高中数学 第一章 解三角形章末复习课课件 苏教版必修5.pptx
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4.如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一 间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面 墙的夹角为60°(即C＝60°且两面墙的长度足够大)， 现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)， 记∠ABC＝θ.当θ＝105°时，求所建造的三角形露天 活动室的面积.
1 2 3 344
3.设a，b，c是△ABC的三条边，对任意实数x，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－ a2)x＋c2，则f(x)与0的大小关系为 f(x)>0 .
答案 解析
∵Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2 ＝(b2＋c2－a2)2－(2bc)2 ＝[(b＋c)2－a2]·[(b－c)2－a2] ＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)， b＋c＋a>0，b＋c－a>0，b－c＋a>0，b－c－a<0， ∴Δ<0，又b2>0，∴f(x)>0.
13
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类型二 三角变换与解三角形的综合问题 命题角度1 三角形形状的判断 例2 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断 △ABC的形状.
解答
14
命题角度2 三角形的边、角及面积的求解 例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋ csin B. (1)求B；
第1章 解三角形
章末复习课
1
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知 识. 2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形. 3.能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
知识点一 正弦定理及其推论
设△ABC 的外接圆半径为 R，则
1.a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝c2＋a2－2cacos B ，
c2＝ a2＋b2－2abcos C .
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
2.cos A＝ 2bc ；cos B＝ 2ca ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab .
3.在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋
24
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
解答
25
反思与感悟
应用解三角形知识解决实际问题的步骤： (1)分析题意，准确理解题意； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余 弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确 答案.
23，∴sin
C＝12.
在△ADC 中，由正弦定理，得sAinDC＝sin∠ACADC，
∴AD＝ 22×12＝ 2.
2
9
反思与感悟
解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理 求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再 应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B， 由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多 种情况. (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
10
跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，∠B＝π3，AB＝8，点 D 在 BC 边上，CD＝2，cos∠ADC＝17. (1)求 sin∠BAD；
解答
11
(2)求BD，AC的长. 解答 在△ABD 中，由正弦定理，得 BD＝AsBisni∠n∠ADBABD＝8×4 31343＝3.
7 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC2 ＝AB2 ＋BC2 － 2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×21＝49，所以 AC＝7.
b2⇔C 为 锐角 .
6
知识点三 三角形面积公式 1.S＝12aha＝12bhb＝12chc. 2.S＝12absin C ＝12bcsin A＝12casin B.
7
题型探究
8
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形
解答
在△ABC 中，∵AB＝AC＝2，BC＝2 3，
由余弦定理，得
cos
BC2＋AC2－AB2 C＝ 2BC·AC ＝
27
跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙 船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里 的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船 相距最近？
解答
28
当堂训练
31
1.在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两 个不等的实根，则A为 锐 角.(填“锐”，“直”，“钝”)
解答
18
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值.
解答
20
反思与感悟
该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边 角关系，在运用定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角 和与差的公式及倍角公式等.
23
跟踪训练 2 在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边， 若 a＝2，C＝π4，cos B2＝255，求△ABC 的面积 S. 解答 因为 cos B＝2cos2B2－1＝35，故 B 为锐角，所以 sin B＝45， 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B＝sin 34πcos B－cos 34πsin B＝7102. 由正弦定理，得 c＝assiinnAC＝170， 所以 S△ABC＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
1.sina
A＝
b sin
B
＝
c sin
C
＝
2R
.
2.a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C .
a
b
c
3.sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R .
4.在△ABC 中，A>B⇔ a>b ⇔ sin A>sin B .
5
知识点二 余弦定理及其推论
答案 解析
1 2 3 342
33 2.在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为 2 .
答案 解析
由余弦定理得 cos A＝AB2＋2·AABC·2A－CBC2＝322＋×432×－413＝12，从而 sin A＝
23，则边
AC
上的高为
AB·sin
A＝3·23＝3
2
3 .
4.如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一 间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面 墙的夹角为60°(即C＝60°且两面墙的长度足够大)， 现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)， 记∠ABC＝θ.当θ＝105°时，求所建造的三角形露天 活动室的面积.
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3.设a，b，c是△ABC的三条边，对任意实数x，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－ a2)x＋c2，则f(x)与0的大小关系为 f(x)>0 .
答案 解析
∵Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2 ＝(b2＋c2－a2)2－(2bc)2 ＝[(b＋c)2－a2]·[(b－c)2－a2] ＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)， b＋c＋a>0，b＋c－a>0，b－c＋a>0，b－c－a<0， ∴Δ<0，又b2>0，∴f(x)>0.
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类型二 三角变换与解三角形的综合问题 命题角度1 三角形形状的判断 例2 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断 △ABC的形状.
解答
14
命题角度2 三角形的边、角及面积的求解 例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋ csin B. (1)求B；
第1章 解三角形
章末复习课
1
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知 识. 2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形. 3.能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
知识点一 正弦定理及其推论
设△ABC 的外接圆半径为 R，则
1.a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝c2＋a2－2cacos B ，
c2＝ a2＋b2－2abcos C .
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
2.cos A＝ 2bc ；cos B＝ 2ca ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab .
3.在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋
24
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
解答
25
反思与感悟
应用解三角形知识解决实际问题的步骤： (1)分析题意，准确理解题意； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余 弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确 答案.
23，∴sin
C＝12.
在△ADC 中，由正弦定理，得sAinDC＝sin∠ACADC，
∴AD＝ 22×12＝ 2.
2
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反思与感悟
解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理 求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再 应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B， 由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多 种情况. (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
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跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，∠B＝π3，AB＝8，点 D 在 BC 边上，CD＝2，cos∠ADC＝17. (1)求 sin∠BAD；
解答
11
(2)求BD，AC的长. 解答 在△ABD 中，由正弦定理，得 BD＝AsBisni∠n∠ADBABD＝8×4 31343＝3.
7 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC2 ＝AB2 ＋BC2 － 2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×21＝49，所以 AC＝7.
b2⇔C 为 锐角 .
6
知识点三 三角形面积公式 1.S＝12aha＝12bhb＝12chc. 2.S＝12absin C ＝12bcsin A＝12casin B.
7
题型探究
8
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形
解答
在△ABC 中，∵AB＝AC＝2，BC＝2 3，
由余弦定理，得
cos
BC2＋AC2－AB2 C＝ 2BC·AC ＝
27
跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙 船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里 的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船 相距最近？
解答
28
当堂训练
31
1.在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两 个不等的实根，则A为 锐 角.(填“锐”，“直”，“钝”)
解答
18
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值.
解答
20
反思与感悟
该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边 角关系，在运用定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角 和与差的公式及倍角公式等.
23
跟踪训练 2 在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边， 若 a＝2，C＝π4，cos B2＝255，求△ABC 的面积 S. 解答 因为 cos B＝2cos2B2－1＝35，故 B 为锐角，所以 sin B＝45， 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B＝sin 34πcos B－cos 34πsin B＝7102. 由正弦定理，得 c＝assiinnAC＝170， 所以 S△ABC＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
1.sina
A＝
b sin
B
＝
c sin
C
＝
2R
.
2.a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C .
a
b
c
3.sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R .
4.在△ABC 中，A>B⇔ a>b ⇔ sin A>sin B .
5
知识点二 余弦定理及其推论
答案 解析
1 2 3 342
33 2.在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为 2 .
答案 解析
由余弦定理得 cos A＝AB2＋2·AABC·2A－CBC2＝322＋×432×－413＝12，从而 sin A＝
23，则边
AC
上的高为
AB·sin
A＝3·23＝3
2
3 .