)，又1(1,0)-P ，所以直线RQ 的方程为210x y -+=； 令210x y -+=中10,2x y =∴=，所以1(0,),2R 所以直线PR 的方程为210x y +-=； 联立直线BC 和RQ 的方程30210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得54(,)33Q ,所以直线PQ 的方程为220x y --=.D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，所以x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩. 直线2410x y ++=和直线PR 平行，所以它们之间的距离为223=51024+； 点Q 到直线2410x y ++=的距离为2254|2+4+1|2933=53024⨯⨯+.所以D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为32955)1030(，．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域，考查线性规划问题，考查解析法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y 2+=0或x +y 2+=0.【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1， 设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1， 两式相减可得21a （x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y -+=--+， ∴22b a- ⋅3212=-1，解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my l 的方程x =my 代入23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣my ﹣1=0， 则y 3+y423m =+，y 3y 4213m -=+， |y 3﹣y 4|== ∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|==≤=，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.。
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题(含答案)
A．b－a>0
B． a3＋b2<0
C．b＋a>0
D．a2－b2<0
答案 C
解析 由 a－ |b|>0? |b|<a? － a<b<a? a＋b>0，故选 C.
3．设集合 U＝R，集合 M＝{ x|x>1} ，P＝ { x|x2>1} ，则下列关系中正确的是 ( )
A．M＝P
B． P M
C．M P
高中数学必修五第三章单元测试题
《不等式》
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 )
1．给出以下四个命题：
11 ①若 a>b，则 a<b；
②若 ac2>bc2，则 a>b；
③若 a>|b|，则 a>b； ④若 a>b，则 a2>b2.
(1)试解释 f(0)＝10， g(0)＝20 的实际意义； 1
(2)设 f(x)＝ 4x＋10， g(x)＝ x＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双 方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
高中数学必修五第三章单元测试题
《不等式》参考答案
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
范围是 ( )
A．[ －2，－ 1]
B． [－ 2,1]
C．[ －1,2]
D．[1,2]
8．不等式 (x－2y＋ 1)(x＋y－3)<0 表示的区域为 ( )
9．f(x)＝ax2＋ax－ 1 在 R 上满足 f(x)<0，则 a 的取值范围是 ( )
新课标人教版必修5高中第3章不等式单元检测试卷及答案解析(原始打印版)
新课标人教版必修5高中数学 第3章 不等式单元检测试卷1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 ( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+2． “0>>b a ”是“222b a ab +<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．不等式b ax >的解集不可能是 ( )A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．不等式||x x x <的解集是 ( ) A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 ( ) A ．22b a < B ．2b ab < C ．2>+ba ab D ．||||||b a b a +>+7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 ( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+229．下列各组不等式中，同解的一组是 ( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A. }8|{<a aB. }8|{>a aC. }8|{≥a aD. }8|{≤a a 11．若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x xy 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.15．已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式:21582≥+-x x x17．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．18．已知0=++c b a ，求证:0≤++ca bc ab 。
人教版数学高二B版必修5第三章不等式单元检测(A卷
第三章不等式单元检测（A 卷）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．(山东高考，文1)设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)＜0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )． A ．[1，2) B ．[1，2] C ．(2，3] D ．[2，3]2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＞d ，则“a －c ＞b －d ”__________“a ＞b ”． A ．⇒ B ．⇐ C ．⇔ D ．以上都不对3．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则M 与N 的大小关系为( )． A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 4．已知下列函数中，以4为最小值的函数有( )．①4y x x=+(x ≠0)； ②y ＝cos x ＋4cos x π02x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；③y ＝(1＋cot x )12tan 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π02x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．不等式243x ax x +++≥0的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ≥2}，则a 等于( )． A ．2 B ．－2 C ．12 D ．12-6．若α，β满足π2-＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )．A ．－π＜α－β＜πB ．－π＜α－β＜0C ．π2-＜α－β＜π2 D ．π2-＜α－β＜0 7．当|x |≤1时，函数y ＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥13- B ．a ≤－1C ．－1＜a ＜13-D ．－1≤a ≤13- 8．若x ，y ∈R ，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )．A ．2B ．3C ．5D ．9 9．若a ＞b ＞1，P ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg 2a b +，则( )． A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q10．已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得(1－a i x )2＜1(i ＝1，2，3)都成立的x 取值范围是( )． A ．110a ⎛⎫⎪⎝⎭， B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．(辽宁开原高二检测)若二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是1154x x ⎧⎫⎫<<⎨⎬⎪⎭⎩⎭，那么不等式2cx 2－2bx －a ＜0的解集是__________．12．若x ＞1，则41x x +-的最小值为__________． 13．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩，的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是__________．14．已知－1≤a ＋b ≤3且2≤a －b ≤4，则2a ＋3b 的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)解不等式组2321,6210.x x x x -⎧≤⎪-⎨⎪-->⎩16．(10分)如果{x |2ax 2＋(2－ab )x －b ＞0}⊇{x |x ＜－2或x ＞3}，其中b ＞0，求a ，b 的取值范围．17．(10分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？18．(12分)已知x ，y 都是正数，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值并求出相应的x ，y 值．19．(12分)(广东揭阳高二检测)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．=100%-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭原有价值现有价值注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计原有价值参考答案1. 答案：A解析：因为M ＝{x |－3＜x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}，故选A ． 2. 答案：A 3. 答案：A解析：M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝213024a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，∴M ＞N .4. 答案：A解析：对于①，当x ＞0时，44x x +≥=；当x ＜0时，44x x+≤-，即|y |≥4.对于②，cos x ＋4cos x ＝4无解．对于③，y ＝12＋2＋12cot x ＋2tan x ≥59+2=>422.所以①②③都不符合条件．故选A ．5. 答案：B解析：204313x a x ax x x x ++≥⇔++(+)(+)≥0⇔－3＜x ＜－1或x ≥2，∴a ＝－2. 6. 答案：B 解析：∵π2-＜α＜β＜π2，∴－π＜α－β＜0. 7. 答案：C解析：y ＝ax ＋2a ＋1可以看成关于x 的一次函数，在[－1，1]上具有单调性，因此只需当x ＝－1和x ＝1时的函数值的符号相反，即(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)＜0，解这个关于a 的一元二次不等式，得－1＜a ＜13-. 8. 答案：B解析：由z ＝x ＋2y 得1122y x z =-+，当直线经过直线x ＝1和y ＝x 的交点A (1，1)时，z 取得最小值，故z ＝1＋2＝3.9. 答案：B解析：∵a ＞b ＞1lg lg 2a b+. 又∵lg a ＋lg b ＝lg ab ＜lg 2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝2lg 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭，∴lg 2a b +＞12(lg a ＋lg b )，故选B ．10. 答案：B解析：(1－a i x )2＜1⇒2i a x 2－2a i x ＜0⇒2i a 2ix x a ⎛⎫-⎪⎝⎭＜0， ∴0＜x ＜2i a . 又∵123222a a a <<，∴选B ． 11. 答案：{x |x ＞1或x ＜－10} 解析：由题意知，15和14是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根，∴11,5411,540,b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩∴9,201.20b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不等式2cx 2－2bx －a ＜0，即110ax 2＋910ax －a ＜0.∵a ＜0，∴不等式化为x 2＋9x －10＞0，解得x ＞1或x ＜－10. 12. 答案：5解析：∵x ＞1，∴x －1＞0，x ＋41x -＝(x －1)＋41x -＋1≥1＝5，当且仅当x －1＝41x -，即x ＝3时取“＝”． 13. 答案：a ≤9解析：不等式组解集为{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则有2030f f ()≤⎧⎨()≤⎩，，解得a ≤9.14. 答案：91322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，解析：设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，则有=2x y a +，=2x yb -， ∴2a ＋3b ＝522y x -.∵－1≤x ≤3，2≤y ≤4，∴由不等式性质可得92-≤2a ＋3b ≤132. 15. 解：3224166x x x x -+≤⇒--≤0⇒x ∈[－2，6)． 2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭∪(1，＋∞)．∴原不等式组的解集为12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭∪(1，6)．16. 解：记A ＝{x |2ax 2＋(2－ab )x －b ＞0}＝{x |(ax ＋1)(2x －b )＞0}，B ＝{x |x ＜－2或x＞3}．(1)若a ＝0，则2b A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，A ⊇B 不可能成立； (2)a ＜0时，由(ax ＋1)(2x －b )＝2a 12b x x a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞0可知，此不等式解集是介于1a -与2b之间的区间，也不可能有A ⊇B ； (3)a ＞0时，12b A x x x a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或，∵A ⊇B ，∴1a -≥－2且2b≤3.∴a ≥12且0＜b ≤6.17. 解：如下图所示，设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得22408040000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)． 联立=224080=400x y x y +⎧⎨+⎩，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P max ＝960×1.5＋420×0.5＝1 650(元)，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．18. 解：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y≥又∵x ＋2y ＋xy ＝30，∴2≤x ＋2y ＋xy ＝30，整理得2300≤.0>，∴不等式解集为∴0＜xy ≤18.即xy 最大值为18，此时x ＝2y ，代入原式得x ＝6，y ＝3. 19. 解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为y ＝kx 2， ∵3克拉的钻石价值是54 000美元， ∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000， ∴y ＝6 000x 2.答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y ＝6 000x 2.(2)若两颗钻石的重量为m ，n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2， 现有价值是6 000m 2＋6 000n 2， 价值损失的百分率＝2222600060006000100%6000m n m n m n (+)--⨯(+)＝2222212100%2m n mn m n m n +⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⨯≤=(+)(+)， 当且仅当m ＝n 时取等号．答：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．。
高二数学必修五第三章不等式单元测试题
高二数学必修五第三章不等式单元测试题一、选择题1. 已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 ( C ) A.22a b am bm >⇒> B.a ba b c c >⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒< 2.不等式0121≤+-x x 的解集为 ( A ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C [)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 3.不等式2601x x x ---＞的解集为( C ) （A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜4.不等式102x x -<+ 的解集是为( C ) （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1） （D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞5.不等式0)86)(1(22≥+--x x x 的解集是( A )A .}4{}1{≥-≤x x x xB .}4{}21{≥≤≤x x x xC .}21{}1{≤≤-≤x x x xD .1{-≤x x 或21≤≤x 或}4≥x6．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ A ）A ．]2,2(-B ．]2,2[-C ．),2(+∞D ．]2,(-∞7.已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是( A )（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2- 8.设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为( D )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 559．已知x>0, y>0,128=+xy ,则x+y 的最小值为( C ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 2410. 已知0,0a b >>，则11ab a b++ C ）A ．2B ．22C ．4 D.811.设,x y 是满足245x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（ B ）A.1lg5+B.1 C .20 D.5013.已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则z=3x+y 的最大值为( B ) A.12 B.11 C.3 D.-115.设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，y 0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是( B )（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）1916. 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( A )A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件16．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记22(,),a b a b a b ϕ=+--那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的( C )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17. “1x <-”是“210x ->”的( A )（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 18.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是(C )A ．5-2B ．0C ．53D ．5219.设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y+2x 的最小值为( A )(A) －7(B) －4(C) 1(D) 220．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ D ）A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥．11a b ab+> D ．2b a a b +≥ 21.设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=2x+y 的最大值为( C )A.—2B. 4C. 6D. 823．设0,0.a b >>11333a b a b+是与的等比中项，则的最小值为( C ) A. 8 B. 4 C. 1 D.1424. 设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+( B )（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值25．在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围( B ) A.(0,2) B.(-2,1) C.),1()2,(+∞--∞ D.(-1,2)二、填空题26.若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为-6 。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．952．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+3．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<D ．42m -<<6．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．97．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．52D ．28．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225499．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<- 10．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．412．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <57二、填空题13．西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O ，半径OM ON =且为1米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点A ，B 的连线恰好与圆弧拐角相切于点T （点A ，T ，B 在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.14．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =-的最大值是_________.15．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.16．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．已知点(3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.19．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．20．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值； （2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值．22．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.23．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？24．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？25．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值26．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.2．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=， 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当34b a b a =，即3133,46a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域， 由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min22444z a a ⎛⎫== ⎪++⎝⎭， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.6．C解析：C 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】由约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150x x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，4），化目标函数z ＝x +2y ﹣1为y 1222x z =-++， 由图可知，当直线y 1222x z =-++过A 时，z 有最大值为8． 故选C ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++6622262644119(5)(52)444a a a a a a a a =++≥+⋅=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．8．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-，故选：A【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题 10．A解析：A【详解】 因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 11．B解析：B【分析】 根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案.【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1， 则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x ＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5， 又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13 [8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13，所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ．【点睛】 本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题． 12．D解析：D【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x =当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m <<综上，实数m 的取值范围为57m <故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围 二、填空题13．75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示：在中AF=39则即解析：75【分析】设=MOT θ∠，则可得AB 长度的表达式，利用凑“1”法，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】设=MOT θ∠，其中(0)2πθ∈，，延长OM ，交AB 于D ，过B 做SB 垂线，交DO 于G ，延长ON ，交AB 于E ，过A 做SA 垂线，交NO 于F ，如图所示：在Rt AEF 中，AEF θ∠=，AF =39，则sin AF AE θ=，即39sin AE θ=， 在Rt BDG 中，DBG θ∠=，17BG =，则cos BG BD θ=，即17cos BD θ=， 在Rt DOE 中， OT DE ⊥，OT=1，所以11,cos sin DO EO θθ==， 又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯，所以1sin cos DE θθ=， 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-， 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤，其中3tan 4ϕ=，当且仅当2πθϕ+=时，等号成立， 所以1(4sin 3cos )(39cos 17sin )139cos 17sin 15()sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθ++-+-=≥ 22221(68sin 207sin cos 117cos )(sin cos )5sin cos θθθθθθθθ++-+= =2263207112sin sin cos cos 716207555(9tan )sin cos 5tan 5θθθθθθθθ++=++ 71620729tan 755tan 5θθ≥⨯⨯=， 当且仅当169tan tan θθ=，即4tan 3θ=时等号成立， 所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.故答案为：75.【点睛】解题的关键是根据题意，得到AB 长度的表达式，难点在于需利用凑“1”法，将表达式化简成齐次式，结合基本不等式求解，考查计算化简的能力，属中档题.14．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为： 解析：163【分析】根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值.【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以54164333max z =⨯-=. 故答案为：163. 【点睛】方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.15．4【分析】先分析的几何意义然后利用线性规划求解出的取值范围从而的最大值可求【详解】作出可行域如图所示可以看做其中M 为可行域（阴影区域）内一点因为所以所以所以的最大值为4故答案为：【点睛】结论点睛：常 解析：4【分析】先分析11x y -+的几何意义，然后利用线性规划求解出11x y -+的取值范围，从而z 的最大值可求.【详解】 作出可行域如图所示，11x z y -=+可以看做1PM k ，其中()1,1P -，M 为可行域（阴影区域）内一点，因为()1121PA k --==-，()0.511314PA k ---==-， 所以(]1,2,4PM k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，所以(]10,4PM k ∈，所以z 的最大值为4，故答案为：4.【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）y b z x a -=-：表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率； （2）()()22z x a y b =-+-(),x y 到点(),a b 的距离；（3）z Ax By C =++：表示点(),x y 到直线0Ax By C ++=22A B +倍. 16．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重解析：14【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=， 所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为14. 故答案为：14【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时 解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10a k b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b+=++≥+⨯=． 详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由100y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=． 所以28282828()()1010218b a b a a ba b a b a b a b+=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b a a b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号． 所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b a a b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可． 18．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z 的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析：[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示cos 3OA OPz OA AOP AOP OP ⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 23cos 36z π==；当56AOP π∠=时，min 523cos36z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题. 19．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然 解析：16【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.20．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-， 所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ．故答案为：p q ．【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16． 【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值．【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-， 1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩． （2）由于()12f =，0a >，0b >，则可知232a b +-+=，得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b a a b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立， 所以19a b+的最小值为16. 【点睛】 易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．（1）1；（2）9.【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值；（2）先求得141b a +=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值．【详解】（1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<， 即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --，又不等式的解集为{|02}x x <<，所以2(2)2m --=，解得1m =；（2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=，所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为9．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 23．（1）1000(20)(8),(0)S x x x =++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽.【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x =++>，（2）100020000(20)(8)1160811601960S x x x x =++=++≥+= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.24．（1）400吨；（2）不获利，补40000元.【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-，利用基本不等式求得y x的最小值，利用等号成立的条件求得x 的值，由此可得出结论； （2）令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭，求得该函数在区间[]400,600的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭，400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.25．（1）4；（2）4.【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号），∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥，∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号），所以x y +的最小值为4.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.26．(1)3；(2)6b ≥-【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值； (2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围.【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x -≤+在[0,2]上恒成立，因为13()36x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-,综上，实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题.。
高中数学必修5第三章《不等式》单元质量测评(含答案)
高中数学必修5第三章《不等式》单元质量测评（含答案）满分150分，考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a <0，－1<b <0，则( )A ．－a <ab <0B ．－a >ab >0C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 22．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤， {}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ）A. B A ⊆B. A B A ⋃=C. A B A ⋂=D. {}2A B ⋂= 3．区域113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩构成的几何图形的面积是（ ）A. 2B. 1C.14 D. 124．若集合20{|}6A x x x +=-<，230B x xx =≤⎧+⎫⎨⎬-⎩⎭，则A B I 等于（ ） A ．()3,3- B ．[)2,2-C ．()2,2-D ．[)2,3-5．不等式2103x x ->+的解集是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. ()4,+∞ C. ()(),34,-∞-⋃+∞ D. ()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭6．已知关于x 的不等式24x x m -≥对任意(]0,1x ∈恒成立，则有( )A. 3m ≤－B. 3m ≥－C. 30m ≤<－D. 4m ≥－7．若实数x,y 满足x 12104x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则z 2+x y =的最大值为（ ）A. 2B. 5C. 7D. 88．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值19．设满足约束条件y 01030x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z 3x y =-的最大值为( )A. 3B.C. 1D.10．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2 2D ．411．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运()A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年12．若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ）A.34-B. 32-C. 32+D. 34+ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 14．对任意实数x ，不等式2()(2)2240a x a x ---<-恒成立，则实数a 的取值范围是_______．15．已知x 、y 满足条件040328x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩，则25z x y =+的最大值为________．16.若不等式20x ax b --<的解集为{}23x x <<，则不等式2b 10x ax -->的解集为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．18. (本小题满分10分)求函数2710,(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 19．(本小题满分10分) 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,AB 求20ax x b ++<的解集.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16.(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分14分)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤． （1）求实数,a b 的值； （2）解关于x 的不等式： 0x cax b->-（为常数）参考答案 一．选择题二．填空题13．x ＜y 14. （-2,2] 15.19 16.11--23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭三、解答题17． 解：设一条直角边长为x cm(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x ) cm ，面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋10－x 22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x ，即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋10－x 2＝52＋52＝52(cm)．18. 解：27104(1)5,11x x y x x x ++==+++++当1x >-，即10x +>时，59y ≥=，当且仅当1x =时取等号.19．解：（1）解2-230x x -<得，-13x <<，所以(1,3)A =-.解260x x +-<得，-32x <<，所以(3,2)B =-,(1,2)A B ∴⋂=-.(2)由2+a 0x x b +<的解集是(1,2)-，所以1-a 0420b a b +=⎧⎨++=⎩，解得a -1-2b =⎧⎨=⎩所以2-+-20x x <，解得解集为R 。
人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题(含答案)
人教版高二必修5数学第三章不等式章末训练题（含答案）不等式，用不等号将两个整式连结起来所成的式子。
查字典数学网为大家引荐了高二必修5数学第三章不等式章末训练题，请大家细心阅读，希望你喜欢。
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧，那么a的取值范围是()A.a0或aB.0答案 B2.假定不等式ax2+bx-20的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.-2+-14=-ba-2-14=-2a，a=-4b=-9.a+b=-13.3.假设aR，且a2+a0，那么a，a2，-a，-a2的大小关系是()A.a2-a2B.-a-a2aC.-aa-a2D.a2a-a2答案 B解析∵a2+a0，a(a+1)0，-1a2a.4.不等式1x12的解集是()A.(-，2)B.(2，+)C.(0,2)D.(-，0)(2，+)答案 D解析 1x1x-122-x2x0x-22xx0或x2.5.设变量x，y满足约束条件x+y3，x-y-1，y1，那么目的函数z=4x+2y的最大值为()A.12B.10C.8D.2答案 B解析画出可行域如图中阴影局部所示，目的函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2，作出直线y=-2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大. 解方程组x+y=3，y=1得A(2,1)，zmax=10.6.a、b、c满足cA.abB.c(b-a)C.ab2cb2D.ac(a-c)0答案 C解析∵c0，c0.而b与0的大小不确定，在选项C中，假定b=0，那么ab2cb2不成立.7.集合M={x|x2-3x-280}，N={x|x2-x-60}，那么MN为()A.{x|-4-2或3B.{x|-4C.{x|x-2或x3}D.{x|x-2或x3}答案 A解析∵M={x|x2-3x-280}={x|-47}，N={x|x2-x-60}={x|x-2或x3}，MN={x|-4-2或38.在R上定义运算：xy=x(1-y)，假定不等式(x-a)(x+a)1对恣意实数x成立，那么()A.-1答案 C解析 (x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)-x2+x+(a2-a-1)0恒成立=1+4(a2-a-1)-129.在以下各函数中，最小值等于2的函数是()A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析选项A中，x0时，y2，x0时，y选项B中，cos x1，故最小值不等于2;选项C中，x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2，当x=0时，ymin=322.选项D中，ex+4ex-22ex4ex-2=2，当且仅当ex=2，即x=ln 2时，ymin=2，适宜.10.假定x，y满足约束条件x+y-12x-y2，目的函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值，那么a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析作出可行域如下图，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知-12，即-411.假定x，yR+，且2x+8y-xy=0，那么x+y的最小值为()A.12B.14C.16D.18答案 D解析由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x，∵x0，y0，x-80，失掉y=2xx-8，那么=x+y=x+2xx-8=x+2x-16+16x-8=(x-8)+16x-8+102x-816x-8+10=18，当且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时取=.12.假定实数x，y满足x-y+10，x0，那么yx-1的取值范围是()A.(-1,1)B.(-，-1)(1，+)C.(-，-1)D.[1，+)答案 B解析可行域如图阴影，yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx-11或yx-1-1.二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)13.假定A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，那么A、B的大小关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-300的解集是___________________________________________________ _____________________.答案 {x|-56}15.假设ab，给出以下不等式：①1a②a3③a2④2ac2⑤ab⑥a2+b2+1ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.答案②⑥解析①假定a0，b0，那么1a1b，故①不成立;②∵y=x3在xR上单调递增，且ab.a3b3，故②成立;③取a=0，b=-1，知③不成立;④当c=0时，ac2=bc2=0,2ac2=2bc2，故④不成立;⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]0，a2+b2+1ab+a+b，故⑥成立.16.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速中转B 市，两地铁路途长400千米，为了平安，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需求________小时.答案 8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，那么t=400+16v202v=400v+16v4002 400v16v400=8(小时)，当且仅当400v=16v400，即v=100时等号成立，此时t=8小时.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(12分)假定不等式(1-a)x2-4x+60的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a(2)b为何值时，ax2+bx+30的解集为R.解 (1)由题意知1-a0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根，1-a041-a=-261-a=-3，解得a=3.不等式2x2+(2-a)x-a0即为2x2-x-30，解得x-1或x32.所求不等式的解集为x|x-1或x32.(2)ax2+bx+30，即为3x2+bx+30，假定此不等式解集为R，那么b2-430，-66.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a20.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0，即x+a7x-a80.①当-a70时，-a7②当-a7=a8，即a=0时，原不等式解集为③当-a7a8，即a0时，a8综上知，当a0时，原不等式的解集为x|-a7当a=0时，原不等式的解集为当a0时，原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式：a，b，cR，a4+b4+c4abc(a+b+c). 证明∵a4+b42a2b2，b4+c42b2c2，c4+a42c2a2，2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c，b2c2+c2a22abc2，c2a2+a2b22a2bc.2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc)，即a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4abc(a+b+c).20.(12分)某投资人计划投资甲、乙两个项目，依据预测，甲、乙项目能够的最大盈利率区分为100%和50%，能够的最大盈余率区分为30%和10%，投资人方案投资金额不超越10万元，要求确保能够的资金盈余不超越1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才干使能够的盈利最大? 解设投资人区分用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y10，0.3x+0.1y1.8，x0，y0.目的函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图，阴影局部(含边界)即可行域.作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10，0.3x+0.1y=1.8，得x=4，y=6，此时z=14+0.56=7(万元).∵70，当x=4，y=6时，z取得最大值.答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才干在确保盈余不超越1.8万元的前提下，使能够的盈利最大.21.(12分)设aR，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0解设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.由于x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，且0所以f00，f10，f20a2-a-20，7-a+13+a2-a-20，28-2a+13+a2-a-20a2-a-20，a2-2a-80，a2-3aa-1或a2，-23-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在一个月内分批购置每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，贮存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，假定每批购入4台，那么该月需用去运费和保管费共52元，如今全月只要48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰外地布置每批进货的数量，使资金够用?写出你的结论，并说明理由.解 (1)设题中比例系数为k，假定每批购入x台，那么共需分36x批，每批价值20x.由题意f(x)=36x4+k20x，由x=4时，y=52，得k=1680=15.f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0f(x)2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.小编为大家提供的高二必修5数学第三章不等式章末训练题，大家细心阅读了吗？最后祝同窗们学习提高。
【高二数学试题精选】新人教必修五第三章不等式单元综合测试(含答案)
新人教必修五第三章不等式单元综合测试（含答案）
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新人教必修五第三不等式单元综合测试（含答案）
一、选择题
1、若，且，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． c． D．
2、函数的定义域为（）
A． B． c． D．
3、已知，则（）
A． B．
c． D．
4、不等式的解集为（）
A． B． c． D．
5、已知等比数列的各项均为正数，比，设，，则与的大小关系是（）
A． B． c． D．无法确定
6、已知正数、满足，则的最小值是（）
Ａ．18 Ｂ．16 c．8 D．10
7、下列命题中正确的是 ( )
A．当且时 B．当，
c．当，的最小值为 D．当时，无最大值
8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，斜边上的高为h，则和
的大小关系是 ( )
Ａ．Ｂ．
c． D．不能确定
9、在约束条下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）。
高二数学必修五单元测试03不等式(A卷)(解析版).doc
班级_________ 姓名_____________ 学号____________ 分数 ___________ 《必修五单元测试三不等式》测试卷（A卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在不等式x + 2y-1>0表示的平面区域内的点是（）A. （1,-1）B. （0,1）C. （1,0）D. （-2,0）【答案】B【解析】试题分析：・・・1+2><（_1）_1〈0；0+2><1_1血1 + 2><0-1 = 0；-2 + 2><0-1<0,二可知点（0丄）在不等式x+2y-l >0表示的平面区域內.故B正确.2.已知集合A = [xeN\x2-5x + 4<0], B = {x\x2-4 = o],下列结论成立的是（）A. Be A B_. A\J B = A C. Ar\B = A D. AcB = {2}【答案】D【解析】由已知得A = {123,4}, B = {-2,2},则AcB = {2},故选D.x>l3.区域｛y>\构成的儿何图形的面积是（）x+y<3A. 2B. 1C. 一D.-4 2【答案】D【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形对知区域三角形的面积是S=-xlxl=l,应选答案D.2 24.[2018届河南省中原名校高三上学期第一次质】若a<b<0,则下列不等关系屮，不能成立的是1 ] ] ] 1 1A. ->-B. -------------------- >-C. a3 <b3D. a2 > b2a b a~b a【答案】B【解析]Va<b<0,.\a<a - b<0由y =丄在（一a,0）上单调递减知：一-— < 丄x a~b a因此B不成立.故选：B.5.不等式乞二L>0的解集是（）x + 3A. _,+8B. （4,+00）、2（J 、C. （-00, -3）U（4, +oo）D. （-00,-3）u —,+oo【答案】D【解析】分式不等式可转换为二次不等式：（2兀一1）（兀+3）>0,（\ \据此可得不等式的解集为：（-00,-3）u -,+a）>本题选择D选项.6.已知关于兀的不等式x2-4x>m对任意XG（O,1]恒成立，则有（）A. m <一3B. m >—3C. —3 < m < 0D. m > ~4【答案】A【解析1 vx2-4x> w对任意xe[O3l]恒成立，令/（x）=x2-4x s xe[0a l], v f（x）的对称轴为x = 2 ,二/ （x）在[0 J]单调递减，二当* 1时取到最小值为-3 ,:.实数w的取值范围是w<-3,故选A.X>1x + y<47.【2018届四川省南充市高三零诊】若实数俎y满足lx-2y-lS0 ,贝ljz = 2x + y的最大值为（）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】作出可行域：学@科网rf]Z = 2x +儿可得：y=- 2x + z,平行移动丿=-2兀+ z,由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大, 即z最大；易得A（3, 1）,带入目标惭数z = 2咒+儿得：z = 2x3 + l = 7,即z = 2兀+ y的最大值为7故选：C.8.已知/（兀）=0?+加，且满足：15/（1）53,-1</（-1）<1,则/（2）的取值范围是（）A. [0,12] B. [2,10] C. [0,10] D. [2,12]【答案】B【解析】・・・/（兀）=血2+加且15/（1）53, -1</（-1）<1, ：.\<a + b<3, -\<a-b<\,JV+V =4 x— 3/（2）= 4a + 2b,令4d + " = x（Q+b） + y（a—b）,可得｛7-,解得｛—,即x-y=2 y=l4a + 2/? = 3（Q+b）+（o—b）, ・・・353（d+b）59, 253（a+b）+（d—b）510,则/（2）的取值范围是[2,10],故选B.F — r — 69.不等式一<0的解集为（）兀—1A. {兀|兀（一2或»1}B. {兀| 兀<一2或vxv3}C. {兀|-2v兀〈1或x〉3}D. {%|-2VJVV1或lcxv3}【答案】B【解析】不等式即：（〒）（节2）<0（-1）转化为高次不等式：（x-3）（x+2）（x-l）<0利用数轴穿根法解得x < —2或1 v尢v 3 ,本题选择B选项.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决.10.若a，bER且必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）11 2 b a9 9.—— +「> ~严= —d—二2A. a + b > 2ab g a + b > Q a b ^Jab D. Q b'【答案】D【解析】对于选项A,当a = b时不成立；对于选项巧当a<0.b<0或a = b > 0时不成立；对于选项C, 当aV0,b<0时不成立：对于选项D,因为ab>0,所以;>0^>0,由基本不等式有恒成立, 故选D.y>0尤-y + 1 二011.[2018届广东省茂名市五大联盟学校高三9月】设绘y满足约束条件U + y-3<0,贝ijz = x-3y的最大值为（）A. 3B. -5C. 1D. -1【答案】Ax - y +1 > 0 y = _x —z —z画出不等•式组k + 表示的区域如图，则问题转化为求动直线 3 B 在y 上的截距B 的最小值 1 1的问题，结合图形可知：当动直线一孑经过点P （3,0）^, z nlax = 3-3x0 = 3,应选答案A .12. [2018届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线ax + by-2 = Q （d>0』>0）始终平分圆第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填•在答题纸上）13.【2018届江苏省泰州屮学高三上学期开学】已知点PU ，y ）满足<-XI y>>-+ y Xy z ~~ _贝I 」X 的最大值为 __________【解析】画出满足条件的半面区域，如图示：由z【答案】D【解析】x 2+y 2-2x-2y = 2 的周长,则眾的最小值为（3-2^2 43-2^2 ~2-D.【解析】直线平分圆周，则直线过圆心（1」），所以有G + b = 2,-!- +丄二丄(d + b) — 2ci b 2、)"(1 1)• -I 2G b )b = y[2a 时取“二”），故选 D.y咒表示过平面区域的点Qy）与（°，°）的直线的斜率,显然直线过力仃，3)时，z取得最大值，x故答案为：3.14. [2018届河南省中原名校高三上学期第一次联考】某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有. _________ 种.【答案】7.(6x + 7y < 50% > 3沖2【解析】根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有I ,32y <——当x=3时，7 ,可取的值.为2、3、4；26y < —当x=4时，7,可取的值为2、3；20y <——当x=5时，一7,可取的值为2；14y <——当X二6时，7,可取的值为2；共7种不同的选购方式；故答案为：7.15.若不等式x2-ax-b< 0的解集为何2VXV3},则不等式bx2-ax-l>0的解集为_____________________【答案】【解析】.••不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3})・・・2,3是一元二次方程x2-ax-b = 0的两个实数根,2 +3 = a[2 x 3 =- b ,解得。
高中数学必修5第三章《不等式》单元测试题
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案1、若,0ba 下列不等式成立的是 ( ) A 22b a B ab a 2C 1a bD ba 112、若,,n m y x 下列不等式正确的是 ( ) A n y m x B yn xm C m y n xD xn y m 3、设,01,0b a 那么下列各式中正确的是 ( ) A 2abab a B a ab ab 2C 2ab a ab D a ab ab 24、若角,满足22,则的取值范围是 ( ) A )0,(B ),(C )2,23(D ),0(5、不等式0322x x 的解集是（）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3} 6、二次不等式20ax bx c 的解集是全体实数的条件是（）A 0a B 00a C 00a D 00a 7、设,0yx 则下列各式中正确的是 ( ) A y xy y xx 2B x xy y x y 2C xy y y xx 2D x xy yxy 28、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( ) A.右上方 B.右下方C.左上方D.左下方9、在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（）二、填空题（44=16分）10、不等式230x x 的解集是_________。
11、数,x y 满足4335251xyx y x，则2z x y 的最大值是，最小值是。
12、三角形三边所在直线方程分别为,033512,3,0343y x y y x 用不等式组表示三角形内部区域（包含边界）为. 13、不等式255122x x 的解集是 .三、解答题（48分）14、关于x 的一元二次不等式210ax ax a 的解集为R ，求a 的取值范围。
(8分)15、若不等式02b ax x 的解是2＜x ＜3，求不等式012ax bx 的解集。
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高二数学必修五第三章不等式单元测试题一、选择题1. 已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 ( C ) A.22a b am bm >⇒> B.a b a b c c >⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒< 2.不等式0121≤+-x x 的解集为 ( A ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C [)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,3.不等式2601x x x ---＞的解集为( C ) （A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 4.不等式102x x -<+ 的解集是为( C ) （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1） （D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 5.不等式0)86)(1(22≥+--x x x 的解集是( A )A .}4{}1{≥-≤x x x x YB .}4{}21{≥≤≤x x x x YC .}21{}1{≤≤-≤x x x x YD .1{-≤x x 或21≤≤x 或}4≥x6．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ A ）A ．]2,2(-B ．]2,2[-C ．),2(+∞D ．]2,(-∞7.某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ C ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元8.已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是( A )（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2- 9.设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为( D )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 5510．已知x>0, y>0,128=+xy ,则x+y 的最小值为( C ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 2411. 已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ C ）A ．2B ．22 C ．4 D.812.设,x y 是满足245x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（ B ） A. 1lg5+ B.1 C .20 D.50 13.已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则z=3x+y 的最大值为( B )A.12B.11C.3D.-114.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为( B )A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，5015.设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，y 0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是( B )（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 16. 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( A )A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 16．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记22(,),a b a b a b ϕ=+--那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的( C )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17. “1x <-”是“210x ->”的( A )（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件18.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是( C )A ．5-2 B ．0 C ．53 D ．5219.设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y+2x 的最小值为( A )(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 20．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ D ）A ．222a b ab +> B ．2a b ab +≥ C ．11a b ab+> D ．2b a a b +≥ 21.设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=2x+y 的最大值为( C )A.—2B. 4C. 6D. 822.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是(C) A.245 B. 285C.5D.6 23．设0,0.a b >>11333a b a b+是与的等比中项，则的最小值为( C ) A. 8 B. 4 C. 1 D.1424. 设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+( B )（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值25．在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围( B ) A.(0,2) B.(-2,1) C.),1()2,(+∞--∞Y D.(-1,2) 二、填空题26.若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 -6 。
27．不等式13x x +<的解为 0x <或12x ≥ 。
28. 已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为___5____.29. 若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 4 ．30.不等式的解集是______ _____。
31.不等式204xx ->+的解集是{}24|<<-x x 。
32.不等式22032x x x ->++的解集是 {}21,2x x x -<<->或 .33.已知关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___)8,0(___. 34．不等式01312>--x x 的解集为{x|x>21或x<31}. 35．已知0＜x ＜6 ，则(6－x )·x 的最大值是________．解析 ∵0＜x ＜6，∴6－x ＞0.∴(6－x )·x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.当用仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号．答案 936. 已知ｘ，ｙ满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤823040y x y x ，则2ｘ＋ｙ的最大值为_ _10____.三、解答题37．（1）解不等式：0)9)(43(22<---x x x（2）若>a ，解关于x 的不等式01)1(2≤++-x aa x}1{1}1{,11}1{,1100))(1)2(),4()3,1()3,0)3)(3)(1)(4(0)9)(43(0)9)(43()1(2222==≤≤∴<>≤≤∴><<≤--+∞⋃-⋃-∞-∴>-++-∴>---∴<---x x a a x a x a a a a x a x a a a a x a x x x x x x x x x x x 时，原不等式的解集为当原不等式的解集为时，有当原不等式的解集为时，有当原不等式化为（原不等式的解集为：（ΘΘ38. 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B 。
（1）求A ∩B ； （2）若不等式20x ax b ++<的解集为A ∩B ，求不等式20ax x b ++<的解集。
解：（1）由2230x x --<得13x -<<，所以A=（-1，3）由260x x +-<得32x -<<，所以B=（-3，2），∴A ∩B=（-1，2） （2）由不等式20x ax b ++<的解集为（-1，2），所以10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩ . ∴220x x -+-<，解得解集为R.39.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为___元. 解析：:设甲种设备需要生产x 天, 乙种设备需要生产y 天, 该公司所需租赁费为z 元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备 A 类产品 (件)(≥50) B 类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元)甲设备 5 10 200 乙设备620300则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩即:61052140,0x y x y x y ⎧+≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩,作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线6105214x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点(4,5)时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元.40．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，。