素数的个数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e 2.71828182845904523536
猜测：1.每隔10位数就会出现同样的 数字;
2. π的数字中必有e的前n位数字,
e的数字中必有π的前n位数字。
2.2 e与π
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1：实数单位
i
i：虚数单位
0：唯一中性数
i：来源于几何
π ：来源于分析
2
86243
1是一个25000多位的数,
需要用30页A4纸. 是通过高性能 计算机来检验它是一个素数的.
Mersen数在代数编码（密码学） 中有用。
区间 1-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700
素数个数 25 21 16 16 17 14 16
2.2 e与π
因此 cos i sin 与e 具有同样的结构， 我们认为它们是相等的。这种思想来源于 法国伟大的哲学家和数学家Leibniz. 这种 思想在代数、几何等领域得到了许多发展。 在同构的观点下，人们能看到不同现象的 ]同一本质（规律），并能从已有的规律去 推断其他领域或事实的类似物。这是多么 美妙的方法啊！
x 0.618 C
B
C点称为黄金分割
正五边形对角线长与 边长之比
正五边形边长与对角 线长之比
2.1 黄金分割
人体: 躯干部分的宽与长之比
肚脐、膝盖 植物：相邻两叶在与茎垂直的平面 上的投影的两夹角的比 利于通风采光
2.1 黄金分割
名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点
名画：充分利用了0.618 建筑: 如建筑物的特征点、门窗等
形如2 1 的素数称为Mersen素数,
n
记为 M n 2 1
n
共有28个Mersen素数被发现 : n 2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 61, 89 107,127, 521, 607,1279, 2203 2281, 3217, 4253, 4423, 9689 9941,11213,19937, 21701, 23209, 44497, 86243
2.1 黄金分割
问题：在直线AB 上找一点C，使得 AC AB CB BC
A
x
C
若AB 1，AC x， 那么 x 1 1 x x 于是
(1)
5 1 x 0.618. 2
B
2.1 黄金分割
方程（1）等价于 A x2 x 1 0 它的两个根为 5 1 x1 2 5 1 x2 2
2.2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
e
i
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
素数个数π(n)
25 168 1229 9592
π(n)/n<
1/4 1/5 1/8 1/10
ln n lim 1 n n / ( n)
n
10
100
1000
10000
100000
1000000
π(n)/n
2.5
4
5.95
8.14
10.42
12.05
ln n
2.3
4.6
6.9
9.2
11.5
i
3.无限世界的美妙
1,2,3,4,5,6,7,...是什么?
区间 1-100
比例 1/4
1-1000
1-10000 1-100000
1/6
1/8 1/10
19世纪有一位数学爱好者观 察了600000内的素数，发现 在n和2n之间至少有1个素数。 9年后一位俄国数学家证明了 猜想的正确性。
1-n的区间
n n n n 100 1000 10000 100000
496的因数为1, 2, 4,8,18,31, 62,124, 248 496 1 2 4 8 18 31 62 124 248
第四个完美数是8,128(1000多年前)
第五个完美数是33,550,336(1538年)
第六个完美数是8,589,869,056(1588年)
黄金分割点体现了美与实用，沟通 了人与自然
2.2 e与π
无理数分类
代数无理数：整系数多项式的根
5 1 2 如 是x x 1 0的根. 2
超越无理数：代数无理数以外的 无理数 如e, 证明它们是超越 无理数是相当困难的。
2.2 e与π
与几何有关
e与物理学、经济学、生物学 等有关。它可以刻画天体运 动、衰变和利率、生物繁殖
古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学 紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉 斯流派）对数（正整数）和对世界的 思考是不可分割的。他们认为： 万物皆数，数生万物，1最神圣
古中国：一生二、二生三、三生万物
2.对无理数的品位 无理数的发现打破了古希腊数 学与哲学的和谐，产生了数学 （也是哲学）的第一次危机
2： 正方形对角线长与其边长之比 5 1 ： 正五边形对角线长与其边长之比 2
2.2 e与π
无理数的定义说明它们不可以用有 限个有理数来表示。微积分的无穷 级数提供了无理数的有理数的无限 和表示。例如
1 1 1 4 1 3 5 7 1 1 1 e 11 2! 3! 4!
2.2 e与π
3.14159265358979323846
13.1
1800年一位德国数学家猜想这 一等式成立，96年后，两位法 国数学家同时独立地证明了猜 想的正确性。
数学在法国地位崇高，视数 学为国学。
n ( n) ln n
猎奇——审美，它们之间是相 通的。 在杂乱无章的素数分布上， 人们发现了许多奇特的规律， 犹如万树丛中的鸟语花香
2.Fra Baidu bibliotek无理数的品位
1.正整数的美学审视 2.对无理数的品位
3.无限世界的美妙
美学的基本内涵：
行为的基本准则——审美动机
社会进步的标准——发展需要 高级的心理活动——精神需求
数学的价值：
历史证明：“一个国家的科 学水平可以用它消耗的数学来度 量” （A.N.RAO）
繁荣的中国需要数学。
1.正整数的美学审视 你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论吗？ 正整数优美吗？
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别 用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许 多人
当n 2,3,5,7,13,17时, Cn确实是前6个完美数.
Euclid在探寻完美数的时候发现： 完美数可能的公式：
Cn 2 (2 1)
n
n 1
并猜想当 n 和 2 1 都是素数时,
n
Cn是完美数. 此猜想被18世纪的一 位数学家所证明.
因
数: xi | a, i 1, , n. 1 xi a
完美数:
a 1 x1 x2
即 n 1 n
xn
素
数:
n 的因数之和恰好为 n 1
完美数有多少?
6的因数为 1, 2,3 6 1 2 3
28的因数为 1, 2, 4, 7， 14 28 1 2 4 7 14
猜测：1.每隔10位数就会出现同样的 数字;
2. π的数字中必有e的前n位数字,
e的数字中必有π的前n位数字。
2.2 e与π
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1：实数单位
i
i：虚数单位
0：唯一中性数
i：来源于几何
π ：来源于分析
2
86243
1是一个25000多位的数,
需要用30页A4纸. 是通过高性能 计算机来检验它是一个素数的.
Mersen数在代数编码（密码学） 中有用。
区间 1-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700
素数个数 25 21 16 16 17 14 16
2.2 e与π
因此 cos i sin 与e 具有同样的结构， 我们认为它们是相等的。这种思想来源于 法国伟大的哲学家和数学家Leibniz. 这种 思想在代数、几何等领域得到了许多发展。 在同构的观点下，人们能看到不同现象的 ]同一本质（规律），并能从已有的规律去 推断其他领域或事实的类似物。这是多么 美妙的方法啊！
x 0.618 C
B
C点称为黄金分割
正五边形对角线长与 边长之比
正五边形边长与对角 线长之比
2.1 黄金分割
人体: 躯干部分的宽与长之比
肚脐、膝盖 植物：相邻两叶在与茎垂直的平面 上的投影的两夹角的比 利于通风采光
2.1 黄金分割
名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点
名画：充分利用了0.618 建筑: 如建筑物的特征点、门窗等
形如2 1 的素数称为Mersen素数,
n
记为 M n 2 1
n
共有28个Mersen素数被发现 : n 2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 61, 89 107,127, 521, 607,1279, 2203 2281, 3217, 4253, 4423, 9689 9941,11213,19937, 21701, 23209, 44497, 86243
2.1 黄金分割
问题：在直线AB 上找一点C，使得 AC AB CB BC
A
x
C
若AB 1，AC x， 那么 x 1 1 x x 于是
(1)
5 1 x 0.618. 2
B
2.1 黄金分割
方程（1）等价于 A x2 x 1 0 它的两个根为 5 1 x1 2 5 1 x2 2
2.2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
e
i
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
素数个数π(n)
25 168 1229 9592
π(n)/n<
1/4 1/5 1/8 1/10
ln n lim 1 n n / ( n)
n
10
100
1000
10000
100000
1000000
π(n)/n
2.5
4
5.95
8.14
10.42
12.05
ln n
2.3
4.6
6.9
9.2
11.5
i
3.无限世界的美妙
1,2,3,4,5,6,7,...是什么?
区间 1-100
比例 1/4
1-1000
1-10000 1-100000
1/6
1/8 1/10
19世纪有一位数学爱好者观 察了600000内的素数，发现 在n和2n之间至少有1个素数。 9年后一位俄国数学家证明了 猜想的正确性。
1-n的区间
n n n n 100 1000 10000 100000
496的因数为1, 2, 4,8,18,31, 62,124, 248 496 1 2 4 8 18 31 62 124 248
第四个完美数是8,128(1000多年前)
第五个完美数是33,550,336(1538年)
第六个完美数是8,589,869,056(1588年)
黄金分割点体现了美与实用，沟通 了人与自然
2.2 e与π
无理数分类
代数无理数：整系数多项式的根
5 1 2 如 是x x 1 0的根. 2
超越无理数：代数无理数以外的 无理数 如e, 证明它们是超越 无理数是相当困难的。
2.2 e与π
与几何有关
e与物理学、经济学、生物学 等有关。它可以刻画天体运 动、衰变和利率、生物繁殖
古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学 紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉 斯流派）对数（正整数）和对世界的 思考是不可分割的。他们认为： 万物皆数，数生万物，1最神圣
古中国：一生二、二生三、三生万物
2.对无理数的品位 无理数的发现打破了古希腊数 学与哲学的和谐，产生了数学 （也是哲学）的第一次危机
2： 正方形对角线长与其边长之比 5 1 ： 正五边形对角线长与其边长之比 2
2.2 e与π
无理数的定义说明它们不可以用有 限个有理数来表示。微积分的无穷 级数提供了无理数的有理数的无限 和表示。例如
1 1 1 4 1 3 5 7 1 1 1 e 11 2! 3! 4!
2.2 e与π
3.14159265358979323846
13.1
1800年一位德国数学家猜想这 一等式成立，96年后，两位法 国数学家同时独立地证明了猜 想的正确性。
数学在法国地位崇高，视数 学为国学。
n ( n) ln n
猎奇——审美，它们之间是相 通的。 在杂乱无章的素数分布上， 人们发现了许多奇特的规律， 犹如万树丛中的鸟语花香
2.Fra Baidu bibliotek无理数的品位
1.正整数的美学审视 2.对无理数的品位
3.无限世界的美妙
美学的基本内涵：
行为的基本准则——审美动机
社会进步的标准——发展需要 高级的心理活动——精神需求
数学的价值：
历史证明：“一个国家的科 学水平可以用它消耗的数学来度 量” （A.N.RAO）
繁荣的中国需要数学。
1.正整数的美学审视 你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论吗？ 正整数优美吗？
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别 用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许 多人
当n 2,3,5,7,13,17时, Cn确实是前6个完美数.
Euclid在探寻完美数的时候发现： 完美数可能的公式：
Cn 2 (2 1)
n
n 1
并猜想当 n 和 2 1 都是素数时,
n
Cn是完美数. 此猜想被18世纪的一 位数学家所证明.
因
数: xi | a, i 1, , n. 1 xi a
完美数:
a 1 x1 x2
即 n 1 n
xn
素
数:
n 的因数之和恰好为 n 1
完美数有多少?
6的因数为 1, 2,3 6 1 2 3
28的因数为 1, 2, 4, 7， 14 28 1 2 4 7 14