苏教版九年级数学上册 期末试卷(Word版 含解析)

苏教版九年级数学上册 期末试卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，ABC ∆与A B C '''∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点A 是OA '的中
点，ABC ∆的面积是6，则A B C '''∆的面积为（ ）
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
2．已知抛物线2
21y ax x =+-与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是优弧BC 上一点，如果∠AOB ＝58º，那么∠ADC 的度数为（ ）
A ．32º
B ．29º
C ．58º
D ．116º 4．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2
B ．m>-2
C ．m≥-2
D ．m≤-2
5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，
4
3
=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）
A ．3或4
B ．83
或4
C ．83
或6
D ．4或6
6．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）
A ．3.6
B ．4.8
C ．5
D ．5.2 7．已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a+2019的值是( )
A ．2020
B ．﹣2020
C ．2021
D ．﹣2021
8．如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点A ，若70C ∠=︒，则AOD ∠的度数为
（ ）
A ．40°
B ．45°
C ．60°
D ．70°
9．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A ．方差 B ．众数
C ．平均数
D ．中位数
10．把函数2
12
y x =-
的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()2
1112
y x =-
-+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
12．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=
（ ）， A ．
19
B ．
14
C ．
16
D ．
13
二、填空题
13．若m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，则6m 2﹣9m 的值为_____．
14．如图，△ABC 周长为20cm ，BC=6cm,圆O 是△ABC 的内切圆，圆O 的切线MN 与AB 、
CA相交于点M、N，则△AMN的周长为________cm.
15．若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm2．
16．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
17．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．
18．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝______．
19．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝_____．
20．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8．
（1）请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均分方差众数中位数
甲组89
乙组5
3
88
（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由
_____________________________．
21．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．
22．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．
23．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．
24．如图，二次函数y ＝x （x ﹣3）（0≤x ≤3）的图象，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……若P （2020，m ）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m ＝_____．
三、解答题
25．已知二次函数2
16y ax bx =++的图像经过点（-2，40）和点（6，-8），求一元二次方程2160ax bx ++=的根.
26．某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件.假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？ 27．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中的x ，y 满足下表 x … －1 0 1 3 … y
…
3
1
…
不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质： （1） ； （2） ； （3） ．
28．（1）如图，已知AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点．连接OM ，以O 为圆心，OM 为半径作小圆⊙O ．判断CD 与小圆⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O ，线段MN ，P 是⊙O 外一点．求作射线PQ ，使PQ 被⊙O 截得的弦长等于MN ．
（不写作法，但保留作图痕迹）
29．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积
为1
2
，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三
角形”的面积小于
3
2
，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．
30．已知二次函数y＝ax2+bx﹣16的图象经过点（﹣2，﹣40）和点（6，8）．
（1）求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标； （2）当y ＞0时，直接写出自变量x 的取值范围．
31．如图，E 是正方形ABCD 的CD 边上的一点，BF ⊥AE 于F ， (1)求证：△ADE ∽△BFA ；
(2)若正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，求△BFA 的面积，
32．某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍，设B 产品生产数量的增长率为x （0x >），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据位似图形的性质，再结合点A 与点A '的坐标关系可得出两个三角形的相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案. 【详解】
解：∵△ABC 与△A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形,且A 为O A '的中心， ∴△ABC 与△A B C '''的相似比为：1：2； ∵位似图形的面积比等于相似比的平方，
∴△A B C '''的面积等于4倍的△ABC 的面积，即4624⨯=. 故答案为：D. 【点睛】
本题考查的知识点是位似图形的性质，位似是特殊的相似，熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题目信息可知当y=0时，20a 21x x =+-，此时0<，可以求出a 的取值范围，从而可以确定抛物线顶点坐标的符号，继而可以确定顶点所在的象限. 【详解】
解：∵抛物线2
y a 21x x =+-与x 轴没有交点，
∴2a 210x x +-=时无实数根； 即，24440b ac a =-=+<， 解得，a 1<-，
又∵2
y a 21x x =+-的顶点的横坐标为：21
02a a
-=->； 纵坐标为：
()414
1
04a a a
a
⨯----=
<； 故抛物线的顶点在第四象限. 故答案为：D. 【点睛】
本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据抛物线与x 轴无交点得出2a 210x x +-=时无实数根，再利用根的判别式求解a 的取值范围.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据垂径定理可得AB AC =，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC ，进而可得答案． 【详解】
解：∵OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ， ∴AB AC =， ∴∠ADC=1
2
∠AOB=29°. 故选B. 【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m 值的范围. 【详解】
解：抛物线的对称轴为直线22
1
m x m
∵10a =-<,抛物线开口向下，
∴当x m < 时，y 的值随x 值的增大而增大， ∵当2x <-时，y 的值随x 值的增大而增大， ∴2m ≥- ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC
AC CB
=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =
，165BH k =，则16
85
CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10， CAN CAB ∴∠≠∠，
设3CN k =，4BM k =，
①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN AC
AC CB =， ∴
3668k =， 32
k ∴=
， 6BM ∴=．
②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，
∴BM MH BH
BA AC BC ==， ∴
41068
k MH BH ==， 125MH k ∴=
，16
5
BH k =， 16
85
CH k ∴=-
， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒， ACN CHM ∴∆∆∽，
∴
CN MH
AC CH
=， ∴123516685
k
k k
=-， 1k ∴=， 4BM ∴=．
综上所述，4BM =或6． 故选：D ． 【点睛】
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】 解：
////AD BE CF ，
AB DE
BC EF ∴
=，即1 1.23EF =， 3.6EF ∴＝， 3.6 1.2 4.8DF EF DE ∴++＝＝＝，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得a2+3a的值，然后再代入求值即可.
【详解】
解：根据题意，得
a2+3a﹣1＝0，
解得：a2+3a＝1，
所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数．
【详解】
解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC，
∴∠CAB=90°，
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°，
∴∠AOD=40°．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选D ．
【点睛】
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112
y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-
的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112
y x =-
-+的图象． 故选：C ．
【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】
解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．
故选A ．
【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
12．A
解析：A
【解析】
根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9．【详解】
解：如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
二、填空题
13．3
【解析】
【分析】
把m代入方程2x2﹣3x＝1，得到2m2-3m=1，再把6m2-9m变形为3（2m2-
3m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，
解析：3
【解析】
【分析】
把m代入方程2x2﹣3x＝1，得到2m2-3m=1，再把6m2-9m变形为3（2m2-3m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m＝3(2m2﹣3m)＝3×1＝3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．8
【解析】
【分析】
先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.
【详解】
解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线
解析：8
【解析】
【分析】
先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.
【详解】
解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,
如下图,连接各切点,有切线长定理易得,
BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,
∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,
∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,
又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm
故答案是8
【点睛】
本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.
15．15
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】
∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm
∴圆锥的母线长
∴圆锥的侧面展开图的面积
故填：.
【点睛】
解析：15π
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.
【详解】
∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm
∴圆锥的母线长5()cm ==
∴圆锥的侧面展开图的面积()23515cm
ππ=⨯⨯=
故填：15π.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 16．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红 解析：58
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55538=+ 故答案为:
58
． 【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m
n
．
17．74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 解析：74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=705602903
74
523
，
故答案为：74.
【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键.
18．1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=
解析：1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=1．
故答案为：1．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=-b
a
，x1x2=
c
a
．
19．36°．
【解析】
【分析】
由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．
【详解】
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
解析：36°．
【解析】
【分析】
由正五边形的性质得出∠BAE=1
5
(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出
BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．【详解】
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE=1
5
(n﹣2)×180°=
1
5
(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，
∴BC=CD=DE，
∴∠CAD=1
3
×108°=36°；
故答案为：36°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．
20．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．
【解析】
【分析】
（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中
解析：（1）8
3
，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙
组成绩更稳定．
【分析】
（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；
（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．
【详解】
（1）甲组方差：
()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣
⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10
故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5
乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8
填表如下：
故答案为：83
，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．
【点睛】
本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键． 21．1250cm2
【解析】
【分析】
设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是cm ，cm ，再列出二次函数，求其最小值即可．
【详解】
如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣
解析：1250cm 2
【解析】
【分析】
设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是4
x cm ，2004
x -cm ，再列出二次函数，求其最小值即可． 【详解】
如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，列二次函数得：
y ＝（
4x ）2+（2004
x -）2＝18（x ﹣100）2+1250， 由于18
＞0，故其最小值为1250cm 2， 故答案为：1250cm 2．
【点睛】
本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．
22．2
【解析】
【分析】
根据根的判别式，令，可得，解方程求出b ＝﹣2a ，再把b 代入原方程，根据韦达定理：即可．
【详解】
当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根时， ，即
解析：5【解析】
【分析】
根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣5，再把b 代入原方程，根据韦达定理：12b x x a
+=-
即可． 【详解】
当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根时， =0∆，即2220=0b a -，
解得b ＝﹣5a 或b ＝5（舍去），
原方程可化为ax 2﹣5+5a ＝0，
则这两个相等实数根的和为
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

23．2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则
解析：2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm
以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，
①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，
352
x x =-， 解得x ＝2或3．
②当AD ：BC ＝PA +PB 时，3=25x x
-，解得x ＝3， ∴当A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，AP 的值为2或3． 故答案为2或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
24．【解析】
【分析】
x （x ﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），然
解析：【解析】
【分析】
x （x ﹣3）＝0得A 1（3，0），再根据旋转的性质得OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 673A 674＝3，所以抛物线C 764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．
【详解】
当y ＝0时，x （x ﹣3）＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则A 1（3，0），
∵将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……
∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 673A 674＝3，
∴抛物线C 764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），
把P （2020，m ）代入得m ＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.
三、解答题
25．x 1=2，x 2=8.
【解析】
【分析】
把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a 与b 的值，代入方程计算即可求出解．
【详解】
解：将点（-2，40）和点（6，-8）代入二次函数得,
404216836616a b a b =-+⎧⎨-=++⎩
解得：110
a b =⎧⎨=-⎩ ∴求得二次函数关系式为21016y x x =-+，
当y=0时，210160x x -+=，
解得x 1=2，x 2=8.
【点睛】
此题考查了抛物线与x 轴的交点，抛物线与x 轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．
26．每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【解析】
【分析】
根据题意得出，(售价-成本)⨯(原来的销量+2⨯降低的价格)=1200，据此列方程求解即可.
【详解】
解：设每件商品应降价x 元时，该商店销售利润为1200元.
根据题意，得()()70302021200x x --+=
整理得：2302000x x -+=，
解这个方程得：110x =，220x =.
所以，7060x -=或50
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【点睛】
本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题，弄清题目中的关键概念，找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.
27．（1）抛物线与x 轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y 轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大
【解析】
【分析】
根据表格中数据，可得抛物线与x 轴交点坐标，与y 轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴左侧的增减性，从而进行解答.
【详解】
解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3
∴该函数三条不同的性质为：
（1）抛物线与x 轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y 轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大
【点睛】
本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.
28．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）过点O 作ON⊥CD，连接OA ，OC ，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN ，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD 与小圆O 的位置关系；（2）在圆O 上任取一点A ，以A 为圆心，MN 为半径画弧，交圆O 于点B ，过点O 做AB 的垂线，交AB 于点C ，然后以点O 为圆心，OC 为半径画圆，连接PO ，取PO 的中点D ，以点D 为圆心，OD 为半径画圆，交以OC 为半径的圆于点E ，连接PE ，交以OA 为半径的圆于F,H 两点，FH 即为所求.
【详解】
解：（1）过点O 作ON⊥CD，连接OA ，OC
∵AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点，ON⊥CD
∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=
12
AB ,CN 12CD ， ∴AM=CN
又∵OA=OC
∴△AOM ≌△CON
∴ON=OM
∴CD 与小圆O 相切
（2）如图FH 即为所求
【点睛】
本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.
29．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜
3或73-＜B x ＜23-- 【解析】
【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．
（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围．
【详解】
（1）如下图所示：
∵PM 是⊙O 的切线， ∴∠PMO=90°， 当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-，
∵1=2
PMO S PM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．
（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：
按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222
AEF S AE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE =
=．
∵A(0,2)，即OA=2， ∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==，
∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，
将F 点代入y=kx 可得：1k =-．
②当k ＞0时，同理可得k=1．
故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC ODC OD
∠==ODC=60°．
∵△BMN 是直线3y =+与⊙B 的最美三角形，
∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°，
在直角△BDN 中，sin BN BDN BD ∠=
，
故==sin sin 60?3
BN BN BD BN BDN =∠．
∵⊙B ，
∴BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞2．
由已知得：11=222BMN S MN BM MN MN ••=•=＜2
，故MN ＜1．
在直角△BMN 中，BN ==，此时可利用勾股定理
算得BD OB BD OD =- -
则2＜B x
②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：3-
＜B x ＜2-
故综上：2＜B x ＜
3或3
-＜B x ＜2- 【点睛】 本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
30．（1）交点坐标为（2，0）和（8，0）；（2）2＜x ＜8
【解析】
【分析】
（1）把点（﹣2，﹣40）和点（6，8）代入二次函数解析式得到关于a 和b 的方程组，解方程组求得a 和b 的值，可确定出二次函数解析式，令y ＝0，解方程即可；
（2）当y ＞0时，即二次函数图象在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可得结论．
【详解】
（1）由题意，把点（﹣2，﹣40）和点（6，8）代入二次函数解析式，
得404216836616a b a b -=--⎧⎨=+-⎩
， 解得：110a b =-⎧⎨=⎩
， 所以这个二次函数的解析式为：21016y x x +=--，
当y ＝0时，210160x x +--=，
解之得：1228x x ＝，＝，
∴这个二次函数图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（8，0）；
（2）当y ＞0时，直接写出自变量x 的取值范围是2＜x ＜8．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、二次函数图象与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
31．（1）见详解；（2）
45 【解析】
【分析】
（1）根据两角相等的两个三角形相似，即可证明△ADE ∽△BFA ；
（2）利用三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答．
【详解】
（1）证明：∵BF ⊥AE 于点F ，四边形ABCD 为正方形，
∴△ADE 和△BFA 均为直角三角形，
∵DC ∥AB ，
∴∠DEA=∠FAB ，
∴△ADE ∽△BFA ；
（2）解：∵AD=2，E 为CD 的中点，
∴DE=1，
∴
，
∴AE AB =， ∵△ADE ∽△BFA ，
∴245BFA ADE S S ∆∆==， ∵S △ADE =
12×1×2=1， ∴S △BFA =45S △ADE =45
． 【点睛】。