椭圆标准方程及其性质知识点

椭圆标准方程及其性质知识点

(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：

●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性：

●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 122

22=

+b

x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221=

范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长12A A ,12A A =

a 2，短轴长12B B ,12B B =

b 2 离心率

①(01)c

e e a =

<< ，②21()b

e a

=-③222b a c -=

（离心率越大，椭圆越扁）

【说明】：

1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2

=b 2

+c

2

.

2. 方程

22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：12

2tan 2

PF F S b θ

∆=如图：

●椭圆标准方程为:122

22=+b

y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠

12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan

2

PF F S b θ

∆=。

(四)通径 ：如图：通径长 2

2b MN a

=

●椭圆标准方程:122

22=+b

y a x )0(>>b a ，

(五)点与椭圆的位置关系：

（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22

00

221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；

（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b

+<

(六)直线与椭圆的位置关系：

●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122

22=+b

y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的

符号来确定：

（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； (七)弦长公式：

●若直线AB:y kx b =+与椭圆标准方程:122

22=+b y a x )0(>>b a 相交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，

把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程12222=+b

y a x 整理得：Ax 2

+Bx+C=0。

●弦长公式： ① 212212

212

4)(11x x x x k

x x k AB -++=-+=a

k ∆

+=2

1（含x 的方程） ②212

2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

==2

11k a

∆+（含y 的方程） （八）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

M N

F x

y

()()()()()()()()()

22

2222

22

121222

1122221200012

01122121212122

2

212212

1 1

,,1(0)2

212AB x y a b

x y a b y y x x x y A x y B x y a b a b

x x x AB x y AB y y y x x x x y y y y a

b

x x b a y y +=+=+

=--+=>>+⎧=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+-+-+=-+ 设是椭圆上不重合的两点，

则，两式相减得所以，直线的斜率k ，M ，是线段的中点坐标，()AB 1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，

此法称为点差法(设而不求)

① 椭圆标准方程:12222=+b

y a x )0(>>b a ，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率2

2OM b k k a =-

； ② 椭圆标准方程: 12222=+b

x a y )0(>>b a ，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率2

2OM a k k b =-

③斜率为k 的弦的中点轨迹方程：设弦PQ 的端点为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，中点为M （x 0，y 0），把P ，Q 的坐

标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得022

=+b ky

a x （椭圆内不含端点的线段）。

【考点指要】

在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共2道题，解答题1道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力的考查要求较高。主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线的位置关系；求曲线的方程；与圆锥曲线有关的定值问题，最值问题，对称问题，范围问题等。曲线的应用问题，探索问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。

【典型例题】

类型一：椭圆的简单几何性质

例1. 求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

【变式1】长轴长等于20，离心率等于

3

5

，求椭圆的标准方程 【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2

2．过点1F 的

直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为______