第二章 内积空间

第二章 内积空间

在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性

质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。

§2.1欧氏空间与酉空间

一、欧氏空间与酉空间

定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =

()V R 为欧几里得空或模。

)()x g x dx ，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n

P x 例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R

（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===

（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+

（4） 2

11

(,)tr()0n n

T

ij

j i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。 例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。

例4 设A 为n 阶正定阵且,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x Ay =，则n R 是n 维欧氏空

间。 证明 ,,,n x y z λ∀∈∈R R

（1）T T T T (,)[](,)x y x Ay x Ay y Ax y x ==== （2）T (,)(,)x y x Ay x y λλλ==

（3）T T T (,)()(,)(,)x y z x y Az x Az y Az x z y z +=+=+=+

（4）因为T x Ax 正定二次型，故T (,)0x x x Ax =≥，T 0x Ax x θ=⇔=

注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空

间我们视为不同的。

A 的共轭。 ，m n A ⨯∈C 。

6. H H H ()A B A B +=+，,m n A B ⨯∈C 。

7. H H ()kA kA =，k ∈C 。

8. H H H ()AB B A =，,m s s n A B ⨯⨯∈∈C C 。 9.

H H ()A A =，m n A ⨯∈C 。

10. 若H A A =，则称A 为埃尔米特（Hermite ）矩阵，n n A ⨯∈C 。

11. 若H A A =-，则称A 为反埃尔米特矩阵，n n A ⨯∈C

定义2 设V 是C 上的线性空间，若V y x ∈∀,有(,)x y ∈C 且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ λ∈C

),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈

0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=

则称(,)x y 为V 的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间()V C 为复内积空间或酉空间，称21

),(x x x =为x 的长度或模。

例5 在n C 中定义H (,)x y x y =，则n C 是酉空间。

注：在n C （n R ）中定义的内积H (,)x y x y =（T x y ）称为标准内积。以后若无特

殊说明，n C （n R ）及其子空间的内积均采用标准内积。

例6在m n ⨯C 中对,m n A B ⨯∀∈C 定义H (,)tr()A B A B =,则m n ⨯C 为酉空间。

证明 与例2类似，请读者自证。

二、欧氏空间与酉空间的性质 定理1：设(,)x y 是酉空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈C （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈

（3）11

11

(,

)(,)m

r

m r

i i j

j i j i j i j i j x y x y λμ

λμ=====∑∑∑∑， 其中,i j λμ∈C ，,i j x y V ∈，

1,2,,i m =L ，1,2,,j r =L 。

证明（1） (,)(,)(,)(,)x y y x y x x y λλλλ=== （2）),(),(),(),(),(),(z x y x x z x y x z y z y x +=+=+=+

（3）由定理1的（2 ）得

1

1

11

(,

)(,

)m

r

m

r

i i j

j i i j

j i j i j x y x y λμ

λμ

=====∑∑∑∑

11(,)m

r

i i j j i j x y λμ===∑∑

11

(,)m

r

i j i j i j x y λμ===∑∑

上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即 推论1设(,)x y 是欧氏空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈R （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈

（3）11

11

(,

)(,)m

r

m r

i i j

j i j i j i j i j x y x y λμ

λμ=====∑∑∑∑ 其中,i j x y V ∈，,i j λμ∈R ，

1,2,,i m =L ，1,2,,j r =L 。

定理2 设(,)x y 是酉（欧氏）空间V 的内积，则

Cauchy ––Schwarz ）不等式

。

),y x y λ-λ

),(),(),(),(2

y y x y y x x x λ+λ-λ-=

取)

,()

,(y y x y =

λ，则 2

2

2

2

2

2

2

(,)(,)(,)0x y x y y x x y

y

y

-

-

+

≥