闽南师范大学614数分分析2018-2019年考研专业课真题试卷

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一、 计算题（每小题 9 分，共 54 分）
（1）
求极限
lim
n→∞
1 n2 +1
+
2 n2 +
2
++
n n2 +
n
；
1
( ) （2） 求极限 lim x + 1+ x2 x ； x→+∞
π
∫ （3） 求定积分 2 ex sin xdx ； 0
∫ ∫ （4） 从等式 b e−xydy = e−ax − e−bx 出发，计算积分 +∞ e−ax − e−bx dx (b > a > 0) ；
a
x
0
x
（5）
已知 z
=
f
xy,
x y
且
f
具有二阶连续偏导数，求 ∂2z ∂x∂y
；
（6） 计算二重积分 ∫∫ dσ ，其中 D 为由直线 y = 2x, x = 2 y 及 x + y =3 所围成的三
n(n 1)
六. (15 分) 求级数
的和.
3n
n1
七. (15 分) 设函数列
fn (x)
(1)n1
sin
x2 en
(n
1, 2,),
x (, 0). 证明：
（1） fn (x) 在 (, 0) 上非一致收敛；
（2） fn (Βιβλιοθήκη Baidu) 在 (, 0) 上内闭一致收敛.
八. (15 分) 计算
( y2 z)dydz (z2 x)dzdx (x2 y)dxdy ，
五. (15 分) 设函数 f (x) x1 sin 1 ， x (0, 1] ，求解下列问题 x
（1）当 满足什么条件时，函数 f (x) 在 x 0 处右极限存在；
（2）证明: 当 1 时函数 f (x) 在 (0, 1) 上一致连续；
（3）证明: 当 1 时，则函数 f (x) 在 (0, 1) 在非一致连续.
∞
四、 （15 分）已知幂级数 ∑ nxn 。 n=1
（1） 求幂级数的收敛半径，收敛域及和函数；
∑ （2）
求级数 ∞ n2n 的和。 3n
n=1
∫ 五、
（15 分）已知曲线积分
L
(x
−
y)dx x2
+ +
(x y2
+
y)dy
，其中
L
为摆线
x
=t
−π
−
sin
t,
y = 1− cos t 上从 (−π , 0) 到 (π , 0) 的一段弧。
闽南师范大学2019年考研专业课真题试卷
闽 南 师 范 大 学 2019 年硕士研究生入学考试试题
考试科目： 数学分析
注意事项： 1、本卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时； 2、本卷属试题卷，另有答题纸，答案一律写在答题纸上，写在该试卷或草稿纸上均无效； 3、必须用蓝黑钢笔或签字笔答题，其他均无效。
1 ， x2 + y2 ≠ 0
x2 + y2
。
0， x2
+
y2
= 0
（1） 证明 f (x, y) 在点 (0, 0) 连续；
（2） 求 fx (0, 0) 和 f y (0, 0) ；
（3） 证明 f (x, y) 在点 (0, 0) 可微。
（以下空白）
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精都考研（www.jingdukaoyan.com）——全国100000考研学子的选择
一. 计算题(每小题 8 分，共 32 分)
（1） 求极限
lim
n
an an
1 2
(a
2)
；
1 tan x 1 sin x
（2） 求极限 lim x0
sin x3
；
（3） 求定积分 1 x2 1 x2 dx ； 0
2z
（4） 设 z f (x y, xy) 且 f 具有二阶连续偏导数，求 xy .
闽 南 师 范 大 学 2018 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
注意事项： 1、本卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时； 2、本卷属试题卷，另有答题纸，答案一律写在答题纸上，写在该试卷或草稿 纸上均无效； 3、必须用蓝黑钢笔或签字笔答题，其他均无效。
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(n = 1, 2,) 。
（1）
证明： bn+2=
2− 1 1+ bn
(n = 1, 2,) ；
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精都考研（www.jingdukaoyan.com）——全国100000考研学子的选择
闽南师范大学2019年考研专业课真题试卷
（2） 证明数列{b2n} 单调递减；
（3） 证明数列{bn} 收敛，并求它的极限。
二. (15 分) 用函数极限的定义（ 语言）证明:
lim
x1
x2 x2
1 x
2
2 3
.
三. (15 分) 设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，并且满足
（i） f ([a,b]) [a,b]；
（ii） L : 0 L 1，使得对于 x, x [a,b] ，有
f (x) f (x) L x x .
S
其中 S 为锥面 z x2 y2 (0 z h) 的外侧.
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九. (15 分) 设函数
f
(x,
y)
(
x
2
3
y2)2
sin
x2
1
y2
,
0,
x2 +y2 0, x2 +y2 =0.
证明：（1） f (x, y) 在点 (0, 0) 连续；
（2） fx (x, y), f y (x, y) 在点 (0, 0) 均不连续； （3）函数 f (x, y) 在点 (0, 0) 可微.
（1） 证明该曲线积分与路径无关； （2） 计算该曲线积分。
∫∫ 六、 （15 分）计算 yzdydz + (x2 + z2 ) ydzdx + xydxdy ，
S
其中 S 是曲面 4 − y = x2 + z2 ( y > 0) 的外侧。
七、
（20
分）已知函数
f
(x,
y)
=
( x 2
+
y2 ) sin
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证明:（1） a0 [a,b] ，令 an1 f (an ) (n N ) ，则an收敛；
（2）
lim
n
an
x0 ，则有 x0
f
(x0 ) .
四. (13 分) 设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 上可导，
又 f (x) 在[a,b] 上不是线性函数. 证明: (a,b) ，使得 f ( ) f (b) f (a) . ba
D
角形区域。
二、 （15 分）设函数 f (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 上可导，
且 f= (0)
f= (1)
0,
f
1 2
= 1，证明：在
(0,1)
内方程
f
′( x)
=
1至少有一实根。
三、
（16 分）已知数列{bn} 满足： b1 = 1, b2 = 2,
bn+1 =
1+ 1 bn